热学中的临界问题Word下载.docx

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７５／３００＝７５×

１００／Ｔ,

　得　Ｔ＝３００Ｋ.

　显然,此解不合理,那么应该如何分析呢?

设升温后,管内剩下水银柱长度为ｘ,据

　ｐ0Ｖ0／Ｔ0＝ｐ1Ｖ1／Ｔ1,

　得　１００×

７５／３００＝（７５＋ｘ）（１００－ｘ）／Ｔ,

　即　Ｔ＝（１／２５）（－ｘ2＋２５ｘ＋７５００）.

　上式为温度Ｔ与水银柱长度ｘ的函数关系,当ｘ＝－２５／（２×

（－１））＝１２、５时,有

　Ｔm＝３０６、２５Ｋ.

　以ｘ为横坐标,Ｔ为纵坐标,作Ｔ-ｘ图象帮助理解,Ｔ-ｘ图象如图１乙所示.

　从图象分析可以发现,对应Ｔ＝３００Ｋ,ｘ有两个值,即ｘ1＝２５ｃｍ,ｘ2＝０,表明先升温至Ｔ＝３０６、２５Ｋ后,不需要再加热升温,水银能随气体自动膨胀全部溢出.

　类型二、倒转溢出水银

例2 

一端开口、一端封闭且长为Ｌ的均匀直玻璃管,内有一段长为ｈ的水银柱封闭了一段空气柱,如图2甲所示.当玻璃管的开口端向上竖直放置时,封闭的空气柱长为ａ,当缓慢地转动玻璃管,使其开口端竖直向下时,水银不流出,则管中水银柱长度ｈ必须满足什么条件?

（设大气压强ｐ0＝Ｈ水银柱高）.

玻璃管的开口竖直向上时,如图2甲所示.当玻璃管开口转到竖直向下时,水银的一端刚好到达管口而没有流出作为水银不流出的临界状态,如图2乙所示.对甲图,有

　ｐ1＝（Ｈ＋ｈ）,Ｖ1＝ａＳ.

　对乙图,有

　ｐ2＝（Ｈ－ｈ）,Ｖ2＝（Ｌ－ｈ）Ｓ.

　若ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2,水银刚好不溢出;

若ｐ1Ｖ1＞ｐ2Ｖ2,说明ｐ2与Ｖ2的值均小,Ｖ2变大,水银要外流.水银流出后,ｐ2的值也增大,故当ｐ1Ｖ1＞ｐ2Ｖ2时,水银要外流.若ｐ1Ｖ1＜ｐ2Ｖ2,说明Ｖ2的值大了,水银上升,将远离管口,Ｖ2值变小,ｐ2不变,水银不会流出.综上所述,要使水银不外流,则需ｐ1Ｖ1≤ｐ2Ｖ2.所以

　（Ｈ＋ｈ）ａＳ≤（Ｈ－ｈ）（Ｌ－ｈ）Ｓ,

　化简得ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ）≥０,

　令ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ）＝０,

　得 

　令ｙ＝ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ）,作出关于ｙ-ｈ的函数图象如图2丙所示,其中

.

　当ｙ≥０时,有ｈ≤ｈ1或ｈ≥ｈ2,其中要求ｈ＋ａ＜Ｌ,若题中Ｈ、Ｌ、ａ为具体数值,则一定要对结果进行合理取舍.

　类型三、滴加溢出水银

例3 

一端封闭的玻璃管开口向上,管内有一段高为ｈ的水银柱将一定量的空气封闭在管中,空气柱的长度为Ｌ,这时水银柱上面刚好与管口相平.如果实验时大气压为Ｈ水银柱,问管中空气柱长度满足什么条件时,继续向内滴加水银,则水银不会流出管口?

如图3所示,若滴加水银后管内水银柱的高度增加Δｈ,对封闭的气体来说,压强增加Δｈ水银柱高,其体积就相应减小,设其体积压缩ΔＬ·

Ｓ.当Δｈ＞ΔＬ时,水银将外流;

当Δｈ＜ΔＬ时,水银不会外流;

当Δｈ＝ΔＬ时,这就是水银刚好不外流的临界条件.设水银刚好不外流时,滴加Δｈ高度的水银柱.于就是有

　ｐ1＝（Ｈ＋ｈ）,Ｖ1＝ＬＳ,

　ｐ2＝（Ｈ＋ｈ＋Δｈ）,Ｖ2＝（Ｌ－Δｈ）Ｓ.

　由玻意耳定律ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2,

　得（Ｈ＋ｈ）ＬＳ＝（Ｈ＋ｈ＋Δｈ）（Ｌ－Δｈ）Ｓ,

　整理得Ｌ＝Ｈ＋ｈ＋Δｈ,

　又∵Δｈ＞０,

　∴Ｌ＞Ｈ＋ｈ.

　类型四、吸取溢出水银

例4 

粗细均匀的玻璃管长Ｌ＝９０ｃｍ,下端封闭,上端开口,竖直放置,如图4所示.有一段高度ｈ＝８ｃｍ的水银柱把部分气体封闭在玻璃管内,水银面与管口相平,此时ｐ0＝７６ｃｍＨｇ.现用吸管从管口缓慢地向外吸出水银.讨论为不使气体膨胀过大导致水银外溢,吸出水银柱的长度应满足的条件.

