《控制系统建模与仿真》习题课讲稿-2021版.pptx

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控制系统数字仿真与CAD习题课,1,目录,习题1布丰投针实验仿真习题2一阶直线倒立摆系统拉格朗日方程法建模习题3水箱液位控制问题习题4数字PID控制器的有效性问题习题5Buck-Boost变换器的小信号建模,习题1布丰投针实验仿真,3,布丰投针概要,4,布丰投针概要,布丰投针是法国科学家布丰（Buffon）于1777年提出的一种计算圆周率的方法，这是第一个用几何形式表达概率问题的方法。

布丰投针实验的步骤：

1、在一平面上画一组间距均为D的平行线；2、取一根长度为L（LD）的针，随机的向这组平行线区域投掷n次，记录其与平行线相交的次数m；3、计算该针与平行线相交的概率P；4、根据所求概率P通过数学推算可进一步求得。

5,布丰投针实验分析,布丰投针实验原理：

假设针的中点到最近横线的距离为y,则,y0,D,2,2,投针与横线有交点，即yLsin,假设横线向右为正向，记投针与横线正向的角为，0,针与横线有交点的概率：

2,6,2,00,00,21,Lsin,Lsin,fy,dyd,D,2LD,P,dyd,Pkn,Dk,2Ln,布丰投针实验设计,7,L=1;%针的长度D=2;%平行线的宽度n=1000000;%做n次投针试验k=0;%记录针与平行线相交的次数y=unifrnd（0,D/2,1,n）;%在0,a/2内服从均匀分布随机产生n个数theta=unifrnd（0,pi,1,n）;%在0,pi内服从均匀分布随机产生n个数fori=1:

nify（i）（L/2）*sin（theta（i）k=k+1;endendP=k/n;Pi=（2*L*n）/（D*k）;,8,在D=2，L=1的条件下分别令n为不同值的仿真结果如下表：

表1不同n值仿真表,布丰投针实验设计,随着次数的提高，实验结果值越来越趋向于真实值。

由此可见，布丰投针实验是一种卓有成效的求取值的方法，其意义不仅在于求出了比较精确的值，其开创了用实验来解决概率问题的先河，为以后的仿真研究指明了方向。

习题2一阶直线倒立摆系统拉格朗日方程法建模,9,问题提出,教材：

张晓华控制系统数学仿真与CAD（第三版）机械工业出版社2010张晓华系统建模与仿真（第二版）清华大学出版社2016,10,m0,m,2l,x0,F,11,x,研究其物理模型时，需要对其进行抽象以及简化，建立起一个受主要参数影响的物理模型，滑块可以等效为小车，传送带作用力为F。

其控制目标为使摆杆直立不倒，达到稳定。

Fyy,xy0Fx,O,拉格朗日方程相比于传统的牛顿力学，对于复杂的非自由质点系系统有着较为简便的处理方法。

其特点是基于广义能量，将广义坐标作为方程的动态参数，对其进行处理列出系统的能量方程，其普遍形式是,12,其中，T为质点系总动能与总势能之差，Gi为第i个质点势能之和，q为质点系广义坐标，k为质点系自由度，Qk为广义力。

2,k,n,ii,i,1mv2G,i1i1,q,T,kkn,dTTQk1,2,n,dtq,通过分析，可以看出系统的自由度为2，因此取摆角q和水平位移x作为两个广义坐标。

在位移x方向上有广义力F，对于摆角没有外力矩影响。

m0,m,2l,x0,F,13,x,y,Fy,xy0Fx,O,小车的位置和摆杆重心的位置坐标为：

倒立摆系统能量T为：

0,14,M,0,y0,xxlcos,ylsin,0,M,xMx,y,0,xxlsin,y0lcos小车和摆杆重心的速度分量为：

xMx,代入拉格朗日方程求导可得：

在x方向上的广义力为F，因此,15,代入拉格朗日方程求导可得：

在方向上的广义力为0，代入可得：

16,根据两个广义坐标上列写的拉格朗日方程，可得系统数学模型为：

17,可发现利用拉格朗日方程建立的数学模型比牛顿力学的方法要简便很多，可以省去复杂的受力分析，更快建立数学模型。

Mmxmlcos2sinF,Jml2mlxcosmglsin,一阶直线双倒立摆,18,12,111,222,111,222,4,3,3,FMmmx,mL,mL,gLx,g4L,x,线性定常单输入系统：

xAxbu其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵Mb,Ab,A2b,An1b,时，系统为不能控。

