数列的极限与无穷等比数列的各项和Word文档下载推荐.docx
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'
刃toohth
lim（att・b）=limci・limb=A-B；
lim
□TOO
limanag^=Z（3H0）・lim仇B、7
【注】注意极限运算性质的适用条件是：
极限存在：
【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：
【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法则：
【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）：
【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
3、无穷等比数列的各项和
当无穷等比数列的公比同<
1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各
【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃项和S”当时的极限：
【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：
1且gHO,各项和的结果等于—,注意辩证理解式中的5与g的含义:
1一4
【注】部分等比数列{©
},且同vl,若是从第加+1项开始才是等比数列，则该数列的所
4、常见的几个极限
（1）limC，n+=—（ac^O,a,b,c.deR）；
cn+dc
（2）lim+'
=—（adHO,d,b,c,d,e,/eR）；
dir+en+fd
0*/|vl
不存在，§
=-1
【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：
指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.
【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高的幕指数，则此式极限不存在：
当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限是分子、分母的最髙次幕的系数比：
当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极限是零.
【典型例题】
例1、求下列极限
C’4-1
（1）lim—~~卢—=；
（2）lim—；
=:
is2n+//川乞3ir+n
Wn+2
2
（4）lim-+
1-4/rA
1+h2；
:
（6）lim
30
（5）linr.—
…时+3”_亦2+]
1—2+3—4+・・・・+（2/z—1）—2.H
72-1
1
2n+k
（10）已知求lim3h2I—一一-
2n2n+12〃+2
例2.已知lim"
"
一an-b=0,则“=,h=・
72+1丿
■亠亠■卄■・+bn+2.
［变式1】若Inn=1>
则“=:
h=
"
TCC3舁+4
•卄，.+bn+2.nil.
【变式2】若hm=1>
则"
=:
b=
Tcc3/7+4
【变式3】若则"
=.
.YT002ir-5/7+32
例3、数列心满足心=（〃+］〃+2）・则咏+6+6a.,）=
例乳若lim（l-2xr存在，则实数x的取值范囤为.
【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——
例5.求下列极限
111
1+—+—+•••+—
（3）
:
（4）lim—=—J=
bOC111
]+—+—+■・・+
393〃
an^\
例6.已知"
0丄>
0.若lim〃…=5,则a+b的值不可能是（n^x卍...
A.7B.8C.9D.10
【变式1】若lim—一-=0,贝ij实数“的取值范围是
2间+a,J
=2,则b的取值范围是.
【变式2】已知sb是不等的两正数，若1屛
ya+b
【变式3】已知坯3，j（E”
则实数“的范用
v+l一2a
【变式4】C知心・，且怛
求
实数〃的取值范阳1・
例7、已知（1+JJ）"
=©
+化（其中务也均为正整数），计算linA
^,n<
1000
例8.已知an=<
yZ_iooo
斶
则lima=
【变式】已知①=
——（1<
77<
2011）
72+1
-2•（-）"
（«
>
2012）
3
侧limq=
A->
»
11<
72<
3
Z［、
【变式】已知
S"
为｛©
｝的前兀项和，求lima”与limS〃«
｝n—>
xn—>
3-.n>
4
例9、下列命题中正确的命题是：
A.若lim©
=4,limb=3,则lim—=—（bft0,ne）
乂*宀—bnB'
B.若数列｛an）,｛bn｝的极限都不存在,贝）l｛an+bn｝的极限也不存在
C.若数列（an｝9lan+bn］的极限都存在,贝IJ｛bn｝的极限也存在
D•设S”=5+勺+・・・5,若数列｛©
｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在
【变式l】“lima=p.hmb=r立的（）
n-*»
11“FC11II->
Xbr
N
A・充分非必要条件B・必要非充分条件C•充要条件D.既非充分也非必要条件
求lim（5叫）.
例10、已知!
irn[（3/?
-l）f/J=2,
【变式1】已知lim（/+$）=2,lim（3©
-4亿）=—1,求下列极限:
n->
ocn—>
（1）liman:
（2）lim（t/n•/?
