第四章叠加定理戴维宁定理与诺顿定理Word文件下载.docx

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这就是因为线性电路中得电压与电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。

　　2） 

当一个独立电源单独作用时,其余独立电源都等于零（理想电压源短路,理想电流源开路）。

如图4、2所示。

=

三个电源共同作用is1单独作用

++

us2单独作用us3单独作用

图4、2

3） 

功率不能用叠加定理计算（因为功率为电压与电流得乘积,不就是独立电源得一次函数）。

　　4） 

应用叠加定理求电压与电流就是代数量得叠加,要特别注意各代数量得符号。

即注意在各电源单独作用时计算得电压、电流参考方向就是否一致,一致时相加,反之相减。

　　5） 

含受控源（线性）得电路,在使用叠加定理时,受控源不要单独作用,而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中,这就是因为受控电压源得电压与受控电流源得电流受电路得结构与各元件得参数所约束。

　　6） 

叠加得方式就是任意得,可以一次使一个独立源单独作用,也可以一次使几个独立源同时作用,方式得选择取决于分析问题得方便。

4、叠加定理得应用

例4－1求图示电路得电压U、

例4－1图

　解:

应用叠加定理求解。

首先画出分电路图如下图所示

当12V电压源作用时,应用分压原理有:

　　当3A电流源作用时,应用分流公式得:

　　　　　　　则所求电压:

例4－2计算图示电路得电压u。

例4－2图

解:

　　当3A电流源作用时:

　　　　其余电源作用时:

　　　　　则所求电压:

　　本例说明:

叠加方式就是任意得,可以一次一个独立源单独作用,也可以一次几个独立源同时作用,取决于使分析计算简便。

例4－3计算图示电路得电压u电流i。

例4－3图

　　当10V电源作用时:

　　　解得:

　　　当5A电源作用时,由左边回路得KVL:

　　　所以:

　　注意:

受控源始终保留在分电路中。

例4－4　封装好得电路如图,已知下列实验数据:

当时,响应,当时,响应,

　　求:

时,i=？

例4－4图

　　解:

根据叠加定理,有:

　　　　代入实验数据,得:

　　　　　解得:

　　　　　因此:

　　本例给出了研究激励与响应关系得实验方法

5、齐性原理

　　由以上叠加定理可以得到齐性原理。

　　齐性原理表述为:

线性电路中,所有激励（独立源）都增大（或减小）同样得倍数,则电路中响应（电压或电流）也增大（或减小）同样得倍数。

当激励只有一个时,则响应与激励成正比。

例4－5　求图示电路得电流i,已知:

RL=2ΩR1=1ΩR2=1ΩuS=51V

例4－5图

采用倒推法:

设i'

=1A。

则各支路电流如下图所示,

　　此时电源电压为:

　　根据齐性原理:

当电源电压为:

时,满足关系:

4、2替代定理

1、替代定理得内容

　　替代定理表述为:

对于给定得任意一个电路,若某一支路电压为uk、电流为ik,那么这条支路就可以用一个电压等于uk得独立电压源,或者用一个电流等于ik得独立电流源,或用R=uk/ik得电阻来替代,替代后电路中全部电压与电流均保持原有值（解答唯一）。

以上表述可以用图4、3来表示。

图4、3替代定理

　　这里对定理给出其中一种替代得证明。

　　设图4、4所示电路中支路k得电压为uk,电流为ik,在支路k串入极性相反,电压值为uk得两个电压源如图4、5所示,则根据等效得思想,图4、5对外可以等效为图4、6所示得电路,即电压为uk得支路可以用电压为uk得理想电压源替代。

　　替代定理得正确性可作如下解释:

　　替代前后KCL,KVL关系相同,其余支路得u、i关系不变。

k支路用理想电压源uk替代后,其余支路电压保持不变（KVL）,因此其余支路电流也不变,故第k条支路ik也不变（KCL）。

同理k支路用理想电流源ik替代后,其余支路电流不变（KCL）,因此其余支路电压不变,故第k条支路uk也不变（KVL）。

图4、4图4、5图4、6

3、应用替代定理要注意得问题

　　1）从理论上讲,替代定理适用于线性电路,也适用于非线性电路。

　　2）替代后电路必须有唯一解,即替代后不能形成电压源回路与电流源节点。

　　3）替代后其余支路及参数不能改变。

4、替代定理得应用

例4－6若要使图示电路中得电流,试求电阻Rx。

例4－6图

因为,为避免求解复杂得方程,应用替代定理,把10V电压源与3Ω电阻串联支路用电流为I得电流源替代,电路如图（b）所示。

然后应用叠加定理,分电路图如图（c）、（d）所示。

例4－6图（b）例4－6图（c）

例4－6图（d）

　　由图得:

因此　

例4－7　求图示电路中得电流I1

例4－7图（a）

　　应用替代定理,图（a）简化为图（b）所示得电路,然后应用叠加定理得:

例4－7图（b）

4、3　　戴维宁定理与诺顿定理

1、戴维宁定理得内容

　　戴维宁定理表述为:

任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源与电阻得串联组合来等效替代;

此电压源得电压等于外电路断开时一端口网络端口处得开路电压uoc,而电阻等于一端口得输入电阻（或等效电阻Req）。

以上表述可以用图4、7来表示。

图4、7戴维宁定理

　　这里给出戴维宁定理得一般证明。

图4、8（a）为线性有源一端口网络A与负载网络N相连,设负载上电流为i,电压为u。

根据替代定理将负载用理想电流源i替代,如图4、8（b）所示。

图4、8

　　替代后不影响A中各处得电压与电流。

由叠加定理u可以分为两部分,如图4、9所示,即:

其中就是A内所有独立源共同作用时在端口产生得开路电压,就是仅由电流源i作用在端口产生得电压,即:

图4、9

因此

上式表示得电路模型如图4、10所示。

这就证明了戴维宁定理就是正确得。

图4、10

3、应用戴维宁定理要注意得问题

　　1）含源一端口网络所接得外电路可以就是任意得线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络得等效电路不变。

　　2）当含源一端口网络内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简得同一部分电路中。

　　3）开路电压uoc得计算

　　戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时得开路电压uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关。

计算uoc得方法视电路形式选择前面学过得任意方法,使易于计算。

　　4）等效电阻得计算

　　等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零（电压源短路,电流源开路）后,所得无源一端口网络得输入电阻。

常用下列三种方法计算:

5）当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联与△－Y互换得方法计算等效电阻;

　　6）外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）。

如图4、11所示。

图4、11用外加电源法求戴维宁等效电阻

则

7）开路电压,短路电流法。

即求得网络A端口间得开路电压后,将端口短路求得短路电流,如图4、12所示。

　　则:

　　以上方法中后两种方法更具有一般性。

4、戴维宁定理得应用

例4－10　计算图示电路中Rx分别为1、2Ω、5、2Ω时得电流I;

例4－10图（a）

断开Rx支路,如图（b）所示,将其余一端口网络化为戴维宁等效电路:

例4－10图（b）例4－10图（c）

　1）求开路电压Uoc

　2）求等效电阻Req。

把电压源短路,电路为纯电阻电路,应用电阻串、并联公式,得:

　3）画出等效电路,接上待求支路如图（d）所示,

例4－10图（d）

当Rx=1、2Ω时,

当Rx=5、2Ω时,

例4－11　计算图示电路中得电压U0;

例4－11图（a）

应用戴维宁定理。

断开3Ω电阻支路,如图（b）所示,将其余一端口网络化为戴维宁等效电路:

1）求开路电压Uoc　　

2）求等效电阻Req

方法1:

外加电压源如图（c）所示,求端口电压U与电流I0得比值。

注意此时电路中得独立电源要置零。

　　因为:

　　所以

方法2:

求开路电压与短路电流得比值。

　　把电路断口短路如图（d）所示。

注意此时电路中得独立电源要保留。

　　对图（d）电路右边得网孔应用KVL,有:

　　　所以I=0,　

　　　　则

3）画出等效电路,如图（e）所示,解得:

例4－11图（b）例4－11图（c）

例4－11图（d）例4－11图（e）

注意:

计算含受控源电路得等效电阻就是用外加电源法还就是开路、短路法,要具体问题具体分析,以计算简便为好。

例4－12　求图示电路中负载RL消耗得功率。

例4－12图（a）

断开电阻RL所在支路,如图（b）所示,将其余一端口网络化为戴维宁等效电路。

首先应用电源等效变换将图（b）变为图（c）。

例4－12图（b）例4－12图（c）

1）求开路电压Uoc

　　　　　由KVL得:

　　　　　解得:

2）求等效电阻Req,用开路电压、短路电流法。

　　端口短路,电路如图（d）所示,短路电流为:

因此:

例4－12图（d）

画出戴维宁等效电路,接上待求支路如图（e）所示,则:

例4－12图（e）

例4－13　电路如图所示,已知开关S扳向1,电流表读数为2A;

开关S扳向2,电压表读数为4V;

求开关S扳向3后,电压U等于多少？

例4－13图（a）

根据戴维宁定理,由已知条件得

　　　　　所以

　　　　　等效电路如图（b）所示,

例4－13图（b）

　　　　　则:

5、诺顿定理得内容

　　诺顿定理表述为:

任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源与电导（电阻）得并联组合来等效置换;

电流源得电流等于该一端口得短路电流,而电导（电阻）等于把该一端口得全部独立电源置零后得输入电导（电阻）。

以上表述可以用图4、13来表示。

图4、13诺顿定理

诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。

诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似得方法证明。

　　需要注意得就是:

（1）当含源一端口网络A得等效电阻时,该网络只有戴维宁等效电路,而无诺顿等效电路。

（2）当含源一端口网络A得等效电阻时,该网络只有诺顿等效电路而无戴维宁等效电路。

6、诺顿定理得应用

例4－14　应用诺顿定理求图示电路中得电流I。

例4－14图（a）

（1）求短路电流ISC,把ab端短路,电路如图（b）所示,解得:

　所以:

例4－14图（b）

（2）求等效电阻Req,把独立电源置零,电路如图（c）所示。

　（3） 

画出诺顿等效电路,接上待求支路如图（d）所示,应用分流公式得:

　　　注意:

诺顿等效电路中电流源得方向。

例4－14图（c）例4－14图（d）

例4－15　求图示电路中得电压U。

例4－15图（a）

本题用诺顿定理求比较方便。

因a、b处得短路电流比开路电压容易求。

例4－15图（b）例4－15图（c）

（1）　求短路电流ISC,把ab端短路,电路如图（b）所示,解得:

（2） 

求等效电阻Req,把独立电源置零,电路如图（c）所示,为简单并联电路。

（3）画出诺顿等效电路,

　接上待求支路如图（d）所示,得:

例4－15图（d）

4、4最大功率传输定理

1.最大功率传输定理

　　一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载得功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率得值就是多少得问题就就是最大功率传输定理所要表述得。

　　将含源一端口电路等效成戴维宁电源模型,如图4、14所示。

图4、14等效电压源接负载电路

　　　由图可知电源传给负载RL得功率为:

功率P随负载RL变化得曲线如图4、15所示,存在一极大值点。

为了找这一极大值点,对P求导,且令导数为零,即:

　　解上式得:

图4、15

结论:

有源线性一端口电路传输给负载得最大功率条件就是:

负载电阻RL等于一端口电路得等效内阻。

称这一条件为最大功率匹配条件。

将这一条件代入功率表达式中,得负载获取得最大功率为:

　　1）最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调得情况:

　　2）一端口等效电阻消耗得功率一般并不等于端口内部消耗得功率,因此当负载获取最大功率时,电路得传输效率并不一定就是50%;

　　3）计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。

2.最大功率传输定理得应用

例4－16　图示电路中负载电阻RL为何值时其上获得最大功率,并求最大功率。

例4－16图（a）

断开电阻RL所在支路,如图（b）所示,将一端口网络化为戴维宁等效电路。

例4－16图（b）例4－16图（c）

1） 

求开路电压Uoc

　　　因为:

　　　解得:

2） 

求等效电阻Req,用外加电源法。

　　电路如图（c）所示。

　　因为:

　　所以:

由最大功率传输定理得:

时,其上获取最大功率,

　　　　　且

4、5特勒根定理

1、特勒根定理1

　　特勒根定理1表述为:

任何时刻,对于一个具有n个结点与b条支路得集总电路,在支路电流与电压取关联参考方向下,满足:

2、特勒根定理1得证明

对图4、16所示电路得图应用KCL,得结点①,②,③得电流方程为:

　　　　而

图4、16

把上式中得支路电压用结点电压表示有:

或写为:

式中括号内得电流之与分别为结点①,②,③得电流方程,因此得:

3.特勒根定理2

　　特勒根定理2表述为:

任何时刻,对于两个具有n个结点与b条支路得集总电路,当它们具有相同得图,但由内容不同得支路构成,在支路电流与电压取关联参考方向下,满足:

4、特勒根定理2得证明

图4、17（a）图4、17（b）

设两个电路得图如图4、17所示,对图（b）应用KCL得三个结点方程为:

而

　　把上式中得支路电压用图（a）得结点电压表示有:

　或写为:

　式中括号内得电流之与分别为图（b）中结点①,②,③得电流方程,因此得:

　同理可证:

5.应用特勒根定理要注意得问题

　　1）定理得正确性与元件得特征全然无关,因此特勒根定理对任何线性、非线性、时不变、时变元件得集总电路都适用。

定理实质上就是功率守恒得数学表达。

　　2）电路中得支路电压必须满足KVL,支路电流必须满足KCL,支路电压与支路电流必须满足关联参考方向（否则公式中加负号）。

6.特勒根定理得应用

例4－17　图示电路中已知:

（1）R1=R2=2Ω,Us=8V时,I1=2A,U2=2V,

（2）R1=1、4Ω,R2=0、8Ω,Us=9V时,I1=3A,

　　　求此时得U2。

例4－17

把

（1）、

（2）两种情况瞧成就是结构相同,参数不同得两个电路,利用特勒根定理有:

　　由

（1）得:

　　　　　U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A

　　由

（2）得:

　　　代入公式中得:

　　　解得:

端口电压与电流取关联参考方向。

式中由于U1与I1为非关联方向所以取负号。

4、6互易定理

1、互易定理

　　互易定理表述为:

对一个仅含电阻得二端口电路NR,其中一个端口加激励源,一个端口作响应端口,在只有一个激励源得情况下,当激励与响应互换位置时,同一激励所产生得响应相同。

　　互易定理有三种情况:

　　1）情况1　　对图4、18所示电路取激励为电压源,响应为短路电流,则满足:

　　　　　　　当时,有:

图4、18

　　2）情况2　　对图4、19所示电路取激励为电流源,响应为开路电压,则满足:

　　　　　　　　当时,有:

图4、19

　　3）情况3　　对图4、20所示电路取图（a）激励为电流源,响应为短路电流,取图（b）激励为电压源,响应为开路电压,则满足:

　　　　　当在数值上满足时,有:

图4、20

2、互易定理得证明

　　以情况1为例证明互易定理。

　　应用特勒根定理2:

与

　　考虑到图示电路方框内仅为线性电阻,故

　　　　　　　k=3,4,……b。

　因此有:

　　　与

　　故有:

　　对图4、18（a）,

　　对图（b）,,

　　代入上式得:

　　同理可以证明情况2与情况3。

3.应用互易定理要注意得问题

　　1）互易前后应保持网络得拓扑结构不变,仅理想电源搬移;

　　2）互易前后端口处得激励与响应得极性保持一致（要么都关联,要么都非关联）;

　　3）互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,两个支路电压电流关系。

　　4）含有受控源得网络,互易定理一般不成立。

4.互易定理得应用

例4－19　求图示电路中得电流I。

例4－19图（a）

应用互易定理,把激励与响应互换得电路图如图（b）所示。

例4－19图（b）

　　　　因此:

　　　　应用分流公式得:

　　　　　所以: