二次函数与等腰三角形Word文件下载.docx

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解题思路：

等腰三角形的存在性的解题方法：

①几何法三步：

先分类；

再画图；

后计算．②代数法三步：

先罗列三边；

再分类列方程；

后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.

一、考点突破

例1、如图，已知抛物线y=﹣

+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC、BC，求线段BC所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的P点坐标；

若不存在，请说明理由．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；

同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点M的坐标；

例3、如图，已知抛物线

（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

【变式题组】

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，

），顶点坐标为N（﹣1，

），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？

若存在，求出Q点坐标；

2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；

若不存在，说明理由；

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，点

，

分别是

轴正半轴，

轴正半轴上两动点，

，以

为邻边构造矩形

，抛物线

交

轴于点

为顶点，

．

（

）求

的长（结果均用含

的代数式表示）；

）当

时，求该抛物线的表达式；

）在点

在整个运动过程中，若存在

是等腰三角形，请求出所有满足条件的

的值．

作业巩固

1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB.

（1）求b＋c的值；

（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标..

3、如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；

（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．