满秩，即rankMn。

否则当rankMn,一阶直线双倒立摆,2,19,1,21,1,0,0,0,0,1,0,0,10,0,10,0,q0,q0,9mg,Lq,4Lq,4Lq,9mg,4L2q,4L2q,01,0,03m1g,03m2g,0,0x,0,0,3g4M4m1m2,1,1,1,000,2,1,2,2,3g4M4mm,2,00,0,x,x,x,0,Lq,0,4,q,0,13F,03,2,q4Mm1m2系统的可控性只与两个摆的摆长有关，只要L1L2，系统能控矩阵的秩f6系统状态完全能控；而L1=L2时，f6，系统状态不完全能控。

习题3水箱液位控制问题,20,问题提出,21,1.给出“水箱液位控制系统”设计，并依据流体力学基本概念，建立系统的数学模型下图为水箱液位控制原理图。

在工业过程控制领域中，诸如电站锅炉气泡水位控制，化学反应釜液位控制，化工配料系统的液位控制等问题，均可等效为水箱液位控制问题。

问题提出,22,建模分析,要实现系统液位恒定，需要用传感器检测液位高度（在控制系统结构图上表现为负反馈关系），并与给定作比较，从而控制进水管道的阀门开度。

在进水管道中是层流关系，在出水管道上是紊流关系。

可得水箱,液位控制系统如下。

调节器（CPU）,阀门开度,层流,紊流,K1,积分,hre（t）,u,u,qin,qout,h,out,23,q,建模分析,由右图可知：

层流,紊流,qout,in,q,qt,in,qoutt,-,+,ht,K3,out,q,in,q,Qin（s）,Qout（s）,Hs,K2Hs,K1,K3,1s,hk3（qinqout）dt经过拉普拉斯变换：

h,层流：

Q与h呈线性关系，即QKh紊流：

Q与h呈非线性关系，即QK,1,24,out,（s）,s,H（s）k3Qin（s）Q,建模分析,对模型进行简化：

系统工作在平衡点附近，即系统中的qout（t）处于稳定状态。

液容与液阻,Rdh液位差变化（单位为m）dq流量变化（单位为m3/s）,qin,qoutdt,C,被存储液体的变化（单位为m3）,dh水头的变化（单位为m）,h,25,水箱出口处为紊流状态qK,将其在水箱的平衡点P（q0，h0）处线性化,建模分析,dh2dq,h12hK,h2hqq,出口处液阻为,0,q,R2h,0,in,R,Cdh（qh）dt,00in,dt,RCdhhRq,两边取拉氏变换,R0,G（s）H（s）,Qin（s）R0Cs1,Qins,Hs,Gs,out,26,0,将水箱在平衡点附近的非线性系统简化为线性系统Cdh（qinqout）dt=h,由液阻的定义知q,R,P与PI控制,2.若要使系统液位实现静态无误差，试给出PID控制器的设计方案由经典控制理论可得阶跃输入稳态误差为：

KK,ss,sAA,elim,s01G（s）s1G（0）,其中GK（s）为控制系统的开环传递函数。

在水箱液位控制中，已知控制对象的传递函数为一阶惯性环节。

R,Qin（s）,G（s）H（s）,RCs1,采用P或PI控制时，可得：

s0,K（1s1）,GKPIlim,s（T1s1）,ss,e0无差,1,27,K,KP,Glim,K（开环放大倍数）,s0（Ts1）,ss,1K,e1有差,PD控制与模糊控制,模糊控制是基于偏差与偏差变化率的控制，可等效为PD控制器。

