机器人导论第一次作业Word文档下载推荐.docx

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（2）首先让F绕基坐标系的y轴旋转90°

，然后沿基坐标系的x轴平移20。

求变换所得的新坐标系F¢

。

（3）确定表示同一点但由坐标系F¢

描述的矢量u¢

（4）作图表示u,v,u¢

F和F¢

之间的关系。

é

3ù

0 -1 0 10ù

2ú

ú

①：

因为u=ê

ú

2

û

ê

1 0 0 20ú

ú

其所在连体坐标系为F=ê

0 0 1 1

û

0 0 0 1ú



因此，由左边变换可

é

é

8ù

ê

ê

23ú

得：

v=Fu=ê

×

=ê

0 0 1 1ú

ê

3ú

0 0 0 1 1 1

ë

ë

②：

由于F是基于基坐标系的变换，由“右乘联体左乘基”可得：

F¢

=trans（20,0,0）R（Y,90°

）F

1 0 0 20ù

é

0 0 1 0ù

0 1 0 0ú

0 1 0 0ú

=ê

û

0 0 1 0ú

-1 0 0 0ú

ë

0

0 0 1 21ù

0 0 1û

0 0 1ú

③：

根据左边变换公式v=Fu=F¢

u¢

得：

=F¢

-1v

因此：

3ù

13ú

-13ú

1ú

1ú

④：

zA

zF

yF（zF’）

yA

xA

P

xF

xF’

yF’

2、已知其次变换矩阵

0 1

0 0

H=ê

-1 0

0

0 0ù

-1 ú

0 0ú

0 û

要求Rot（f,q）=H,确定f和q的值。

已知齐次变换矩阵

0 1 0 0ù

0 0 -1 0ú

Rot（f,q）=ê

，

0 0 0 1ú

可知：

n+o+a=（f2+f2+f2）versq+3cq

x y z x y z

=1+2cq=0

得cq=- ，因此sq=±

3。

由于0£

q£

180o得：

q=120o，sq= 3

2 2

3

ì

f=（o-a） = é

ù

ï

x z y 3 ê

3ú

fxù

ï

由f=ê

fyú

，且í

fy=（ax-nz）

= ，得f=ê

3 3

fú

zû

3ú

fx=（ny-ox） =-

î

3

-3ú

3、矢量Q绕矢量f旋转q角，产生新的矢量Q¢

，即Q¢

=Rot（f,q）Q。

求证：

Q¢

=Qcq+sq（f´

Q）+（1-cq）[Q-（f´

Q）´

f]根据通用旋转变换的齐次变换阵，经过

化简可得：

（1-cq）（fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz）+cqQx+sq（fyQz-fzQy）ù

（1-cq）（ffQ+ffQ+ffQ）+cqQ+sq（fQ-fQ）ú

Rot（f,q）Q=ê

xyx yyy yzz y zx xzú

（1-cq）（fxfzQx+fzfyQy+fzfzQz）+cqQz+sq（fxQy-fyQx）ú

1 ú

f]

cqQx+sq（fyQz-fzQy）+（1-cq）（Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz）ù

cqQ+sq（fQ-fQ）+（1-cq）（Q-ffQ-ffQ+ffQ+ffQ）ú

y zx xz y xxy zzy xyx yzzú

cqQz+sq（fxQy-fyQx）+（1-cq）（Qz-fyfyQz-fxfxQz+fxfzQx+fzfyQy）ú

x y z

由（f2+f2+f2）=1可得：

Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz

=Qx（1-fyfy-fzfz）+fxfyQy+fxfzQz

=fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz

即（Rot（f,q）Q）1=Q1¢

，同理（Rot（f,q）Q）2=Q2¢

，（Rot（f,q）Q）3=Q3¢

由上述证明可得Rot（f,q）Q=Q¢