231 空间直角坐标系的建立232 空间直角坐标系中点的坐标 教案 高中数学必修二北师大版.docx

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231空间直角坐标系的建立232空间直角坐标系中点的坐标教案高中数学必修二北师大版

空间直角坐标系

3．1　空间直角坐标系的建立3．2　空间直角坐标系中点的坐标

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

掌握空间直角坐标系的有关概念，会写一些简单几何体的有关点坐标．

2.过程与方法

通过设置具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思路．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、空间想象能力．

●重点难点

重点：

在空间直角坐标系中，确定点的坐标．

难点：

通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标．

介绍空间直角坐标系时，可以从平面直角坐标系开始，使学生感受到只要在平面直角坐标系的基础上再增加一根竖轴（z轴），就成了空间直角坐标系．

（教师用书独具）

●教学建议

本节课的授课内容是空间直角坐标系及其建立、空间直角坐标系的中点坐标．教学时教师要充分抓住学生的原有认知基础，紧紧扣住二维平面直角坐标系的推广，引导学生将空间立体几何借助于建立空间坐标系来代数化．教学时提供多个现实情境，让学生来分析、思考、解决，进而让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中．对于空间坐标系建立的教学，紧紧地抓住了学生已有的立体几何知识，也可为水到渠成，自然流畅．而中点公式的教学则又一次的利用了平面到空间的类比推广．教学时注重学生参与与学法指导，真正体现以学生为主．

●教学流程

创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解空间直角坐标系的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生掌握根据点的坐标确定点的位置⇒通过例2及互动探究，使学生掌握已知点的位置写出其坐标⇒通过例3及变式训练，使学生掌握空间中点的对称问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正

课标解读

1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．

2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置（重点、难点）.

空间直角坐标系

【问题导思】　

只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？

再给出高度，能确定飞机的位置吗？

在空间为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？

【提示】　不能，能，3个．

1．空间直角坐标系的建立

（1）空间直角坐标系建立的流程图：

平面直角坐标系

↓

通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴

↓

空间直角坐标系

（2）空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：

①伸出右手，让四指与大拇指垂直．

②四指先指向x轴正方向．

③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．

④大拇指的指向即为z轴正方向．

图2－3－1

（3）有关名称

如图2－3－1所示，

①O叫作原点．

②x，y，z轴统称为坐标轴．

③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．

x，y轴确定的平面记作xOy平面，

y，z轴确定的平面记作yOz平面，

x，z轴确定的平面记作xOz平面．

2．空间直角坐标系中点的坐标

（1）空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．

（2）空间任意一点P的坐标记为（x，y，z），第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．

（3）空间直角坐标系中：

点一一对应三元有序数组．

（4）对于空间中点P坐标的确定方法是：

过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O、P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1、P2、P3的坐标分别为（x,0,0）、（0，y,0）、（0,0，z），则点P的坐标为（x，y，z）．

根据点的坐标确定点的位置

　在空间直角坐标系中，作出点M（2，－6,4）．

【思路探究】　可以先确定点（2，－6,0）在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．

【自主解答】　法一　先确定点M′（2，－6,0）在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，

则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了（如图所示）

法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点（图略）．

1．先确定点（x0，y0,0）在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点（x0，y0，z0）在空间直角坐标系中的位置；

2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体（三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致），则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．

　在空间直角坐标系中作出点M（2,3,4）．

【解】　如图，在xOy平面内确定点M1（2,3,0），作M1M平行于z轴，

在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为（2,3,4）.

已知点的位置写出它的坐标

　已知棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图2－3－2所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．

图2－3－2

【思路探究】　解答本题中的

（1）可先写出A，B，C，D的坐标，然后再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；解答本题中的

（2）可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，然后再结合正方体的性质得出A，B，C，D的坐标．

【自主解答】　

（1）因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D（0,0，0），A（1,0,0），C（0,1,0），D′（0,0,1）．因为B点在xDy平面上，所以B（1,1,0）．同理，A′（1,0,1），C′（0，1,1）．因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′（1,1,1）．

（2）因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A′（1,0,0），C′（0,1,0），D（0,0，－1），D′（0,0,0）．

同

（1）得B′（1,1,0），A（1,0，－1），C（0,1，－1），B（1,1，－1）．

1．已知点M的位置，求其坐标的方法

作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x坐标，y坐标，即点M的x坐标，y坐标，再求M点在z轴上射影的z坐标，即点M的z坐标，于是得到M点坐标（x，y，z）．

2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R.

