抛物线方程及几何意义教案.docx
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抛物线方程及几何意义教案
适用学科
L.—..——一一—.
高中数学
11
适用年级:
咼中一年级
11
适用区域
人教版
课时时长（分钟）丨2课时
1
知识点
1.抛物线的定义•
2.抛物线的标准方程•i
3.抛物线的简单几何性质.
教学目标
1
1.掌握抛物线的定义，标准方程.i
2.掌握抛物线的几何性质.
3.体会解析几何的思想，熟悉利用代数方法研究几何问题的手段|
教学重点
1.抛物线定义、标准方程及几何性质，
2.利用性质解决一些问题.
教学难点
抛物线定义、标准方程及几何性质的灵活应用i
【教学建议】
抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线、及其几何性
质，题型上，选择题、填空题、解答题、都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合、和分析问题的能力为主。
一、教学目标本课的教学目标是：
掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义；会推导抛物线的标准方程；能够利用给定的条件求抛物线的标准方程。
过程与方法：
通过观察”探究”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感
受坐标法及数形结合的思想。
情感、态度与价值观：
通过提问、讨论、思考解答等数学活动，
进一步培养学生合作、交流的能力，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。
教学目标明确，具
体，符合新课标的要求。
体现了知识的产生
二、教学过程整个教学过程包括新课的导入，抛物线概念的得出，方程的推导和熟练过程，到最后的总结，教学环节完整，层次分明，重点推导抛物线的方程，概念的得出是通过几何画板现场展示过程，让学生在体会作图的特点中感悟概念的得出，
和形成过程，通过例题和练习让学生达到熟练的程度，方法合理，过程安排有序，有效突破
难点。
三、教学方法有效运用几何画板工具，展现概念的形成过程，让学生体会到抛物线概念中的相等关系的量，为得到抛物线的概念做了很好的铺垫，概念的得出是在教师提示下学生体会得到的，方程的推导过程中，师生共同完成，有效地达到了教学效果。
四、教师基本功板书布局工整合理，板书中体现了本课的教学重点，教态自然，语言
准确，体现对数学的严谨性。
五、创新意识教学设计有一定新意，在导课时，采用具体形象地几何画板工具，现场
展示几何图形，形象直观地让学生体会到几何作图中所包含的抽象关系，从而得出抛物线的
概念。
【知识导图】
教学过程
」、导入
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状^态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
1情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
2温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
一、课堂导入
1•生活中的抛物线：
（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；
（2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的•
2•数学中的抛物线：
A
一元二次函数:
-：
■：
'■-I'；'I:
一「山的图像是一条抛物线.
提出问题：
为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？
类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物
线又会有怎样的几何性质？
二、抛物线的定义
1.抛物线的画法
（1）介绍作图规则.
（2）动画展示作图过程.
提出问题：
笔尖所对应的点二满足的几何关系是什么？
（3）分析作图过程
提出问题：
在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？
哪些动了？
提出问题：
在作图过程中，绳长，I曲，|妙，卩個LI阙中，哪些量没有变？
哪些量变了？
（4）结论
动点二满足的几何关系是：
动点二到定点F的距离等于它到直尺的距离.
2.抛物线的定义
问题1：
你能给抛物线下个定义吗？
抛物线的定义：
平面内与一个定点：
和一条定直线（.不过；）的距离相等的点的集合叫
作抛物线•
问题2：
为什么定点「不能在定直线.上？
若点」在直线.上，则轨迹为过定点「垂直于直
线的直线’.
3.抛物线的相关概念：
定点：
：
抛物线的焦点•定直线:
抛物线的准线•
设二-/焦点到准线的距离•
抛物线的对称轴与抛物线的交点_':
抛物线的顶点
三、抛物线的方程
1.方程推导
（1）建系
请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系
（2）推导
问题3：
以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？
请说明理由
提示：
设外旳>0），先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方
程•
三种建系方式下的抛物线方程分别为：
…J■:
2/■■
不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好
「：
焦点到准线的距离•
3.思考交流
问题4:
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的
标准方程？
具体要求：
以顶点在原点，焦点在丄轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口
向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学
生先独立思考，再小组合作交流.
