高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图像与性质教师用书文北师大Word文档格式.docx

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偶函数

对称中心

（kπ，0）（k∈Z）

（

＋kπ，0）（k∈Z）

，0）（k∈Z）

对称轴方程

x＝

＋kπ（k∈Z）

x＝kπ（k∈Z）

周期

2π

π

【知识拓展】

1．对称与周期

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0），则

（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；

（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）y＝sinx在第一、第四象限是增函数．（　×

　）

（2）常数函数f（x）＝a是周期函数，它没有最小正周期．（　√　）

（3）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．（　×

（4）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.（　×

（5）y＝sin|x|是偶函数．（　√　）

（6）若sinx>

，则x>

.（　×

1．函数f（x）＝cos（2x－）的最小正周期是（　　）

A.B．πC．2πD．4π

答案　B

解析　最小正周期为T＝＝＝π.故选B.

2．（教材改编）函数f（x）＝3sin（2x－）在区间[0，]上的值域为（　　）

A．[－，]B．[－，3]

C．[－，]D．[－，3]

解析　当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，

sin（2x－）∈[－，1]，

故3sin（2x－）∈[－，3]，

即f（x）的值域为[－，3]．

3．函数y＝tan2x的定义域是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan2x的定义域为.

4．（2016·

开封模拟）已知函数f（x）＝4sin（－2x），x∈[－π，0]，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A．[－π，－]B．[－π，－]

C．[－π，－π]，[－，0]D．[－π，－π]，[－，0]

答案　C

解析　f（x）＝4sin（－2x）＝－4sin（2x－）．

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得

－＋kπ≤x≤π＋kπ（k∈Z）．

所以函数f（x）的递减区间是

[－＋kπ，π＋kπ]（k∈Z）．

因为x∈[－π，0]，

所以函数f（x）的递减区间是[－π，－π]，[－，0]．

5．y＝sin（x－）的图像的对称中心是____________．

答案　（kπ＋，0），k∈Z

解析　令x－＝kπ（k∈Z），

∴x＝kπ＋（k∈Z），

∴y＝sin（x－）的图像的对称中心是（kπ＋，0），k∈Z.

题型一　三角函数的定义域和值域

例1　

（1）函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是____________．

（2）（2016·

郑州模拟）已知函数f（x）＝sin（x＋），其中x∈[－，a]，若f（x）的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）{x|x≠＋，k∈Z}　

（2）[，π]

解析　

（1）由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

所以f（x）的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．

（2）∵x∈[－，a]，∴x＋∈[－，a＋]，

∵x＋∈[－，]时，f（x）的值域为[－，1]，

∴由函数的图像知≤a＋≤，∴≤a≤π.

思维升华　

（1）三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

（2）三角函数值域的不同求法

①利用sinx和cosx的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域；

③通过换元，转换成二次函数求值域．

（1）函数y＝lg（sinx）＋的定义域为　.

（2）函数y＝2sin（－）（0≤x≤9）的最大值与最小值的和为__________．

答案　

（1）

（2）2－

解析　

（1）要使函数有意义必须有

即解得

∴2kπ＜x≤＋2kπ（k∈Z），

∴函数的定义域为.

（2）∵0≤x≤9，∴－≤－≤，

∴－≤sin（－）≤1，

故－≤2sin（－）≤2.

即函数y＝2sin（－）（0≤x≤9）的最大值为2，最小值为－.

∴最大值与最小值的和为2－.

题型二　三角函数的单调性

例2　

（1）函数f（x）＝tan的单调递增区间是（　　）

A.（k∈Z）

B.（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）由kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z），

得－＜x＜＋（k∈Z），

所以函数f（x）＝tan的单调递增区间为

（k∈Z），故选B.

（2）由＜x＜π，ω＞0，得

＋＜ωx＋＜ωπ＋，

又y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，

所以

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

又由4k＋－（2k＋）≤0，k∈Z且2k＋>

0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，]．

引申探究

本例

（2）中，若已知ω>

0，函数f（x）＝cos（ωx＋）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是____________．

答案　[，]

解析　函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

则

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，

得k＝1，所以ω∈.