分类

坐标轴

坐标平面

x轴

y轴

z轴

xOy平面

yOz平面

xOz平面

坐标

形式

（x,0,0）

（0，y,0）

（0,0，z）

（x，y,0）

（0，y，z）

（x,0，z）

图2－3－3

　如果把本例中正方体的棱长变为

，且建立如图2－3－3所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．

【解】　依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，

∴A（1,0,0），B（0,1,0），C（－1，0,0），D（0，－1,0）．

∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝

，

∴A′（1,0，

），B′（0,1，

），C′（－1,0，

），D′（0，－1，

）.

空间中点的对称问题

　求点M（a，b，c）关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．

【思路探究】　类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可．

【自主解答】　点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为（a，b，－c），关于xOz平面的对称点M2的坐标为（a，－b，c），关于yOz平面的对称点M3的坐标为（－a，b，c）．

关于x轴的对称点M4的坐标为（a，－b，－c），

关于y轴的对称点M5的坐标为（－a，b，－c），

关于z轴的对称点M6的坐标为（－a，－b，c），

关于原点对称的点M7的坐标为（－a，－b，－c）．

1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：

2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．

在空间直角坐标系中，点P（－2,4，－3）在xOz平面上的射影为P′，则P′关于坐标原点的对称点的坐标是__________．

【解析】　点P在xOz平面上的射影P′的坐标为（－2,0，－3），P′关于坐标原点的对称点的坐标为（2,0,3）．

【答案】　（2,0,3）

忽视建立空间直角坐标系的条件致误

图2－3－4

　如图2－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．

【错解】　如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

显然A（0,0,0），

又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，

∴B（1,0,0），C（0,1,0），A1（0,0,1），

B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，

∴B1（1,0,1），C1（0,1,1），

∴各点坐标为A（0,0,0），B（1,0,0），C（0,1,0），A1（0,0,1），B1（1,0,1），C1（0,1,1）．

【错因分析】　因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．

【防范措施】　建立直角坐标系，一定找准两两垂直的三直线方可建系．

【正解】　取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，

分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

∵三棱柱各棱长均为1，

∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝

，

OB＝

，

∵A，B，C均在坐标轴上，

∴A（0，－

，0），B（

，0,0），C（0，

，0），

点A1与C1在yOz平面内，

∴A1（0，－

，1），C1（0，

，1），

∴点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.

∴B1（

，0,1），

∴各点的坐标为A（0，－

，0），B（

，0,0），C（0，

，0），A1（0，－

，1），B1（

，0,1），C1（0，

，1）．

1．确定空间定点M的坐标的步骤

（1）过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R.

（2）确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z.

（3）得出点M的坐标为（x，y，z）．

2．已知M点坐标为（x，y，z）确定点M位置的步骤

（1）在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R.

（2）过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．

（3）三个平面的唯一交点就是M.

3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.

1．点Q（0,0,3）的位置是（　　）

A．在x轴上　　　　　　　　　B．在y轴上

C．在z轴上D．在面xOy上

【解析】　只有z坐标不为0，显然在z轴上．

【答案】　C

2．点A（－3,1,5），点B（4,3,1）的中点坐标是（　　）

A．（

，1，－2）B．（

，2,3）

C．（－12,3,5）D．（

，

，2）

【解析】　中点x＝

＝

，y＝

＝2,2＝

＝3.

【答案】　B

3．点P1（－1,1,4）关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．

【解析】　P1（－1,1,4）⇒P2（1,1,4）⇒P3（1,1，－4）．

【答案】　（1,1，－4）

4．在平行四边形ABCD中，已知A（1,0,0），B（3,1,2），C（0，－2,1）求D点坐标．

【解】　可设D（x，y，z），

由A、C的中点与B、D的中点重合，

则有

＝

，

＝

，

＝

，

得x＝－2，y＝－3，z＝－1.

故D点坐标为（－2，－3，－1）.

一、选择题

1．点P（0,2,0）位于（　　）

A．x轴上　　　　　　　B．y轴上

C．xOy平面内D．yOz平面内

【解析】　由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．

【答案】　B

2．点P（a，b，c）到坐标平面xOz的距离是（　　）

A．|a|B．|b|

C．|c|D.以上都不对

【解析】　设点P在面xOz的射影为P′，则|PP′|＝|b|.