由经典控制理论可得阶跃输入稳态误差为：

KK,ss,sAA,elim,s01G（s）s1G（0）,其中GK（s）为控制系统的开环传递函数。

在水箱液位控制中，已知控制对象的传递函数为一阶惯性环节。

R,G（s）H（s）,Qin（s）RCs1,采用模糊控制（等效为PD控制）时，可得：

1,p,klimK（1s1）K（开环放大倍数）,（Ts1）,ss,28,e,1K,s01,可以看出，模糊（PD）控制是“有差控制”。

设计与仿真,在实际系统中，水箱入口处的阀门由一个调节器控制，以保持水箱液位恒定不变。

出口处阀门由人为操纵，可将其看成一个扰动量。

水箱液位恒定控制数学模型图如下所示。

其中，取K01,1,S,K10.1（S为底面积）,g9.81,K0,K1,hr,e（t）,调节器u（CPU）,u,qin,qout,h,qout,2gh,1s,29,设计与仿真,由左图结果可看出，采用P调节时是“有差控制”。

30,设计与仿真,由左图结果可看出，采用PI调节时是“无差控制”。

31,增量式数字PI算法,32,3.给出数字计算机的PID控制算法，并分析采样时间对系统性能的影响,k,采用增量式数字PI算法，控制器输出u（t）与输入误差函数e（t）关系如下：

utKPetKIetdt离散化成差分方程，第k拍输出为：

ukKPekKITseiKPekuIki1KPekKITsekuIk1,第k-1拍输出为：

k1,uk1KPek1KITseii1,作差可得：

ukukuk1KPekek1KITsek采样时间过短：

存在舍入误差使控制器失效；采样时间过长：

控制间隔过长导致系统不稳定，跟踪性能差,拓展问题,H,流量与液位高度的关系：

QK,假设水箱底部压强为P，液体密度为，在单位时间t内流出的液体体积为L，出水口的流速为v，q1为出水阀门的开度，a为出水管的横截面积。

水箱底部各点压强一致，可以得到出水口压力FPaq1ghaq1单位时间流出的液体体积：

Lvaq1t,由动量定律得：

FtLv,gh,代入压力与体积的表达式，化简后得到出水口处液体流速：

v,水箱流出液体流量,qout,33,aq1gh,习题4数字PID控制器的有效性问题,34,问题提出,35,增量式PI控制,R（s）,系统的闭环传递函数为：

CsK1DsK2GsRs1K1DsK2Gs理想情况下：

。

C（s）es,通常被控对象为：

Kes,K2Gs2,（T1s1）（T2s1）,可求：

1,2,2,es,s,T1s1T2s1,KDs,KGs（1e）,K（1es）,1,Tis,K2s,T1s1T2s1,K1Ds,KP1,2,K,T1T2,T1T2,TDsKP,TiT1T2,TD,T1T2,36,增量式PI控制,T为采样/控制时间。

增量式PID为：

ukKPekKIekKDekek1,PIP,37,D,P,i,T,KC,KKT,KK,TDT,采样时间太小会使积分作用缺失，使系统出现误差。

增量式PI控制,2.零阶保持器：

1es,假设原系统是稳定的，相角裕量一般为30到60，当采样时间过长，即加入积分环节后，系统的相角裕量会变为负值，此时系统会变得不稳定。

s当采样时间过长，零阶保持器近似为：

1s,38,问题提出,39,当风道全开时，电机的启动/工作电流较大。

因为风道全开时，电机处于满负荷工作状态，电机的工作电流大。

电机变频调速控制方案更好。

手动阀门调节控制是相当于在管道中加入挡板进行控制，当挡板开度减小时，风阻增加，从而起到调小风量的作用。

但这会造成许多能量白白浪费在挡板上，若采用变频调速，可不用挡板，需要小风量时只需降低频率，减小电机速度即可，采用变频调速控制可以做到更加节能。

40,习题5Buck-Boost变换器的小信号建模,41,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,工作模态1（功率器件导通）,工作模态2（功率器件关断）,仅考虑CCM模式，此时电感电流连续。

状态变量选取：

电感电流iL和电容电压uo由KVL和KCL定律：

diL,L,dtR,Ldtuo,i,Cduouo,di,dt,L,Ldt,E,R,uo,Cduo,s,0，功率器件关断,1，功率器件导通,LdiL,o,sE（1s）u,dt,du,odt,L,（1s）i,u,oR,C,引入二值逻辑开关函数：