思维升华　

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω＞0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

（1）函数f（x）＝sin的单调减区间为________．

（2）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω等于（　　）

C．2D．3

答案　

（1），k∈Z　

（2）B

解析　

（1）已知函数可化为f（x）＝－sin，

欲求函数的单调减区间，只需求f（x）＝sin的单调增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的单调减区间为（k∈Z）．

（2）∵f（x）＝sinωx（ω＞0）过原点，

∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，

y＝sinωx是增加的；

当≤ωx≤，即≤x≤时，

y＝sinωx是减少的．

由f（x）＝sinωx（ω＞0）在上是增加的，

在上是减少的，知＝，

∴ω＝.

题型三　三角函数的周期性、对称性

命题点1　周期性

例3　

（1）（2016·

北京东×

×

区模拟）函数y＝sin2x＋cos2x－的最小正周期等于（　　）

A．πB．2πC.D.

（2）若函数f（x）＝2tan（kx＋）的最小正周期T满足1<

T<

2，则自然数k的值为________．

答案　

（1）A　

（2）2或3

解析　

（1）y＝sin2x＋×

－＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋），所以函数的最小正周期T＝＝＝π，故选A.

（2）由题意得，1<

<

2，

∴k<

π<

2k，即<

k<

π，

又k∈Z，∴k＝2或3.

命题点2　对称性

例4　对于函数f（x）＝sin，下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的周期为π，且在[0,1]上是增加的

B．f（x）的周期为2，且在[0,1]上是减少的

C．f（x）的周期为π，且在[－1,0]上是增加的

D．f（x）的周期为2，且在[－1,0]上是减少的

解析　因为f（x）＝sin＝cosπx，则周期T＝2，在[0,1]上是减少的，故选B.

命题点3　对称性的应用

例5　

（1）已知函数y＝2sin的图像关于点P（x0,0）对称，若x0∈，则x0＝________.

（2）若函数y＝cos（ωx＋）（ω∈N＋）图像的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为（　　）

A．1B．2C．4D．8

答案　

（1）－　

（2）B

解析　

（1）由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z，

故x0＝－，k∈Z，

又x0∈，∴－≤k≤，k∈Z，

∴k＝0，则x0＝－.

（2）由题意知π＋＝kπ＋（k∈Z），

∴ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N＋，∴ωmin＝2.

思维升华　

（1）对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0,0）是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．

（2）求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．

②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

（1）（2016·

北京×

区模拟）已知函数f（x）＝2sin（x＋），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值是（　　）

A．2B．4

C．πD．2π

（2）如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图像关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A.B.C.D.

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）由题意可得|x1－x2|的最小值为半个周期，

即＝＝2.

（2）由题意得3cos（2×

＋φ）＝3cos（＋φ＋2π）

＝3cos（＋φ）＝0，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

5．三角函数的性质

考点分析　纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．

典例　

（1）（2015·

课标全国Ⅰ）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

（2）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b对任意实数x有f（x＋）＝f（－x）恒成立，且f（）＝1，则实数b的值为（　　）

A．－1B．3C．－1或3D．－3

（3）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为________．

解析　

（1）由图像知，周期T＝2×

＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×

＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

∴f（x）＝cos.

由2kπ<

πx＋<

2kπ＋π，k∈Z，得2k－<

x<

2k＋，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z.故选D.

（2）由f（x＋）＝f（－x）可知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b关于直线x＝对称，又函数f（x）在对称轴处取得最值，故±

2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.

（3）∵ω＞0，－≤x≤，

∴－≤ωx≤.由已知条件知－≤－，

∴ω≥.

答案　

（1）D　

（2）C　（3）

1．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω>

0）的最小正周期为π，则f（）等于（　　）

A．1B.

C．－1D．－

答案　A

解析　∵T＝π，∴ω＝2，

∴f（）＝sin（2×

＋）＝sin＝1.

