第3章 勾股定理教案Word文件下载.docx

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练习：

课本P79　练习

通过学生操作，实验，各小组讨论，画图给出不同的数据，填入表中，猜想出直角三角形三边之间的数量关系.

a

b

c

a2+b2

c2

关系

①

②

③

④

得出结论：

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

剖析：

（1）这是直角三角形的重要性质，揭示了直角三角形的三边之间的重要数量关系

（2）体现了一个重要的数学思想：

数形结合，即只要知道“形”—直角三角形，即可得到“数”—直角边的平方和等于斜边的平方.（数量关系）

（3）符号语言：

在Rt△ABC中，若∠C=90°

，则a2+b2=c2

（4）Rt△ABC中，已知任意两边可求第三边

（5）用面积关系解释勾股定理

二、独立训练

　　1、在Rt△ABC中，∠C＝90°

（1）如果BC＝9，AC＝12，则AB＝＿＿＿

（2）如果BC＝40，AC＝41，则AB＝＿＿＿

2、

（1）在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）

A、5、4、3B、13、12、5C、10、8、6D、26、24、10

　　3、如图，△ABC中，∠ABC＝90°

，AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC

4、如图△ABC中，∠ACB＝90°

，AB＝50cm，BC＝30cm，CD⊥AB于D，求CD的长.

5、一棵树在台风“卡努”的袭击下，在离地5米断裂，树顶落在离根12米远处，问这棵树断之前有多高？

三、合作交流

1、同桌互阅，互批.

2、教师讲评分析.

四、拓展延伸

1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（π取3）是（）

A、20cm；

B、10cm；

C、14cm；

D、无法确定.

2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

五、总结反思

1、勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是直角三角形的又一条重要性质；

2、勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，是数形结合的经典一例.

第2课时

唐森林　　　审核：

3.1勾股定理

（2）

　　1、通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理，发展合情推理的能力，体会数形结合思想.

　　2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

重、难点：

　　通过拼图验证勾股定理，利用勾股定理进行计算.

教学过程　

一、自学反馈

，AC：

BC＝3：

4，AB＝10，则AC＝＿＿＿＿，BC＝＿＿＿＿

　　2、在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝14，求底边上的高和一腰上的高.

（二）引入新课，梳理知识

1、探索活动

（1）剪4个全等的直角三角形，把它们拼成弦图，与同学合作探索数学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定理的.并思考还有无其他方法.

（2）如图观察，比较下面两个图形的面积，用不同的方法计算两个大正方形的面积，你能从中发现验证勾股定理的方法吗？

分析：

图①中

　　S大正方形＝c2＋2ab

　　　图②中

　　　S大正方形＝a2+b2+2ab

　　由此可得

　　　c2=a2+b2

（3）如图把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用下图验证勾股定理吗？

先证∠ACB＝90°

，再由梯形面积的两种不同算法去验证勾股定理.

2、操作并思考

（1）观察图的△ABC和△DEF，它们是直角三角形吗？

（2）观察图中分别以△ABC和△DEF的各边为一边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？

二、独立训练

1、一个等腰三角形的周长是16，底边上的高是4，求这个三角形的三边的长.

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝12，BC边上的中线AD的长为13，求边BC的长.

3、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）

A、6B、8C、10D、以上答案均不对

4、拼图填空：

剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.

（1）拼图一：

分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和_________（填"

大于"

、"

小于"

或"

等于"

）图③中小正方形的面积，用关系式表示为___________.

（2）拼图二：

用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有_______个正方形，它们的面积之间的关系是________________，用关系式表示为_________________.（3）拼图三：

用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积之间的关系是______________，用关系式表示__________________.

1、同桌互阅，互批，教师组织学生展开讨论.

2、师生共同总结：

通过拼图验证勾股定理.

如图Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝4，BC＝3，把△BCD沿BD折叠后C刚好落在AB边上E处，求CD的长.

　　1、这节课我们通过多种拼图的方法，进一步验证了勾股定理，体会数形结合思想.

2、用勾股定理解决问题的一般思路：

寻找或构造直角三角形.

第3课时

3.2勾股定理的逆定理

1、会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）；

2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形；

3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.

　　用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定.

1、有一个三角形的三边长为3、4、5，这个三角形是什么三角形？

为什么？

　　2、下列各组数是勾股数吗？

　　　12、15、18；

12、35、36；

7、24、25.

1、由自学检查题，引出“直角三角形的判定条件”即勾股定理的逆定理并引导学生将勾股定理与逆定理进行比较.

勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系.

区别：

勾股定理的条件是“直角三角形”，结论是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即由“角”的条件得到“边”的关系，是直角三角形的性质定理；

而勾股定理的逆定理的条件是“三角形两边的平方和等于第三边的平方”，结论是“直角三角形”，即由“边”的关系判定“角”，是直角三角形的判定定理.

联系：

两个定理的条件和结论正好相反，并且都与直角三角形及其边有关.

2、由自学检查题2，引出勾股数的定义.

满足a2＋b2＝c2的三个正整数a、b、c、称为勾股数.

强调：

（1）勾股数必须是正整数，勾股数的整数倍也是勾股数.

（2）熟记一些常用的勾股数组，如：

3，4，5；

6，8，10；

5，12，13；

8，15，17；

9，40，41等.

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.

