几何图形的十大解法.docx
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几何图形的十大解法
几何图形的十大解法
分割法
例：
将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的
面积。
（单位：
厘米）
2解：
将图形分割成两个全等的梯形。
7S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）
例：
下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，
求阴影部分面积。
解：
将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2
=12.5+20+7.5=38（平方厘米）
例：
左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：
将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2
=56+24
=80（平方厘米）
一、添辅助线
例：
已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
C解：
从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分
面积和空白部分面积相等。
PS阴=4×4÷2=8（平方厘米）
DB
A
例：
将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？
解：
因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40
平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：
40÷8=5（厘米）
例：
平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是
A这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、
BB、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
C解：
如图连接平行四边形各条边上的中点，可以
看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，
阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）
二、倍比法
例：
AB已知：
OC=2AO，SABO=2㎡，求梯形ABCD
O的面积。
解：
因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）
DCSDOC=4×2=8（㎡）
SABCD=2+4×2+8=18（㎡）
例：
7.5已知：
S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
解：
因为7.5÷2.5=3（倍）
所以S空=3S阴。
S=8.75×（3＋1）=35（㎡）
2.5
例：
A下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，
DE那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少
倍？
BC解：
设三角形ABE面积为1个单位。
则SABE=1×3=3SABC=3×5=1515÷3=5
所以三角形ABC的面积是三角形ADE的5倍。
三、割补平移
例：
AB已知：
S阴=20㎡，EF为中位线
EF求梯形ABCD的面积。
DC解：
沿着中位线分割平移，将原图转化
成一个平行四边形。
从图中看出，阴影
部分面积是平行四边形面积一半的一半。
SABCD=20×2×2=80（㎡）
例：
10求左图面积（单位：
厘米）
5解1：
S组=S平行四边形=10×（5+5）
5=100（平方厘米）
10
10解2：
S组=S平行四边形=S长方形
5=5×（10+10）
5=100（平方厘米）
10
例：
把一个长方形的长和宽分别增加2
a2厘米，面积增加24平方厘米。
b求原长方形的周长。
22解：
C=（24÷2-2）×2
2=20（厘米）
四、等量代换
例：
B已知：
AB平行于EC，求阴影部分面积。
AOC解：
因为AB//AC所以S△AOE=S△BOC
8则S阴=0.5S=10×8÷2=40（㎡）
E10D
（单位：
m）
例：
下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。
求阴影部分面积。
解：
因为S1+S2=S3+S2=6×4÷2
41所以S1=S3
32则S阴=6×6÷2=18（平方分米）
例：
已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。
（C）
AA三角形DBF大B三角形CEF大
DCC两个三角形一样大D无法比较
BF（因为S等量减S等量，等差不变）
E
五、等腰直角三角形
例：
已知长方形周长为22厘米，长7厘米，求
阴影部分面积。
45°解：
b=22÷2-7=4（厘米）
S阴=〔7+（7-4）〕×4÷2=20（平方厘米）
或S阴=7×4-4×4÷2=20（平方厘米）
例：
已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别
是10厘米和6厘米。
求阴影部分的面积。
解：
10-6=4（厘米）6-4=2（厘米）
2S阴=（6+2）×4÷2=16（厘米）
例：
下图长方形长9厘米，宽6厘米，求阴影部分
AB面积。
45°解：
三角形BCE是等腰三角形
FFD=ED=9-6=3（厘米）
EDCS阴=（9+3）×6÷2=36（平方厘米）
或S阴=9×9÷2+3×3÷2=36（平方厘米）
六、扩倍、缩倍法
例：
如图：
正方形面积是32平方厘米，直角三角形
中的短直角边是长直角边的四分之一，三角形
a面积是多少平方厘米？
b解：
将正方形面积扩大2倍为64平方厘米，
64=8×8则a=8（厘米），b=8÷4=2（厘米）
那么，S=8×2÷2=8（平方厘米）
还原缩倍，所求三角形面积=8÷2=4（平方厘米）
例：
求左下图的面积（单位：
米）。
30解：
将原图扩大两倍成长方形，求出长方
30形的面积后再缩小两倍，就是原图形面积。
40S=（40+30）×30÷2=1050（平方米）
例：
左图中每个小方格都是面积为3平方厘米的
正方形。
求阴影部分面积。
解：
先将3平方厘米缩小3倍，成1平方厘米。
面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米。
将图形分割成两个三角形，
S=3×2÷2+3×1÷2=4.5（平方厘米）
再将4.5扩大3倍，S阴=4.5×3=13.5（平方厘米）
七、代数法
例：
图中三角形甲的面积比乙的面积少8平方厘米,AB=8cm,CE=6cm。
求三角形甲和三角形乙的面积各是多少？
A甲D解：
设AD长为Xcm。
再设DF长为ycm。
8乙F8X+8=8（6+X）÷24y÷2+8=6（8-y）÷2
BC6EX=4y=3.2
S甲=4×3.2÷2=6.4（c㎡）
S乙=6.4+8=14.4（c㎡）
例：
B左图所示，AF=12，ED=10，BE=8，CF=6（单位：
厘米）
C求四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
AEFD解：
AE-FD=2（厘米）
设FD长X厘米，则AE长（X+2）厘米。
SABCD=8（X+2）÷2+6X÷2+（8+6）（10-X）÷2
=4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米）
例：
左图是一个等腰三角形，它的腰长是20厘米，
面积是144平方厘米。
在底边上任取一点向两腰
2020作垂线，得a和b，求a+b的和。
ab解：
过顶点连接a、b的交点。
20b÷2+20a÷2=144
10a+10b=144
a+b=14.4
八、看外高
例：
下图两个正方形的边长分别是6厘米和3厘米，
求阴影部分的面积。
解：
从左上角向右下角添条辅助线，将S阴看
成两个钝角三角形。
（钝角三角形有两条外高）
S阴=S△+S△
=3×（6+3）÷2+3×6÷2
=22.5（平方厘米）
例：
下图长方形长10厘米，宽7厘米，求阴影部分面积。
解：
阴影部分是一个平行四边形。
与底边2厘米
2对应的高是10厘米。
S阴=10×2=20（平方厘米）
例：
ADF正方形ABCD的边长是18厘米，CE=2DE
E
（1）求三角形CEF的面积。
BC
（2）求DF的长度。
解：
BCF是一个钝角三角形，EFC也是一个钝角三角形
EC=18÷（2+1）×2=12（厘米）
（1）SCEF=18×18÷2-12×18÷2=54（平方厘米）
（2）DF=54×2÷12=9（厘米）
九、概念法
例：
一个直角三角形，三条边分别为4厘米、6厘米和7厘米。
求它的面积。
解：
因为三角形两条直角边之和大于第三边，两边之差小于第三条边，所以这个三角形的两条直角边分别为4厘米和6厘米。
S=4×6÷2=12（平方厘米）
例：
用4个直角边分别是3厘米、4厘米和5厘米的直角三角形拼成一个菱形。
这个菱形的周长和面积各是多少？
解：
因为菱形的两条对角线互相垂直，所以斜边5厘米只能作为
菱形的边长。
C=5×4=20（厘米）
S=4×3÷2×4=24（平方厘米）
例：
一个平行四边形两条边分别是5厘米和3厘米，其中一条高为
4.2，求这个平行四边形的面积。
解：
因为在平行四边形中，高是一组对边间的距离，必定小于另一组对边的长度，所以高4.2厘米所对应的底只能是3厘米的边。
S=3×4.2=12.6（平方厘米）
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