七下重点知识.docx
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七下重点知识
数学重点梳理
七年级下册
王晓斌
第一章整式的运算
1-1整式
概念
1、单项式：
数与字母的乘积组成的代数式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
2、单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
单独一个非零数的次数是0，单独一个字母的次数是1。
3、单项式的系数：
单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
（1）单个字母的系数为1；
（2）单项式的系数包括符号。
4、多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
多项式是根据其项数（合并项数）和次数来命名的，一个多项式含几项，就叫几项式．例如，多项式-8x2+3x-7，-8x2，3x，-7都是它的项，共3项，其次数是2，故-8x2+3x-7是二次三项式。
5、多项式的次数：
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
6、多项式的项：
在多项式中，每个单项式都叫做多项式的项．注意：
多项式的项包括它前面的系数。
7、常数项：
多项式中不含字母的项叫做常数项。
8、整式：
单项式和多项式统称为整式。
易混知识辨析
整式和代数式的区别与联系：
整式是代数式中最基本的式子，所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式，分母中含有字母的代数式都不是整式。
本章自我评价：
1.存在的问题
2.应注意的问题
1-2整式的加减
概念
1、同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也叫同类项。
2、合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
3、合并同类项法则：
同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变。
4、去括号法则：
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的各项都不改变符号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的各项都改变符号。
5、添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
注意事项
1、判断同类项的关键
（1）“两同”，即字母同：
同字母的指数相同。
（2）同类项与其系数大小无关。
（3）同类项与字母的排列顺序无关，如x2y与yx2是同类项。
2、整式加减的一般步骤
（1）根据题意列出代数式；
（2）如果遇到括号，按照去括号法则去括号；
（3）合并同类项。
本章自我评价：
1.存在的问题
2.应注意的问题
1-3同底数幂的乘法
概念
1、同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意事项
1、同底数幂的乘法法则的说明:
（1）法则中的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式。
如（x+y）2·（x+y）3=（x+y）2+3=（x+y）5
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也有相同性质。
如：
amanapaq=am+n+p+q（m，n，p，q都是正整数）
（3）必须明确应用法则的前提是底数相同的幂。
（4）不能忽视指数为1的情况．如“a5a=a6≠a5+0
本章自我评价：
1.存在的问题
2.应注意的问题
1-4幂的乘方与积的乘方
概念
1、幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（am）n=amn（m，n都是正整数）
2、积的乘方法则：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（ab）n=anbn
注意事项
1.幂的乘方法则的注意问题
（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘方性质混淆。
幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法是转化为指数的加法的运算（底数不变）。
（2）法则中的底数a可以是单项式，也可以是多项式。
2.积的乘方法则的注意问题
（1）法则应用的条件是“积的乘方”，结果是“幂的积”，条件的底数有几个因数，结果就是几个相应幂的积。
（2）法则的推广：
（a1•a2•a3…•an）m=a1m•a2m•a3m…•anm（m是正整数）
（3）法则中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式。
经验与方法
1.幂的乘方法则可以逆用