）:
（3）lim（2ait一b）
n->
xn->
x'
【变式2】已知lim©
=2,求lim
oc訂—so
例11、已知lim
T8
^■[―+—|j=4,写出｛©
.｝的一个通项公式①=
【变式3】已知｛©
｝,｛化｝为公差不为零的等差数列，且lim学=2,求lim
bHTOC
s
【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q（q>
0）且求lim石丄与
【变式5】首项为1,公比为§
3>
0）的等比数列前舁项和为则lim亠
…S心
【变式6］在数列｛陽｝中,a严0,当weN*时，%=
S
为S”，叫竺严——
【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：
对于所有neN\有4Sn=（an+\）\其中Sf，表示数列｛心｝的前川项和.则lim—=
”tha
【变式8］已知各项为正数的等比数列｛©
｝的首项，公比为x,前“项和为设
（1）求/（x）的解析式:
（2）
作出/（"
）的图像.
【变式9】矩阵3勺2。
33
…如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各
…ann>
元素之和为S"
则lim+〒=
“TOO矿・2
【变式10】数列｛%｝中，勺=2，对于任意wkn^N\都有勺切=4+^+2,S”是｛%｝
的前〃项和，叫亶討
222
例12.已知AABC顶点分别是A（0,_）,3（0,—_）,C（4+—记△ABC的外接圆nnn
而积为S『则limS”=・
Toe
【变式】在平面宜角坐标系中，定义［心产儿（"
UNJ为点代（兀，儿）到点
I儿+1=儿+兀
久2”+1，儿+J的一个变换，我们把它称为点变换•已知人（0,1），出匕2，儿），…，此（£
，儿）
E+i（兀+i，儿+J（"
wNJ是经过点变换得到的一列点•设勺=|^+1|‘数列｛（/“｝的前"
项和
£
为S「那么lim=・
“T+XCI
例13、数列｛©
｝是等比数列，前〃项和为片，且lim=丄，求①的取值范围.
“一kca
【变式1】数列｛勺J是等比数列，首项5=1,公比q—求lim）-的值.
X
【变式2】已知｛©
｝为无穷等比数列，满足5=1,©
=&
（"
曲+仏2+…），求实数£
的取
值范用
【变式3】已知各项均为正数的无穷等比数列｛%｝中，4=血+1,5=迈亠则此
数列的各项和S=
【变式4】已知无穷等比递缩数列｛qr｝中，q=l,｛©
｝的所有项和为S,前〃项和为S「
则lim（S]+5\+S3+・・・+S〃—.
【变式5】已知数列｛“”｝满足5=1,=-^（“wN"
）,求lim（"
]+“2+"
3+…•
2"
—'
3C
H〃v3
【变式6】已知an='
一，求lim（q+tr+他+••・+"
”）・
2-・n>
4nfc
例14.如图，已知正AA0C；
的边长是1,而积是片，取各边的中点ArB2,C2,
AA2B2C2的而积为巴，再取M2B2C2边的中点A，艮,C3，AA/G的而积为R,依此
类推•记=A+£
+出+…+£
「则lim5n=・
【变式1】如图，在边长为1的等边AABC中，圆q为AABC的内切圆，圆。
2与圆q外切，且与AB.BC相切，…，圆Q利与圆Q外切，且与AB.BC相切，如此无限继续
下去，记圆Q的而积为｛色｝0疋2）・
（1）证明｛（_｝是等比数列：
（2）求lim（“]+。
2+佝+・・・+4）的值.
【变式2】已知函数f（x）=kx+m,当]时,/（x）的值域为[a2,b2]，当xe[a2,b2]时，/（x）的值域为[务如，以此类推,一般地，当xeta^b^W，f（x）的值域为⑷,®
],其中斤,〃7为常数，且4]=0,鸟=1.
（1）当k=\,m=2时，求数列｛"
”｝,｛$｝的通项公式：
（2）当m=2时，问是否存在常数k>
0,使得数列他｝满足limZ?
r=4?
若存在求出k的值：
若不存在，请说明理由.
（3）当一IvkvO,设匕｝,｛仇｝的前"
项和为S”、Tn,求lim（7；
-5J.
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