若吸取水银后管内水银柱的高度减小,对封闭的气体来说,压强减小ｘ（ｃｍＨｇ）,其体积就相应增加,设其体积增加ｙ长气柱,显然ｘ＝ｙ,就是水银刚好不外流的临界条件.设吸取ｘ（ｃｍ）长的水银柱后,气体长为（８２＋ｙ）ｃｍ,则

　初态ｐ1＝８４ｃｍＨｇ,Ｖ1＝８２·

Ｓ,

　末态ｐ2＝（８４－ｘ）ｃｍＨｇ,Ｖ2＝（８２＋ｙ）Ｓ,

　据玻意耳定律ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2,得８４×

８２＝（８４－ｘ）×

（８２＋ｙ）,

　得ｙ＝（８４×

８２）／（８４－ｘ）－８２,①

　由题意知ｙ≤ｘ,②

　即（８４×

８２）／（８４－ｘ）≤ｘ,

　整理得ｘ（２－ｘ）≥０,

　∵ｘ＞０,

　∴ｘ≤２ｃｍ.

　故最多只能吸取２ｃｍ长水银柱.

　类型五、直角弯管内水银柱移动

例5 

两端开口且足够长的Ｕ型管内径均匀,向两侧注入水银,将一定质量的理想气体封闭在管中的水平部分,气柱及水银柱长度如图5所示,大气压强为７６ｃｍＨｇ,此时封闭气体温度就是１５℃,当气柱温度缓慢地升至３２７℃时,左右两管水银面高度差就是多少?

（提示:

气柱可能进入左边竖直管中）

先假设升温时,左边部分水银刚好全部挤入左侧管内,那么左、右两边管内水银面均升高４ｃｍ,气柱长度为１８ｃｍ,此时两管水银面相平,计算此时对应的温度,再与３２７℃比较,瞧就是否满足条件.对封闭的气体有

　初态ｐ1＝９６ｃｍＨｇ,Ｖ1＝１０Ｓ,Ｔ1＝２８８Ｋ,

　末态ｐ2＝１００ｃｍＨｇ,Ｖ2＝１８Ｓ,Ｔ2＝?

　据ｐ1Ｖ1／Ｔ1＝ｐ2Ｖ2／Ｔ2,

　得（９６×

１０）／２８８＝（１００×

１８）／Ｔ2,

　得Ｔ2＝５４０Ｋ＜６００Ｋ.

　可见假设不成立.故必有部分气柱进入左侧管内,此时ｐ3＝ｐ2＝１００ｃｍＨｇ.对封闭气体有

　末态ｐ3＝１００ｃｍＨｇ,Ｖ3＝？

Ｔ3＝６００Ｋ,

　据ｐ1Ｖ1／Ｔ1＝ｐ3Ｖ3／Ｔ3,得９６×

１０Ｓ／２８８＝１００×

Ｖ3／６００,

　得Ｖ3＝２０Ｓ.

　由于左、右管均开口,且气柱两端与水银分界面处压强均为ｐ3＝１００ｃｍＨｇ.故只能就是左管内水银面升高６ｃｍ,右管内水银面升高４ｃｍ.则左右两管里水银柱上表面高度差Δｈ为２ｃｍ.

　类型六、与弹簧相连问题

例6 

如图6所示,长为２Ｌ的圆筒形气缸可沿动摩擦因数为μ的水平面滑动,在气缸中央有一个面积为Ｓ的活塞,气缸内气体的温度为Ｔ0,压强为ｐ0（大气压强也为ｐ0）.在墙壁与活塞之间装有劲度系数为ｋ的弹簧.当活塞处在图中位置时,弹簧恰在原长位置.今加温使气缸内气体体积增加一倍,问气体的温度应达多少?

（气缸内壁光滑,活塞与气缸总质量为ｍ）

本题就是气体性质与力学综合题,仔细分析可以发现,摩擦因数大小不同,会出现不同的结果.当气体受热膨胀时气缸始终静止不动就是一种结果;

在膨胀过程中气缸发生移动将得到另一种结果,下面分两种情况进行讨论.

（1）在μｍｇ＞ｋＬ的情况下,气缸始终处于静止状态.活塞平衡条件为

　（ｐ－ｐ0）Ｓ＝ｋＬ,

　据理想气体状态方程,有

　ｐ0·

ＳＬ／Ｔ0＝ｐ·

２ＬＳ／Ｔ,

　所以Ｔ＝２Ｔ0（１＋ｋＬ／ｐ0Ｓ）.

（2）在μｍｇ＜ｋＬ的情况下,整个过程分两个阶段:

　ａ.在静摩擦力达到最大值之前,气缸处于静止状态.连结活塞的弹簧被压缩,设压缩量为ｘ时气缸将开始移动,则有

　ｋｘ＝μｍｇ,即ｘ＝μｍｇ／ｋ,①

活塞平衡条件为（ｐ－ｐ0）Ｓ＝μｍｇ,②

式中ｐ为此时的压强,设此时的温度为Ｔ′,则据气体状态方程,有

　ｐ0ＳＬ／Ｔ0＝ｐＳ（Ｌ＋ｘ）／Ｔ′,③

联立①、②、③式,得

　Ｔ′＝（１＋μｍｇ／ｐ0Ｓ）（１＋μｍｇ／ｋＬ）Ｔ0.④

　ｂ.气缸发生移动后,气体处于等压膨胀过程中,设最终温度为Ｔ,则

　Ｔ／Ｔ′＝Ｖ／Ｖ′＝２ＬＳ／（Ｌ＋ｘ）Ｓ＝２／（１＋μｍｇ／ｋＬ）,⑤

将④代入⑤式,得Ｔ＝２（１＋μｍｇ／ｐ0Ｓ）Ｔ0.