amn=（am）n=（an）m（m，n都是正整数）
如：
310=32×5=35×2；220=24×5=25×4
2.积的乘方法则可以逆用
anbn=（ab）n,即同指数幂的乘积等于各个底数乘积的同指数幂。
如:
32004•（1/3）2004=（3•1/3）2004=1
本章自我评价：
1.存在的问题
2.应注意的问题
1-5同底数幂的除法
概念
1．同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2．零次幂：
任何不等于零的数的0次幂都等于1。
3.负整数次幂：
任何不等于零的数的-p（p正整数）次幂都等于这个数的p次幂的倒数。
辨析
1.同底数幂除法法则的注意问题
（1）必须明确应用法则的前提是底数相同的幂。
（2）法则中的底数和指数可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式。
（3）底数a不能为0。
（除数为0无意义）
（4）单独一个字母，其指数为1，而不是0。
2.零次幂和负整数次幂的注意问题
（1）零次幂和负整数次幂中的底数和指数可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式。
（2）零次幂和负整数次幂中的底数a不能为0。
（除数为0无意义）
3.正整数指数幂运算性质的推广
本章自我评价：
1.存在的问题
2.应注意的问题
第四章概率
4.1游戏公平吗
1．事件发生的可能性的表示
人们通常用1（或100%）表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性，不确定事件发生的可能性介于0和l之间。
2．游戏对双方公平或不公平
游戏对双方公平指做游戏时双方获胜的可能性相等。
游戏对双方不公平指做游戏时双方获胜的可能性不相等，其中一方获胜的可能性大于另外一方。
3．事件可能性的应用
在学完本节后要会完成或设计下列问题：
（1）针对事件发生的可能性，设计相应的游戏，进行实践活动．
如：
设计一个摸球游戏，使摸得红球的可能性为1/3。
解：
取6个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，4个白球．放在一个不透明的盒子里．从中任意摸取一个小球，则摸到红球的可能性就为1/3。
说明：
为了使游戏的结果不受其他人为因素的影响，所以要强调以下三点：
①除颜色外，所有小球各个方面必须是完全相同的；②盒子要不透明；③必须是任意随机摸取．
（2）善于通过“猜测---试验并收集试验数据一一分析试验结果”的活动过程认识、了解某些事件．如：
某一个果园收获了2万个苹果，想知道大约有多少苹果被虫子咬了．可从中随机取出1000个苹果，检查发现有15个被虫咬，则可估计被虫咬的概率为15/1000，约20000×2/300=300（个）被虫咬。
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
4.2摸到红球的概率
1．摸到红球的概率
摸到红球的概率其实是一个古典模型．这在我们现实生活中广泛存在，与我们的生活密切相关，本节重点是掌握这类事件发生概率的计算方法，并能计算出一些不确定事件发生概率的计算方法，并能计算出一些不确定事件发生的概率．难点是如何设计符合要求的简单的概率模型．
2．概率的求法
在上一节对频率与事件发生可能性体验的基础上，体会概率的意义和概率的计算方法。
即摸球游戏中摸到某种颜色球的可能性也就是摸这种颜色的概率．则有
P（摸到红球）=摸到红球可能出现的结果数
摸到一球所有可能出现的结果数
即为表示摸到红球的可能性，也称为摸到红球的概率．要注意必然事件发生的概率为1．记作P（必然事件）=1．
3．设计符合要求的简单模型
设计符合要求的简单游戏．应注意以下几点：
（1）选择游戏工具；
（2）制订相应的游戏规则．
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
4.3停留在黑砖上的概率
1．停留在黑砖上的概率
停留在黑砖上的概率其实是一个几何模型，它在我们的现实生活中广泛存在，和我们的生活密切相关，因此，在将来的中考中，考查这一知识点应该是很正常的，也是十分必要的．本节重点是掌握一类事件概率（如几何模型）的计算方法，并能计算一些不确定事件发生的概率，难点是如何设计符合要求的简单概率模型。
2．几何模型
所谓几何模型，就是以几何图形为模型的一种概率模型，它具备以下特征：
在一个几何图形上，随意地抛掷一个小球，若小球落在这个图形中任两个面积相同的区域内的概率相等．例如上一节中所涉及的转盘游戏就是一种几何模型。
3．几何模型概率的求法
概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积．亦即：
P（事件A）=事件所有可能结果所组成图形的面积
所有可能结果组成图形的面积
我们称这个概率公式为几何模型概率公式。
利用这个公式求几何模型的概率时，需分别计算公式中分子的值与分母的值，而它们的商即为所求。
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
第五章三角形
5.1认识三角形
