排列组合知识点总结.doc

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排列组合二项式定理

1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2，排列　

  排列定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数

公式=规定0！

=1

3，组合

组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

=

性质=

排列组合题型总结

一．直接法

1.特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：

（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：

=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252

二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中

（2）可用间接法=252

Eg有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

分析：

：

任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数-=432

Eg三个女生和五个男生排成一排

（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）

（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）

（3）两端不能排女生

（4）两端不能全排女生

（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：

原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。

三．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（）

2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）

四．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

分析：

此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种

五平均分推问题

eg6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？

（1）平均分成三堆，

（2）平均分给甲乙丙三人

（3）一堆一本，一堆两本，一对三本

（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）

（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本

分析：

1，分出三堆书（a1,a2）,（a3,a4），（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种

2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人

就有x种

3，5，

五．合并单元格解决染色问题

Eg如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。

分析：

颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

下面分情况讨论:

（ⅰ）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（ⅰ）类似同理可得种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．

由加法原理知：

不同着色方法共有2=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1

2

3

4

5

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

不同的种植方法共种（以数字作答）（72）

2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）

图3图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：

四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）

图5图6

5．将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）