（1）a＝7，b＝24，c＝25　　　

（2）a＝1.5，b＝2，c＝2.5

（3）a＝

，b＝1，c＝

　　　（4）3a，4a，5a（a≠0）

2、判断下列各组数是否为勾股数：

（1）15，8，17　　　　

（2）13，14，15

3、某车间要加一种四边形的零件，要求AB⊥BC，CD⊥DA，如图，已知有一个四边形零件，AB⊥BC，量得各边长为AB＝15cm，BC＝20cm，CD＝7cm，AD＝24cm，这个零件符合要求吗？

4、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n

2

3

4

5

…

22－1

32－1

42－1

52－1

6

8

10

22＋1

322＋1

42＋1

52＋1

（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：

a＝＿＿＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿＿＿＿，c＝＿＿＿＿＿＿＿＿.

（2）猜想：

以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？

并说明理由.

2、师生共同总结

（1）判断三角形是否是直角三角形，常用的方法除了求一个角为90°

外，还可利用勾股定理的逆定理判别，但此时需判断出哪条是最长边.

（2）不规则图形，往往通过辅助线把它转化成一个特殊图形.（直角三角形）

如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°

，且BQ＝BP，连接CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）若PA：

PB：

PC＝3：

4：

5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.

1、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方，若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；

若两者不能相等，则不是直角三角形；

也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的平方和等于第三边的平方.

2、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数必须都是正整数.

第4课时

唐森林　　审核：

3.3勾股定理的简单应用

　　1、能在实际生活情境中，利用勾股定理解决问题；

　　2、经历把实际问题数学化这一过程，获得相应的数学学习方法，此外，能通过学习，使学生进一步养成“学数学，用数学”的意识.

　　把实际问题抽象成直角三角形的问题，再利用勾股定理来解决.

（一）自学检查题

1、一架长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4m，如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化？

2、如图，在垂直高度与水平距离之比为3：

4的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是8米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？

1、探求运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，首先要掌握两个定理.

2、要求两点间的距离，常常围绕这两点构造直角三角形，把这两点间的线段放在某一个直角三角形中，然后利用勾股定理求出.

二、例题讲解

1、《九章算术》中的“折竹”问题：

“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？

”题意是：

有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？

2、如图△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC.

3、《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：

“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？

有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B’（如图），问水深和芦苇长各多少？

1、在△ABC中，AB＝15，AD＝12，BD＝9，AC＝13，求△ABC的周长和面积.

2、如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

A、12≤a≤13　　　　　B、12≤a≤15

C、5≤a≤12　　　　　D、5≤a≤13

3、如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面都分成3×

3的小正方形，其边长为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧的B点，至少要花几秒钟？

　　四、拓展延伸

甲、乙两人在沙漠中进行探险，某日早晨8：

00甲先出发，他以6千米/小时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10：

00时，甲、乙两人相距多远？

　　分析：

要求甲、乙两人之间的距离，首先必须画出图形确定甲、乙两人在平面内的位置关系，由于甲往东南方向，乙往西南方向，所以甲走的路线和乙走的路线垂直，分别求出甲、乙两人所走的路线，标注到图形上，然后利用勾股定理即可求出甲、乙两所走的距离.

　　如图，甲走路程为OA＝6×

（10－8）＝12千米

　　　　　乙走路程为OB＝5×

（10－9）＝5千米

　　　　　∵甲、乙两人所走路线垂直

　　　　　∴OB⊥OA

　　　　　∴AB＝13千米

　　　答：

这时甲、乙两人相距13千米.

五、总结反思　

1、在解决一些立体图形的最短线路问题时，常将这个立体图形展开成一个平面图形，利用两点之间线段最短来解决.

2、在许多实际问题中，没有直接给出三角形，需要我们构造合适的直角三角形予以解决.

3、勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边可以依据勾股定理求出第三边.

4、勾股定理是由“形”得到“数”的关系，而勾股定理的逆定理是由“数”的关系得到“形”的特征，因此，运用它们解决实际问题时，常用“数形结合”的思想方法.

第5课时

本章复习

1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形.

勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。

一、基础训练

1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所

代表的正方形面积是__

2下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）

　Ａ、a=8,b=15,c=17　　Ｂ、a=9,b=12,c=15　　

Ｃ、a:

b:

c=2:

3:

4　　　Ｄ、a=41,b=9,c=40

3、若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________．

4、若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为＿＿＿＿＿＿

5、已知甲往正东走了4km，乙往正南走了3km，这时甲、乙两人相距.

6、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为.

7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：

①6、8、10；

②5、12、13；

③8、5、17

④4、5、6.其中能构成直角三角形的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

8、在ΔABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法中正确的个数有（）

①如果∠B-∠C=∠A，则ΔABC是直角三角形②如果c2＝b2－a2，则ΔABC是直角三角形，且∠C=900③如果（c＋a）（c－a）＝b2,则ΔABC是直角三角形④如果∠A:

∠B:

∠C=5:

2:

3，则ΔABC是直角三角形

A.1B.2C.3D.4

9、如图，在高2米，坡角为30°

的楼梯表面铺地毯，地毯的场至少需________米．

10、如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝14cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=＿＿＿＿＿。

11、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为

，较长边为

，那么（

+

）2的值是

12、如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,求它至少要飞行多少米.

二、例题解析

例1：

如图，已知AD是BC边上的中线，如果BC＝10㎝，AC＝4㎝，AD＝3㎝，

求△ABC的面积

例2：

如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只沿树爬下，走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶D处后直跃后向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？

（设树垂直）

例3：

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿对角线BD对折，使点C落在E处，且BE与AD交于F，求EF的长及△BDF的面积。

三、强化训练

1．一个直角三角形的两条直角边长为6，8，则该直角三角形斜边上的中线的长度为

2、如图，一个梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上.测得BD的长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

3：

如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）.

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1，昆虫乙如果沿路径A→E→C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲（请简要说明画法）

（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1处以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A处以2cm/s的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？

（列出关于时间的方程即可）