【答案】　B

3．（2013·吉林高一检测）已知点A（2,3－μ，－1＋v）关于x轴的对称点为A′（λ，7，－6），则λ，μ，v的值为（　　）

A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5

B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5

C．λ＝2，μ＝10，v＝8

D．λ＝2，μ＝10，v＝7

【解析】　两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－（3－μ），－6＝－（－1＋v），

∴λ＝2，μ＝10，v＝7.

【答案】　D

4．设z为任一实数，则点（2,2，z）表示的图形是（　　）

A．z轴

B．与平面xOy平行的一直线

C．平面xOy

D．与平面xOy垂直的一直线

【解析】　（2,2，z）表示过点（2,2,0）且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．

【答案】　D

图2－3－5

5．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图2－3－5所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是（　　）

A．（0，－2，－1）B．（x，－2，z）

C．（－3，－2，－1）D．（－3，y，z）

【解析】　DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．

【答案】　B

二、填空题

图2－3－6

6．如图2－3－6，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．

【解析】　C（0,2,0），|CN|＝1，∴N（0,2,1）．

【答案】　（0,2,1）

7．（2013·广州高一检测）写出点P（2,3,4）在三条坐标轴上的射影的坐标________，________，________.

【解析】　P（2,3,4）在x轴上的射影为（2,0,0），在y轴上的射影为（0,3,0）在z轴上的射影为（0,0,4）．

【答案】　（2,0,0）　（0,3,0）　（0,0,4）

8．（2013·寿光高一检测）在空间直角坐标系中，点M（－2,4，－3）在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．

【解析】　点M在xOz上的射影为（－2,0，－3），其关于原点对称的坐标为（2,0,3）．

【答案】　（2,0,3）

三、解答题

图2－3－7

9．如图2－3－7，棱长为a的正方体OABC—D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．

【解】　因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为（

a，

a，z）．

同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为（

a，

a，

a）．

图2－3－8

10．如图2－3－8所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A（－2，－3，－1），求其它七个顶点的坐标．

【解】　长方体的对称中心为坐标原点O，

∵顶点A（－2，－3，－1）．

∴A关于原点的对称点C1的坐标为（2,3,1）．

又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，

∴C（2,3，－1）．而A1与C关于原点对称，

∴A1（－2，－3,1）．

又∵C与D关于坐标平面yOz对称，

∴D（－2,3，－1）．

B与C关于坐标平面xOz对称，

∴B（2，－3，－1）．

B1与B关于坐标平面xOy对称，∴B1（2，－3,1）．

同理，D1（－2,3,1）．

综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1（2,3,1），C（2，3，－1），A1（－2，－3,1），B（2，－3，－1），B1（2，－3，1），D（－2,3，－1），D1（－2,3,1）．

图2－3－9

11．如图2－3－9，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝

CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．

【解】　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．

∵点E在z轴上，且为D1D的中点，

故点E坐标为（0,0，

）．

过F作FM⊥AD，FN⊥DC，

则|FM|＝|FN|＝

，

故点F坐标为（

，

，0）；

点G在y轴上，

又|GD|＝

，故点G坐标为（0，

，0）；

过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，

故|HK|＝

，|CK|＝

.

∴|DK|＝

.故点H的坐标为（0，

，

）.

（教师用书独具）

　在同一空间直角坐标系中作出下列各点：

（1）A（0,0,1）；

（2）B（1，－1,2）；

（3）C（－1,1,2）；（4）D（1,0,3）．

【思路探究】　根据点的坐标确定点的位置，可按如下程序进行：

①先作出该点在平面xOy上的射影；+

②过这个射影作平面xOy的垂线；

③再根据竖坐标，在垂线上确定该点的位置．

【自主解答】　

（1）沿z轴（向上）方向取|OA|＝1，

则A（0,0,1）即为所求的点；

（2）在平面xOy内确定点B′（1，－1,0），

过B′作平面xOy的垂线l，

在l上沿z轴（向上）方向取|B′B|＝2，

则B（1，－1,2）即为所求的点；

（3）C点的作法同B点的作法；

（4）D点的作法同B点的作法．

　空间中点P坐标的确定方法：

（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是（x，y，z）．

（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．

　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，如图，以底面ABCD的中心O为原点，分别以射线AB、BC、BB1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，请在图中分别指出点E（1,1,1），F（1,0，2），G（0，1,1），H（0，－1,1）的位置．

【解】　如图，点E是CC1的中点；

点F是B1C1的中点；

点G是CD1与DC1的交点；

点H是AB1与BA1的交点．