步骤一：

求平均变量（具体过程）,oTs,o,L,du,TsTs,dtL,Ts,Ts,L,diLdE（1d）uo,u,RC,C,（1d）i,（低频、小纹波假设）,Ts,Ts,LdiL,dt,dt,LdiL,Ts,Ts,Ts,Ts,sE（1s）uo,sE（1s）uo,dE（1d）uo,Ts,Ts,dtCduo,dt,dt,Cduo,oL,Ts,Ts,Ts,Ts,Ts,Ts,（1s）iLuo/R,（1s）iLuo/R,（1s）TsiLTsuo/R,u/R（1d）i,这里，d为开关函数s的占空比，且uouo,iiTsLL,Ts,LdiL,o,L,sE（1s）u,dt,du,odt,（1s）i,u,oR,C,因求,，,o,G（s）u（s）/d（s）,Ts。

这里可不考虑E的变化，E=E,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,步骤二：

分离扰动对高频纹波分量进行平均处理后，将每个变量用直流分量与交流小信号分量之和的形式表示。

LL,L,Ts,i=Ii,uoTsUouodD+d,IL,Uo,D为直流稳态值,Lo,i,u,d为交流小信号扰动值,dD,L,i,o,IL,uoU,o,L,Ts,Ts,Ts,dt,du,dt,diL,Ts,Ts,dE,L,L,u,RC,C,（1d）uo,（1d）i,o,d（ILi）=（Dd）ELdtL,L,dtRC,d（Uouo）Uouo,C,（Uouo）,（Dd）,L（ILi）,（Dd）,同时，令D1D,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,步骤三：

线性化处理以电感方程为例：

dt,dIL+di=1LdtL,（DEdEUoDDuoUoduod）,UoD,D,D,E1D,一阶小信号分量保留,高阶小信号分量,o,ud0,直流稳态分量dIL=0,dt,L,dtL,L,d（ILi）（Dd）E（Uouo）,=（Dd）,oo,idL=1dtL,（dEDu,Ud）,Iin,Io,D,D,D,1D,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,步骤三：

线性化处理以电容方程为例：

uo,LL,L,L,1,dtdtRCRCC,dUo+duo=Uo,IDId,i,Did,Uo,L,ID,R,一阶小信号分量保留,高阶小信号,L,分量id0,直流稳态分量dUo=0,dt,L,dtRC,d（Uouo）Uouo,C,（ILi）,（Dd）,duo,L,o,L,dt,I,D,RC,1u,C,C,di,Lin,o,o,1,I=1I,1D,D,I1I,D,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,步骤三：

线性化处理,对于直流稳态分量：

忽略高阶小信号量：

约掉直流稳态分量；忽略高阶小信号量。

L,dtLL,d（ILi）（Dd）E（Uouo）,=,（Dd）,d（Uouo）,L,dt,RCC,Uouo（ILi）,（Dd）,L=dtL,L,L,didEDuUd,oo,duo,L,o,L,dt,I,D,d,i,RC,1u,C,C,UDDU,oILD,oED1DR,uod0id0L,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,步骤四：

进行拉氏变换,对上式进行拉式变换，可得：

LIL（s）sD（s）EDUo（s）UoD（s）RCUo（s）sUo（s）ILRD（s）DRIL（s）进而，Buck-Boost变换器的传递函数（占空比对直流输出电压）为：

L=dtL,LL,didEDuoUod,duo,L,oL,I,D,dtRCCC,1u,di,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,Uo（s）=EUo,s2+,ILLEUoD,LCD2,LD2R,1,D（s）,s1,s,D,

（2）IL=？

过多中间变量！

o,

（1）EU=？

能否化简？

结果正确，但并不是最简形式：

步骤四：

进行拉氏变换进而，Buck-Boost变换器的传递函数（占空比对直流输出电压）为：

系统具有右半平面零点：

RD2,DL,属于非最小相位系统,Buck-Boost变换器的小信号建模（CCM模式）,o=oo,ILL,ED2,LCs2+L,RD2,D2,D2R,U（s）,D（s）,1s,EUEUD,1,s1,D,LCs2+Ls1,D2,DLs,D2R,DEUoEE,1D,=EE1DD,代入，可进一步化简,L,1=ED,I=Uo,RDD2R,谢谢！

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