标准方程（p>0）
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x
2=—2py
Ay
八y
y
1/
I
\/
l
O
图形
^_L
\/
7kx
'x
\
llj
—I
Ox
l
/
开口方向
向右
向左
向上
向下
范围
xK0,ywR
x兰0,ywR
yK0,x壬R
y
<0,^R
对称轴
x轴
y轴
性质焦点坐标
F（寺0）
F（弋0）
2
F（0占
2
F叱）
准线方程
X」
x-卫
y—卫
y」
2
2
2
2
离心率
e=1
焦半径
|pf|=x。
+卫
|pf|=-X°+卫
PF=y。
+卫
PF
一y°+卫
2
2
2
2
抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种
形式•
4.例题分析
例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程•
（1）」二；
（2）：
.;
例2.根据下列条件求抛物线的标准方程•
（1）焦点:
F（-1,O）；
（2）准线：
y=2
四、课堂小结
问题5：
这节课你学到了什么？
请谈谈你的收获
1.知识内容：
（1）抛物线的定义：
二'■-
（2）抛物线的标准方程：
1焦点在；轴正半轴：
「一门.二…’丨丨；
2
2焦点在：
轴负半轴：
2—「•山
3焦点在轴正半轴；
4焦点在.''轴负半轴
2.学习方法与过程：
类比椭圆的研究方法与过程•
3.学习中用到的数学思想和方法：
（1）直接法；
（2）待定系数法；（3）类比的思维方法;
（4）数形结合思想•
二、知识讲解
1的距离的点的轨迹。
其中F叫焦
文考形式1抛物线到定定义F的距离等于它到一条定直线
点，定直线1叫准线.
集合形式：
WMF
=d}
（M为动点，F为定点，d为点M到定直线1的距离）•
A考点2抛物线的方程及几何性质
标准方程（P>0）
2小
y=2px
y=-2px
x2=2py
x2=-2py
图形
一
J
ky
y
\
F
O
l
1/
/
上>
x
y
i
O
/F/
\
\
性质
开口方向
向右
向左
向上
向下
范围
xK0,y€R
x兰0,y€R
yK0,x乞R
y兰0,R
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F（f°）
2
F（-±0）
2
叫）
F（0^-P）
2
准线方程
2
P
x=—
2
P
r
离心率
e=1
焦半径
lPFi+子
|PF|=—X0+子
PF十子
pf—七
考物线上的点到焦点的距离，利用抛物线的定义，要优先考虑转化为抛物线上的点到准线的距离来解决问题
二、例题精析
类型一抛物线的定义及应用
例题1
（1）已知抛物线的标准方程是y'=6x，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点是F0,-2，求它的标准方程。
答案与解析
（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为x=-8y.
【总结与反思】
P的值得到焦点坐标和
（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出
准线方程。
（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程。
类型二抛物线的标准方程和几何性质
2
古=i（a>0,b>0）的离心率为2.若抛物线C2：
x2=2py（p>0）的焦点到双曲
线Ci的渐近线的距离为2,则抛物线
C2的方程为（）
A.x2=晳y
C.x2
=8y
答案
解析
D
2
••X
-2
a
•a=2，
x2=2py
B.
D.
2低3
x=〒y
x2=i6y
2
—右=i的离心率为2,
b
即c2a2+b2b2
aa'a'
2
x
2a
b-
=■3.
a
的焦点坐标为0,2，X2—治=i的渐近线方程为y=£x，即y=±,3x.由题意得
2=2,•p=8•故C2的方程为x2=i6y.
i+.3
例抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,
B两点，0为坐标原点.若|AF|=3,
则AAOB的面积为
答案与解析
答案322
解析
由题意设A（xi,yi）,B（X2,y2）（yi>0,y2<0），如图所示,
•••Xi=2,yi=2,2.
|AF|=xi+1=3,
设AB的方程为x—i=ty，由y=4X，
X—i=ty
消去x得y2—4ty—4=0.
--yiy2=—4•…y2=—¥2,X2=2,
Ci鉅
…Saaob=2xix|yi—y2|=2.
【总结与反思】
（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物
线的标准方程.
（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,
特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
类型三直线与抛物线的综合问题
已知抛物线C:
y2=8x与点M（—2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若
MAMB=0,贝Vk=.