l.三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
由定义可以发现三角形有以下三个特征：
（1）三条线段；
（2）不在同一条直线上；（3）首尾顺次相接．如图5-1-l的两个图形均不是三角形．
图5-l-l
2．三角形三边关系定理
（1）三角形任意两边之和大于第三边；
（2）三角形任意两边之差小于第三边．
事实上，这两句话是等价的．前一句可以推出后一句，后一句也可以推出前一句，所以要判断三条线段能否构成三角形，只要看三条线段是否满足“任意两边之和大于第三边”。
或者看是否满足“任意两边之差小于第三边”即可．
3．三角形内角和定理及其推论
定理：
三角形三个内角的和等于180。
推论：
直角三角形的两锐角互余。
4．三角形的分类
（1）三角形按角分类．
三直角三角形
角锐角三角形
形斜角三角形钝角三角形
①有一个内角为直角的三角形叫直角三角形，三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个内角为钝角的三角形叫钝角三角形；
②在直角三角形中，夹直角的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边．直角三角形用符号“Rt△”表示；
③任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；
④等边三角形与锐角三角形是按不同的分类标准分出的种类．
（2）三角形按边分类
三不等边三角形
角
形等腰三角形
5．三角形的角平分线、中线、高
（1）三角形的角平分线：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：
①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；
②任意三角形都有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
③性质：
三角形的三条角平分线交于一点．
（2）三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
注意：
①三角形的中线是一条线段；
②任意三角形都有三条中线，并且都在三角形的内部；
③性质：
三角形的三条中线交于一点．
（3）三角形的高：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：
①作三角形的高时，是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，而不是向它的对边作垂线，这样，锐角三角形三条高线在三角形内部，相交于一点；直角三角形有两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形内部，它们相交于直角顶点；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条高线在内部，三条高所在直线交于三角形外一点；
②三角形的高是线段，而垂线是直线；
③性质：
三角形的三条高所在直线交于一点．
6.典型例题：
7.出现的问题及分析
5.2图形的全等
1．图形的全等
由于生活中存在大量全等的图形，因此，我们可以从若干实物图形或抽象的几何图形中找出全等的图形来．本节重点是认识全等图形的特征，并能识别图形的全等，难点是从众多的实物图形和几何图形中，通过观察找出全等的图形来．
在实际生活中，存在许多图形，若将它们叠在一起能够完全重合，亦即它们的形状和大小相同，我们就称这种能够重合的图形为全等图形．例如两本相同的教科书的封面是两个全等图形（全等的矩形）；又如，两张同样大小的正方体桌面是两个全等图形（全等的正方形）；半径相等的两个圆是两个全等图形（全等的圆）．
2．在理解图形全等时应注意的问题
要理解全等图形，就需要认识和理解以下几点：
（1）若两个图形是全等图形，则它们的形状和大小相同；
（2）若两个图形的形状和大小都相同，则可将它们重叠在一起，因而也是两个全等图形．
3.典型例题：
4.出现的问题及分析
5.3图案设计
l.图案设计
在现实生活中，我们经常看到的由全等图形拼成的美丽图案，许多都是从一个简单的图形出发将其中一部分割补在相对的位置上．形成与原来图形等面积的新图形，然后在新的图形上绘制出适当的图案，再将若干个这样的图案拼摆起来得到的．
图案设计成败的关键是对基本图形进行割补时，要保证割补后的图形能够密铺，即拼在一起没有重叠，没有缝隙，这就需要在割补时注意：
割掉的部分一定要在相对的位置上补出来，不能遗漏或重复．
2．图案设计时应注意的问题．
在对简单图形进行割补时，要保证割补的图形能够拼在一起即没有缝隙．也没有重叠．
通过图案的设计我们可以认识到图形在日常生活中的广泛应用，我们可以利用全等图形进行简单的图形设计，现实世界中有许许多多由全等图形拼成的美丽图案。
3.典型例题：
4.出现的问题及分析
5.4全等三角形
1．能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2．两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫做对应边。
互相重合的角叫做对应角。