2．若函数f（x）＝－cos2x，则f（x）的一个递增区间为（　　）

A．（－，0）B．（0，）

C．（，）D．（，π）

解析　由f（x）＝－cos2x知递增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z，故只有B项满足．

3．关于函数y＝tan（2x－），下列说法正确的是（　　）

A．是奇函数

B．在区间（0，）上单调递减

C．（，0）为其图像的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析　函数y＝tan（2x－）是非奇非偶函数，A错误；

在区间（0，）上是增加的，B错误；

最小正周期为，D错误．

∵当x＝时，tan（2×

－）＝0，

∴（，0）为其图像的一个对称中心，故选C.

潍坊模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx－）＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1,2），则函数f（x）的最小正周期为（　　）

解析　由函数f（x）＝2sin（ωx－）＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

∴ω＝k＋，∴ω＝，

从而得函数f（x）的最小正周期为＝.

5．已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ）（|φ|<

π），若f（）＝－2，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

A．[－，]B．[，]

C．[－，]D．[，]

解析　由f（）＝－2，得

f（）＝－2sin（2×

＋φ）＝－2sin（＋φ）＝－2，

所以sin（＋φ）＝1.

因为|φ|<

π，所以φ＝.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

当k＝0时，－≤x≤，故选C.

6．若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>

0且|φ|<

）在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f（）等于（　　）

A.B.C.D．1

解析　由题意得函数f（x）的周期T＝2（－）＝π，所以ω＝2，此时f（x）＝sin（2x＋φ），将点（，1）代入上式得sin（＋φ）＝1（|φ|<

），所以φ＝，

所以f（x）＝sin（2x＋），

于是f（）＝sin（＋）＝cos＝.

7．函数y＝的定义域为______________．

答案　[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z

解析　由2sinx－1≥0，得sinx≥，

∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

8．函数y＝cos2x＋sinx（|x|≤）的最小值为___________________．

答案　

解析　令t＝sinx，∵|x|≤，

∴t∈.

∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，

∴当t＝－时，ymin＝.

9．函数y＝cos（－2x）的单调减区间为______________．

答案　[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）

解析　由y＝cos（－2x）＝cos（2x－），

得2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），

解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）．

10．（2016·

威海模拟）若f（x）＝2sinωx＋1（ω>

0）在区间[－，]上是增加的，则ω的取值范围是__________．

答案　（0，]

解析　方法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，

得f（x）的增区间是[－，＋]，k∈Z.

因为f（x）在[－，]上是增加的，

所以[－，]⊆[－，]，

即－≥－且≤，所以ω∈（0，]．

方法二　因为x∈[－，]，ω>

0.

所以ωx∈[－，]，

又f（x）在区间[－，]上是增加的，

则又ω>

0，得0<

ω≤.

11．设函数f（x）＝sin（－π<

φ<

0），y＝f（x）图像的一条对称轴是直线x＝.

（1）求φ；

（2）求函数y＝f（x）的单调递增区间．

解　

（1）令2×

＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ＋，k∈Z，

又－π<

0，则φ＝－.

（2）由

（1）得f（x）＝sin，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

因此y＝f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

12．（2015·

北京）已知函数f（x）＝sinx－2sin2.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最小值．

解　

（1）因为f（x）＝sinx＋cosx－

＝2sin－，

所以f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.

当x＋＝π，即x＝时，f（x）取得最小值．

所以f（x）在区间上的最小值为f＝－.

13.已知a>

0，函数f（x）＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f（x）≤1.

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）＝f且lgg（x）>

0，求g（x）的单调区间．

解　

（1）∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]，

∴f（x）∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f（x）≤1，

∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.

（2）由

（1）得f（x）＝－4sin－1，

g（x）＝f＝－4sin－1

＝4sin－1，

又由lgg（x）>

0，得g（x）>

1，

∴4sin－1>

1，∴sin>

，

∴2kπ＋<

2x＋<

2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<

2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

g（x）是增加的，即kπ<

x≤kπ＋，k∈Z，

∴g（x）的单调增区间为，k∈Z.

又∵当2kπ＋<

2kπ＋，k∈Z时，

g（x）是减少的，即kπ＋<

kπ＋，k∈Z.

∴g（x）的单调减区间为，k∈Z.