答案与解析
答案2
解析抛物线C的焦点为F（2,0），则直线方程为y=k（x—2）,与抛物线方程联立，消去y化
简得k2x2—（4k2+8）x+4k2=0•设点A（X!
%）,B（x2,拓.
r8
则Xi+X2=4+k2,X1X2=4.
8
所以yi+y2=心+X2）—4k=匚,
yiy2=k[X1X2—2（Xi+X2）+4]=—16.
因为MAMB=（Xi+2,yi—2）（x?
+2,y?
—2）=（Xi+2）（X2+2）+（yi—2）仏一2）=X1X2+2（Xi+x?
）
+yiy2—2（yi+y2）+8=0,
将上面各个量代入，化简得k2—4k+4=0，所以k=2.
例题22
已知抛物线C:
y=mx（m>0），焦点为F，直线2x—y+2=0交抛物线C于A,B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）若抛物线C上有一点R（xr,2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；
⑶是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由.
答案与解析
解⑴•••抛物线c:
x2=^y,^它的焦点f（0,4m）.
Jy=mx2,
（3）存在，联立方程
I2x—y+2=0,
消去y得mx2—2x—2=0,
2
X1+X2=m，
2
设Ag，mx）
B（X2，mx2），则2（*）
lx*—m.
依题意，有
1
11即P（m，yp），二Q（m，伸-
若存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，贝yQAQB=0,
即（x1—m）（X2—m）+（mx2—m）（mx2—m）=0，
46
结合（*）化简得一m2—m+4=o,
即2m2—3m—2=0，二m=2或m=—1,
而2€（—2,+s）,—珈—1,+◎•
•••存在实数m=2,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.
【总结与反思】
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数
的关系.
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点•若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
⑶涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用设而不求
整体代入”等解法.
提醒：
涉及弦的中点、斜率时一般用点差法”求解.
四、课堂运用
基础2
1.
（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程.
（2）已知抛物线的焦点是F0,-2，求它的标准方程.
2.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在X轴上，直线y=x与抛物线C交于
A,B两点，若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为.
答案与解析
1.【答案】
（1）i3,0,x=--
（2）x2--8y
12丿2
【解析】
（1）因为P=3，所以抛物线的焦点坐标为-,0，准线方程为X--3.
12丿2
（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为x2=-8y.
2
2.【答案】y=4x
【解析】
「2_
设抛物线的方程为y2=ax（a式0）.由方程组“解得交点坐标为
[y=x
A（0,0）,B（a,a），而点P（2,2）是AB的中点，从而有a=4，故所求抛物线的方程
为y2=4x.
|巩固
1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,1）的距离与点P到抛物线焦点距离之
禾廿的最小值为
2
2抛物线y二「8x的焦点坐标是（）
A.（2，0）B.（-2，0）C.（4，0）D.（-4，0）[来
3.已知点A（3,4）,f是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点，当MA+|MF最小时,M
点坐标是（）
A.（0,0）B.（3,26）C.（2,4）D.（3,-2.6）
22
4•已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:
x（y3）=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.
答案与解析
1.过P作PM_I于点M（I为准线），显然PQP^PQPM,当Q—丨时有最小值，
此时PQPF=PQPM=QN=3
2P
2•由y二「8x,易知焦点坐标是（,0）=（-2,0），故选B
2
3.设M到准线的距离为MK,则|MA|+MF|=|MA+|MK，当MA+|MK最小时，M点
坐标是（2,4），选C
4.设动圆圆心为M（x，y）,半径为r，则由题意可得M到C（0,-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：
动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准
线的一条抛物线，其方程为X2二-12y.
3.4
拔高
2
1.过抛物线y-2pxp-0的焦点F作直线交抛物线于Ax-1,y!
Bgg
两点，求证：
（1）AB=%+x2+p
1
AF
1
BF
2
2.已知过抛物线y=9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为.