在理解这一概念时要注意：
（1）两个全等三角形叠放在一起能够完全重合，完全重合的两个三角形是全等三角形；
（2）对应边、对应角、对边、对角容易混淆，对应边或角，是对两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系．
3．全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
如图5-4-3，图5-4-4所示的两对全等三角形中，要注意对应边相等的书写．
图5-4-3图5-4-4
图5-4-3中，AB=BA．
图5-4=4中，AB=AB．
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
5.5探索三角形全等的条件
1．边角边公理：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
在应用公理时，书写证明过程要正确、完整：
（1）要写出在哪两个三角形中证明全等，且要把对应顶点写在对应的位置上；
（2）要按边、角、边的顺序列全等的三个条件（角必须是两边的夹角，切忌出现两边及一边的对角的情况），并用大括号把它们括在一起；（3）写出结论，注意步步有据．
证明线段（或角）相等，或两直线平行，两角互余（或互补）。
常常要通过证明两个三角形全等．
2．角边角公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA"）．
推论：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS"）．
（1）三角形全等的判定公理2和推论的三个条件中，都有“两角和一边”，但公理中是“两角及夹边”，而推论中是“两角及其中一角的对边”，具体应用时应根据题目的已知条件加以选择运用；
（2）运用公理2和推论证题时，书写过程一定要按“ASA"或“AAS'’的顺序进行，否则，应用判定公理2和推论就混为一谈．
分析法是从题目结论人手，找到能证明题目结论所具备的已知条件；综合法是从已知条件人手，找到能证明题目结论的途径；而分析综合法则是结合运用上述两种方法解决问题．
3．边边边公理：
有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS"）．
在一个三角形的三条边、三个角中任取三个条件，可以有下列组合：
SAS，ASA，AAS，SSS，SSA，AAA，除前面4种为判定公理和推论外，后面两种是不能判定两个三角形全等的如图5-5-6．
①②
图5-5-6
图①中，AB=AB，AC=AD，AC与AD的对角B=B，但△ABC与△ABD不全等，图②中，A=A，ADE=B，AED=C，显然△ADE与△ABC不全等．
本例利用“分析综合法”，层层推进，追根溯源，以达到证题的目的。
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
5.6作三角形
1．几何作图题
几何作图题与一般的画图题不同，它规定只能用直尺和圆规为工具，即只能用尺规作图，而且每一条作图都必须有根据．较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，本节只要求作出符合条件的三角形。
2．作图题的一般步骤
作图题一般分已知，求作，作法，证明。
3．如何分析作图题
（1）假设符合要求的图形已作出，并在草稿纸上画出草图；
（2）在草图上标出题设已给的边、角的对应位置；
（3）根据
（2）的草图写出“已知”和“求作”；
（4）从草图中找出“基本作图”（或可作的基本三角形），由此确定作图的起始步；
（5）在（4）的基础上逐步向所求图形拓展．
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
5.7利用三角形全等测距离
1．利用三角形全等测距离
本节知识是中考的重点考查内容之一，是数学应用的具体体现．本节的难点是将实际问题抽象为几何图形，易错点主要表现在选择的方法不当．尽管从理论上讲所选方法可以实现，但忽略了实际问题中所存在的障碍，为避免这一错误，应慎重分析题意，避开不能实现的操作，选择合理方法．
2．利用三角形全等测距离的依据
全等知识在生产和生活中应用非常广泛，利用三角形全等测距离就是其中一个非常重要且实用的应用问题，学习本节知识时，应全面掌握前面学过的SSS，SAS，ASA，AAS判定三角形全等的方法，针对具体问题选择适当的方法来处理实际问题，当然，仔细审题，从实际问题中抽象出数学模型是关键。
3.典型例题：
4.出现的问题及分析
5.8探索直角三角形全等的条件
1．已知斜边、直角边画直角三角形
已知两条线段，画一个直角三角形，使它的一直角边等于一条已知线段，使它的斜边等于另一条已知线段．
2．判断两个直角三角形全等的方法
（1）运用HL判别法：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为“HL”）；
（2）运用一般三角形全等判断方法：
SAS，ASA，AAS，SSS．
3．证明两个直角三角形全等的思路
首先考虑运用“HL”方法，再考虑运用一般三角形全等的判别方法．
4．注意的问题
