重点初中数学三角形全等教案讲义.docx

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重点初中数学三角形全等教案讲义

1.4全等三角形

教学目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

教学重点

全等三角形的性质．

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角．

教学过程

一、三角形全等的概念

如果我们把两张纸重叠起来，同时得到两个三角形，你能发现这两个三角形有什么特征吗？

我们发现：

这两个三角形的形状、大小完全一样，我们把这两个图形放在一起，他们能够完全重合，像这样的图形，我们就称为是全等形.

概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的三角形叫做全等三角形.

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难看出△ABC和△DEF，△ABC和△DBC，△ABC和△AED都是全等三角形.我们把两个三角形全等记作：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

二、三角形全等的性质

甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等、对应角相等．

例1：

如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

例2：

如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

例3：

已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）

1．如图，已知△ABC≌△DCB，且AB=DC，则∠DBC等于（）

A．∠AB．∠DCBC．∠ABCD．∠ACB

2．已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，△DEF的周长为偶数，则EF的长为（）

A．3B．4C．5D．6

3．已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝．

4．如图，△ABC绕点A旋转180°得到△AED，则DE与BC的位置关系是___________，数量关系是___________．

5．把△ABC绕点A逆时针旋转，边AB旋转到AD，得到△ADE，用符号“≌”表示图中与△ABC全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角．

6．如图，把△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．

求证：

AC∥DF。

7．如图，△ACF≌△ADE，AD=9，AE=4，求DF的长．

1.5全等三角形的判定（SSS）

1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），你可以画出多少三角形呢？

画出的三角形一定都全等吗？

2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边．

可以看出来当只给出一个条件或两个条件时，我们不能保证画出来的三角形都是全等三角形，那么如果给出来三个条件时，又会有怎样的结果呢？

给出三个条件时有下面四种情况：

三条边、三内角、两边一内角、两内角一边，我们先来探索第一种情况.

请按照下面的方法，用刻度尺和圆规画ΔDEF，使其三条边分别为1.3cm，1.9cm，2.5cm.

画法：

1、画线段EF=1.3cm；

2、分别以E、F为圆心，1.9cm，2.5cm长为半径画两条弧，交于点D；

3、连结DE，DF；

ΔDEF就是所求的三角形.

按照上述方法你画出了几个三角形，它们有什么关系呢？

通过上面的讨论我们有如下判定三角形全等的边边边定理：

三边对应相等的两个三角形全等（简写为“边边边”或“SSS”）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

例1：

如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：

△ABD≌△ACD．

例2：

如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

如何利用直尺和圆规作一个已知角的角平分线呢？

按照下面的步骤，我们可以作出来一条直线，求证这条直线即是角平分线.

1、以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于E、F两点；

2、分别以E、F为圆心，大于

EF长的半径；

作圆弧，两条圆弧交于

内一点D；

3、过点A、D作射线AD.

射线AD就是所求作的

的平分线.

根据我们作出的图形，找到已知条件，并证明AD是

的平分线.

把两根木条的一端固定在一起，木条会自由转动。

在转动过程中，连结另两个端点所组成的三角形的形状、大小会随之改变.如果把另外两个端点用一根木条固定住，那么构成的三角形的形状，大小就完全确定.这就告诉我们一个生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．

1.5全等三角形的判定（SAS）

1、怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3、上一节我们学习了什么方法来判定三角形全等？

除了这个方法，还有没有其它的方法呢？

如右图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，那么△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

根据这个图形我们来探讨一下判定三角形全等的另一个方法.

不难看出，这ΔAOB和ΔCOD有三对元素是相等的

，从而我们得到：

ΔAOB≌ΔCOD

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，只需要这两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这就是边角边公理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

按下面的步骤画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．

③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

任意给出三角形的两条边和一个角，我们画出的三角形是否都全等呢？

已知△ABC中

=

，AC=3cm，BC=2cm，那么你可以画出怎样的三角形呢？

试着画一画.

利用边角边定理判定三角形全等时，对应角一定要是对应边的夹角.

例1：

已知：

如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：

△ABE≌△ACF．

例2：

已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：

△ABE≌△CDF．

例3：

直线

⊥线段AB于点D，且AD=BD，点C是直线

D

上任意一点，证明AC=BC

像直线

这样，垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________（这个条件可以证得吗？

）．

1.5全等三角形的判定（ASA或AAS）

有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？

请用量角器和刻度尺画ΔABC，使BC=3cm，∠B=

，∠C=

.

根据要求我们只能画出一个三角形，由此我们得到角边角定理：

有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”）

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

例1：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

由此我们得到角角边定理：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

例2:

如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

}；