2
3.已知抛物线y=2px（p0）的焦点为F,点P1（x1,y1）,巳匕2,2）,F3（X3,y3）在抛物
线上，且|RF|、IF2FI、IRFI成等差数列，则有（）
a.论X2=X3b.%y2二y3
c.x「X3=2x2d.y1y^2y2
4设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,直线I过F且与C交于A,B两点。
若
|AF|=3|BF|，则I的方程为（）
（A）y=x-1或y=-x1
（C）y=3（x-1）或y-i、3（xi1）
答案与解析
1.
（1）如图设抛物线的准线为I，作
（B）
（D）
十一1）或y=
3
二亠2y=三-（x_1）或讨二（x_1）
BFuBB^!
=X2+P•两式相加即得:
2
（2）当AB丄x轴时，有
AF=BF
2
222P2
kx-pk2xk=0
k2
xi,x2,.•xx2.
14
112
故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立
AF||BF|p
2.
由结论：
若AB是抛物线y2=2px（pA0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则
线AB倾斜角为—或—
33
ppp
3.由抛物线的定义可得RF=*,P2F=X2,P3F=X3*
222
由于丨RF丨、IF2F|、|F3F|成等差数列，所以
2
4.抛物线C:
y=4x的焦点坐标为（1,0），准线方程为x--1，设A（X1,y（）,B（X2,y?
）,
则因为AF=3BF,所以％+1=3（x2+1）,所以％=3x2+2。
因为y；=3y2,%=9x2,
所以％=3,x2=1，当x-!
=3时，y12=12,所以此时y厂二、•12--23,若y^2.3,3
12^j3
则A（3,2,3）,B（-,）,此时kAB='3,此时直线方程为y=3（x-1）。
若%--2、3,
33
是y二.3（x-1）或y=--3（x-1），选C.
1认真区分四种形式的标准方程
（1）区分y=ax2与y2=2px（p>0），前者不是抛物线的标准方程.
（2）求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx（m工0）
或x2=my（m^0）.
2•抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离•因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.
抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|=|x|+2或|PF|=|y|+号.
六、课后作业
基础
1.已知抛物线y2=2px（p>0）的准线与曲线x2+y2—4x—5=0相切，则p的值为（）
11
A.2B.1迈D.-
2•已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段
AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）
A.x=1B.x=—1C.x=2D.x=—2
3.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（X1,y",B（x2,y2），则逹的
X1X2
值一定等于（）
22
A.—4B.4C.pD.—p
4.（2019浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,
B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与△ACF的面积之比是（）
2
|BF|—1|BF|—
|AF|—1|AF|2—1
C|BF|+1D|BF|+1
C.|AF|+1D.|AF|2+1
答案与解析
1•答案A
解析曲线的标准方程为（x—2）2+y2=9，其表示圆心为（2,0），半径为3的圆，又抛物线的
准线方程为x=—p,•••由抛物线的准线与圆相切得2+号=3,解得p=2，故选A.
2••答案B
解析ty2=2px的焦点坐标为（；，0）,
•••过焦点且斜率为1的直线方程为y=x—p,
即x=y+2，将其代入yi=2px，得y2=2py+p2,
即y—2py—p=0•设AX,y”,B（x2,y2）,
则yi+y2=2p,.・.yiJ^y2=p=2,
•••抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=—1.
3•答案A
解析①若焦点弦AB丄x轴，
2
则Xi=X2=p所以XiX2=4；
2
…yi=p,y2=—p,…yiy2=—p,
...yiy2=—4
XiX2
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y=k（x—》,
2则XiX2=J
4
所以yiy2=—P?
故X■丁=—4.
XiX2
4答案A
解析由图形可知，ABCF与AACF有公共的顶点F，且A,B,C三点共线，易知ABCF与△ACF的面积之比就等于豁.由抛物线方程知焦点F（i,0），作准线I,则I的方程为x=—I.
•••点A,B在抛物线上，过A,B分别作AK,BH与准线垂直，垂足分别为点K,H，且
与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义，得|BM|=|BF|—i,|AN|=|AF|—i.在ACAN中，BM//AN,
.|BC|_|BM|_|BF|—i
•|AC|=|AN|_|AF|—i.
22
2•已知抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线X—y3=1相交于入B两点，若AABF
33
为等边三角形，则p=.
3•如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线I于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3，则此抛物线的方程为•
4•已知一条过点P（2,1）的直线与抛物线y2=2x交于A,B两
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