最新高三数学专题复习资料命题及其关系Word文档格式.docx

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A．0B．1C．2D．3

选D　原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．

4．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是　　（　　）

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数

B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

选B　原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是B选项．

5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是　　（　　）

A．a＞b＋1B．a＞b－1

C．a2＞b2D．a3＞b3

选A　由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；

反之不成立.

考点一

四种命题的关系　

　[例1]　

（1）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（　　）

A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0

C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0

（2）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

[自主解答]　

（1）因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：

“若x≤1，则x≤0”．

（2）由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．

[答案]　

（1）C　

（2）C

试写出本例

（2）中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．

解：

逆命题：

若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．

否命题：

若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．　　　　

判断四种命题间关系的方法

（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

（2）原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．

1．命题p：

“若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是　　（　　）

A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜b

B．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞b

C．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b

D．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b

选C　“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b”．

2．（A.湖州模拟）下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

选A　A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；

B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；

C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；

D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题.

考点二

命题的真假判断　

[例2]　

（1）下列命题是真命题的是（　　）

A．若

＝

，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

D．若x＜y，则x2＜y2

（2）（A.陕西高考）原命题为“若

<

an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

[自主解答]　

（1）取x＝－1排除B；

取x＝y＝－1排除C；

取x＝－2，y＝－1排除D，故选A.

（2）从原命题的真假入手，由于

＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.

[答案]　

（1）A　

（2）A

命题的真假判断方法

（1）给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；

而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

（2）由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

给出下列命题：

①函数y＝sin（x＋kπ）（k∈R）不可能是偶函数；

②已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1（a∈R，a≠0），则数列{an}一定是等比数列；

③若函数f（x）的定义域是R，且满足f（x）＋f（x＋2）＝3，则f（x）是以4为周期的周期函数；

④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．

其中所有正确的命题有________（填正确命题的序号）．

①当k＝

时，y＝sin（x＋kπ）就是偶函数，故①错；

②当a＝1时，Sn＝0，则an的各项都为零，不是等比数列，故②错；

③由f（x）＋f（x＋2）＝3，则f（x＋2）＋f（x＋4）＝3，相减得f（x）－f（x＋4）＝0，即f（x）＝f（x＋4），所以f（x）是以4为周期的周期函数，③正确；

④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.

答案：

③

考点三

充要条件　

1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．

2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：

（1）判断指定条件与结论之间的关系；

（2）探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；

（3）与命题的真假性相交汇命题．

[例3]　

（1）（A.湖北高考）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分而不必要的条件　　B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

（2）（A.北京高考）设{an}是公比为q的等比数列，则“q>

1”是“{an}为递增数列”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

（3）给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝

，则“A＝30°

”是“B＝60°

”的必要不充分条件．

其中真命题的序号是________．

[自主解答]　

（1）“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”⇔“A∩B＝∅”．故C正确．

（2）当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；

当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.

（3）对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；

对于②，当a≤2时，函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上是增函数，因此②不正确；

对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；

对于④，由题意得

，若B＝60°

，则sinA＝

，注意到b＞a，故A＝30°

，反之，当A＝30°

时，有sinB＝

，由于b＞a，所以B＝60°

或B＝120°

，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.

[答案]　

（1）C　

（2）D　（3）①④

充要条件问题的常见类型及解题策略

（1）判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：

①确定条件是什么，结论是什么；

②尝试从条件推结论，从结论推条件；

③确定条件和结论是什么关系．

（2）探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．

（3）充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．

1．（A.宁波模拟）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的（　　）

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选A　若[x]＝[y]，则|x－y|＜1；

反之，若|x－y|＜1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的充分不必要条件．

2．已知p：

<

1，q：

x2＋（a－1）x－a>

0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－2，－1]　　　B．[－2，－1]

C．[－3,1]D．[－2，＋∞）

选A　不等式

1等价于

－1<

0，即

>

0，解得x>

2或x<

1，所以p为（－∞，1）∪（2，＋∞）．不等式x2＋（a－1）x－a>

0可以化为（x－1）（x＋a）>

0，当－a≤1时，解得x>

1或x<

－a，即q为（－∞，－a）∪（1，＋∞），此时a＝－1；

当－a>

1时，不等式（x－1）（x＋a）>

0的解集是（－∞，1）∪（－a，＋∞），此时－a<

2，即－2<

a<

－1.综上可知a的取值范围为（－2，－1]．

3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

一元二次方程x2－4x＋n＝0的根为x＝

＝2±

，因为x是整数，即2±

为整数，所以

为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

3或4

[课堂归纳——通法领悟]

1个区别——“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不　必要条件是B”的区别

　“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；

“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．

2条规律——四种命题间关系的两条规律

（1）逆命题与否命题互为逆否命题；

互为逆否命题的两个命题同真假．

（2）当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．

3种方法——判断充分条件和必要条件的方法

（1）定义法；

（2）集合法；

（3）等价转化法．

方法博览

（一）

三法破解充要条件问题

1．定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．

[典例1]　设0＜x＜

，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（　　）

A．充要条件　　　　　　　

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[解题指导]　由0＜x＜

可知0＜sinx＜1，分别判断命题“若xsin2x＜1，则xsinx＜1”与“若xsinx＜1，则xsin2x<

1”的真假即可．

[解析]　因为0<

，所以0<

sinx<

1，

不等式xsinx<

1两边同乘sinx，可得xsin2x<

sinx，所以有xsin2x<

1.即xsinx<

1⇒xsin2x<

1；

不等式xsin2x<

1两边同除以sinx，可得xsinx<

，而由0<

1，知

1，故xsinx<

1不一定成立，即xsin2x<

1⇒/xsinx<

1.