（1）“HL”判别法是对直角三角形而言的，对于一般的三角形不成立；
（2）判别两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等，只需找另两个条件即可，而这两个条件中必须有一直角边或斜边对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个内角对应相等的两个直角三角形不一定全等；
（3）在运用两个直角三角形全等的五种判别方法时，仍然应当注意“对应”二字，其中不允许“斜边和直角边”对应，只允许“斜边和斜边”、“直角边与直角边”对应．
4.典型例题：
5.出现的问题及分析
第六章变量之间的关系
1小车下滑的时间
基础知识归纳
1．常量：
在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。
2．变量：
在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．变量又分为自变量和因变量。
重点知识讲解
1．表述自变最与因变量之间关系的三种办法
（1）表格法；
（2）关系式法；（3）图像法。
2.怎样区分两个变量中的自变量（x）和因变量（y）
自变量和因变量都是不断变化的量。
但二者之间是有区别的。
在变化的过程中，自变量处于主动地位．而因变量处于被动地位，即因变量是随着自变量的变化而变化的。
当自变量有了一个确定的值后，因变量也就有了一个确定的值与它对应。
（这个因变量y叫做这个自变量x的函数）
3．如何确定表格中的自变量和因变量
一般来说，在用表格表示的两个变量间的关系中，上一行表示的量作为自变量，下一行表示的量作为因变量。
当然自变量和因变量也不是一成不变的，而是可以相互转化的。
2变化中的三角形
基础知识归纳
1．面积公式
（1）S三角形=1/2×底×高：
（2）S圆=r2（r为半径）；
（3）S梯形=1/2×（上底+下底）×高．
2．体积公式
（1）V圆柱=底面积×高；
（2）V圆锥=1/3×底面积×高；
（3）V球=4/3r3（r为球的半径）；
（4）V长方体=长×宽×高；
（5）V正方体=棱长3。
3．周长公式
（1）l长方形=2×（长+宽）：
（2）l正方形=4×边长：
（3）l圆=2r（r为圆的半径）．
4．关系式
用来表示自变量和因变量之间关系的数学式子，通常是用含自变量的代数式表示因变量。
（一次函数y=kx+b、二次函数y=ax2+bx+c）
3温度的变化
基础知识归纳
1．两个变量间的关系的第二种表示方法：
图像法
在用图像法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量；用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。
2．怎样从所给的图像中读取信息
对于给出的图像，一定要弄清楚横轴和纵轴所表示的各是哪个变量，图像上的点越向上，纵轴表示的变量的值就越大。
图像上的点越往右，横轴所表示的变量的值就越大。
从图像上的点向横轴引垂线，那么垂足所标注的数据就是自变量的值。
从这个点向纵轴引垂线，则垂足所标注的数据就是自变量的对应值，弄清楚了这些问题，再从图像中读取信息便不会感到困难了。
易混知识辨析
优点
缺点
表格法
对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询时很方便
只能列出部分自变量与因变量的对应值，难以反映变量间变化的全貌，而且从表中看不出变量间的对应规律
关系式法
能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系
有些变量间的关系很难或不能用关系式表示；求对应值时需要逐个计算，比较麻烦；不能直观、形象地反映出变量间的变化趋势。
图像法
可以形象、直观地反映出因变量随自变量变化的规律和某些性质
图像是近似的，局部的由图像确定的因变量的值往往不够准确
4.速度的变化
重点知识讲解
1．速度与时间图像
如图6-4-l所示．
图6-4-1
线段
表示的时间范围（单位：
分）
速度的表现
OA
O～2
加速
AB
2～6
匀速
BC
6～8
减速
CD
8～10
静止
DE
10～17
加速
速度变化随时间，图像研究才直观。
可在图像任取点，再向两轴作垂线。
一时一速对应值，两个垂足来表现。
上升线段速度增，下降线段速度减，若在横轴是静止，匀速运动水平线。
2．路程与时间图像
如图6一J一2所示
图6-4-2
线段
表示的时间范围
（单位：
小时）
表示运动方式
速度的表现的形式
OA
0～2
出行
匀速
AB
2～6
停止
静止
BC
6～8
返家
匀速
CD
8～10
在家
静止
DE
10～12
第二次出行
匀速
路程变化不一般，能把速度来隐含。
上升线段离家行，下降线段把家返。
上升下降皆匀速，静止不动水平线。
“陡峭”线段速度快，“坡缓”线段速度慢。
两轴若已标数字，速度大小能计算。
第七章生活中的轴对称
基础知识归纳
1．轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。
那么这个图形叫做轴对称图形，
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