综上，可知“xsin2x<

1”是“xsinx<

1”的必要不充分条件．

[答案]　C

[点评]　判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：

“若p，则q”和B：

“若q，则p”的真假．

（1）若p⇒q，则p是q的充分条件；

（2）若q⇒p，则p是q的必要条件；

（3）若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；

（4）若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

（5）若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

（6）若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．集合法

集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．

[典例2]　若A：

log2a<

1，B：

x的二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（　　）

A．充要条件

[解题指导]　分别求出使A、B成立的参数a的取值所构成的集合M和N，然后通过集合M与N之间的关系来判断．

[解析]　由log2a<

1，解得0<

2，所以满足条件A的参数a的取值集合为M＝{a|0<

2}；

而方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f（0）<

0，即a－2<

0，解得a<

2，即满足条件B的参数a的取值集合为N＝{a|a<

2}，显然MN，所以A是B的充分不必要条件．

[答案]　B

[点评]　利用集合间的关系判断充要条件的方法

3.等价转化法

等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

[典例3]　已知条件p：

≤－1，条件q：

x2－x<

a2－a，且q的一个充分不必要条件是p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”．

[解析]　由

≤－1，得－3≤x<

由x2－x<

a2－a，得（x－a）[x＋（a－1）]<

0，

当a>

1－a，即a>

时，不等式的解为1－a<

a；

当a＝1－a，即a＝

时，不等式的解为∅；

当a<

1－a，即a<

时，不等式的解为a<

1－a.

由q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．

时，由{x|1－a<

a}{x|－3≤x<

1}，得

解得

a≤1；

当a＝

时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；

时，由{x|a<

1－a}{x|－3≤x<

解得0≤a<

.

综上，a的取值范围是[0,1]．

[答案]　[0,1]

[点评]　条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.

[全盘巩固]

1．“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”，其否命题是　　（　　）

A．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根

B．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0有实根

C．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根

D．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根

选C　由原命题与否命题的关系可知，“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根”．

2．f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）＋g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

选B　因为f（x），g（x）均为偶函数，可推出h（x）为偶函数，反之，则不成立．

3．（A.天津高考）设a，b∈R，则“a>

b”是“a|a|>

b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

选C　构造函数f（x）＝x|x|，则f（x）在定义域R上为奇函数．因为f（x）＝

所以函数f（x）在R上单调递增，所以a>

b⇔f（a）>

f（b）⇔a|a|>

b|b|.选C.

4．（A.金华模拟）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的　（　　）

A．充分不必要条件

C．充分必要条件

选A　“函数f（x）＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：

0＜a＜1.因为“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的充要条件是2－a＞0，即a＜2.又因为a＞0且a≠1，所以“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的充要条件是q：

0＜a＜2且a≠1.显然p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．

5．（A.慈溪模拟）下列选项中正确的是（　　）

A．若x＞0且x≠1，则lnx＋

≥2

B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件

C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”

D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题

选B　当0＜x＜1时，lnx＜0，此时lnx＋

≤－2，A错；

当|an＋1|＞an时，{an}不一定是递增数列，但若{an}是递增数列，则必有an＜an＋1≤|an＋1|，B对；

全称命题的否定为特称命题，C错；

若命题p为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D错．

6．已知p：

≤1，q：

（x－a）（x－a－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C．（－∞，0）∪

D．（－∞，0）∪

选A　令A＝{x|

≤1}，得A＝

，令B＝{x|（x－a）（x－a－1）≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的充分不必要条件，则AB，需

⇒0≤a≤

，故选A.

7．在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f（p），已知命题p：

“若两条直线l1：

a1x＋b1y＋c1＝0，l2：

a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f（p）＝________.

原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：

若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1：

a1x＋b1y＋c1＝0与l2：

a2x＋b2y＋c2＝0平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f（p）＝2.

2

8．下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；

③在△ABC中，“A＞30°

”是“sinA＞

”的充分不必要条件；

④“函数f（x）＝tan（x＋φ）为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ（k∈Z）”．

其中真命题的序号是________（把真命题的序号都填上）．

①原命题的逆命题为：

“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，①是真命题；

“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题是“若x2＋x－6＜0，则x≤2”，②也是真命题；

在△ABC中，“A＞30°

”的必要不充分条件，③是假命题；

“函数f（x）＝tan（x＋φ）为奇函数”的充要条件是“φ＝

（k∈Z）”，④是假命题．

①②

9．已知α：

x≥a，β：

|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

α：

x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

由|x－1|＜1，得0＜x＜2，

∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．

又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

（－∞，0]

10．已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”．

（1）写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；

（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

（1）否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）．

该命题是真命题，证明如下：

∵a＋b＜0，

∴a＜－b，b＜－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．

∴f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），

∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），

∴否命题为真命题．

（2）逆否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）＜f