算法设计与分析习题.docx
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算法设计与分析习题
《算法设计与分析》习题
第一章算法引论
1、算法的定义？
答：
算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
通俗讲，算法：
就是解决问题的方法或过程。
2、算法的特征？
答：
1）算法有零个或多个输入；２）算法有一个或多个输出；3）确定性；４）有穷性
3、算法的描述方法有几种？
答：
自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言
4、衡量算法的优劣从哪几个方面？
答：
（1）算法实现所耗费的时间（时间复杂度）；
（2）算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）；
（3）算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。
5、时间复杂度、空间复杂度定义？
答：
指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。
6、时间复杂度计算：
{i=1；
while（i<=n）
i=i*2；}
答：
语句①执行次数1次，
语句②③执行次数f（n）,2^f（n）<=n,则f（n）<=log2n;
算法执行时间：
T（n）=2log2n+1
时间复杂度：
记为O（log2n）；
7.递归算法的特点？
答：
①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）
②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）
8、算法设计中常用的算法设计策略？
答：
①蛮力法；②倒推法；③循环与递归；④分治法；
⑤动态规划法；⑥贪心法；⑦回溯法；⑧分治限界法
9、设计算法：
递归法：
汉诺塔问题？
兔子序列（上楼梯问题）？
整数划分问题？
蛮力法：
百鸡百钱问题？
倒推法：
穿越沙漠问题？
答：
算法如下：
（1）递归法
●汉诺塔问题
voidhanoi（intn,inta,intb,intc）
{if（n>0）
{
hanoi（n-1,a,c,b）;
move（a,b）;
hanoi（n-1,c,b,a）;
}}
●
兔子序列（fibonaci数列）
递归实现：
IntF（intn）
{
if（n<=2）return1;
else
returnF（n-1）+F（n-2）;
}
●
上楼梯问题
IntF（intn）
{
if（n=1）return1
if（n=2）return2;
else
returnF（n-1）+F（n-2）;
}
●整数划分问题
问题描述：
将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+…
将最大加数不大于m的划分个数，记作q（n,m）。
正整数n的划分数p（n）=q（n,n）。
可以建立q（n,m）的如下递归关系：
递归算法：
Intq（intn,intm）{
if（n<1||m<1）return0;
If（（n=1）||（m=1））return1;
If（nIf（n=m）returnq（n,m-1）+1;
else
returnq（n,m-1）+q（n-m,m）;
}
（2）蛮力法：
百鸡百钱问题
算法设计1：
设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。
约束条件：
x+y+z=100且5*x+3*y+z/3=100
main（）
{intx,y,z;
for（x=1;x<=20;x=x+1）
for（y=1;y<=34;y=y+1）
for（z=1;z<=100;z=z+1）
if（100=x+y+zand100=5*x+3*y+z/3）
{ print（thecocknumberis",x）；
print（thehennumberis",y）；
print（thechicknumberis"z）;}
}
算法分析：
以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。
算法的效率显然太低
算法设计2：
在公鸡（x）、母鸡（y）的数量确定后，小鸡 的数量 z就固定为100-x-y，无需再进行枚举了。
此时约束条件只有一个：
5*x+3*y+z/3=100
main（）
{ intx,y,z;
for（x=1;x<=20;x=x+1）
for（y=1;y<=33;y=y+1）
{ z=100-x-y;
if（zmod3=0and
5*x+3*y+z/3=100）
{print（thecocknumberis",x）；
print（thehennumberis",y）；
print（thechicknumberis"z）;}
}
}
算法分析：
以上算法只需要枚举尝试20*33=660次。
实现时约束条件又限定Z能被3整除时，才会判断“5*x+3*y+z/3=100”。
这样省去了z不整除3时的算术计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。
（3）倒推法：
穿越沙漠问题
desert（）
{intdis，k，oil,k;//dis表示距终点的距离，k表示贮油点从后到前的序号
dis=500;k=1;oil=500; //初始化
while（dis<1000）
{
print（“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil）//1000-dis则表示距起点的距离，
k=k+1;//k表示储油点从后到前的序号
dis=dis+500/（2*k-1）;
oil=500*k;
}
print（“storepoint”,k,”distance”,dis,”oilquantity”,oil）；
}
第二章分治算法
1、分治算法基本思想是什么？
适合用分治算法解决的问题，一般具有几个特征？
分治算法基本步骤是什么？
答：
1）基本思想:
将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
2）特征：
Ø该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;
Ø该问题可以分解为若干个规模较小的相同子问题，即该问题具有最优子结构性质；
Ø该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
Ø4）利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;
3）基本步骤：
分解、求小问题解、合并
2、改写二分查找算法：
设a[1…n]是一个已经排好序的数组，改写二分查找算法:
✓当搜索元素x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i，和大于x的最小元素位置j；（即返回x的左、右2个元素）
✓当搜索元素x在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。
并计算其时间复杂度？
答：
３、设计一个合并排序的算法？
（分治法解） 并计算其时间复杂度？
（要求写出递推公式，及其求解过程）
答：
voidMergeSort（intA[]，intlow，inthigh）
{intmiddle;
if（low{
middle=（low+high）/2;//取中点
MergeSort（A,low,middle）;
MergeSort（A,middle+1,high）;
Merge（A,low,middle,high）; //合并算法
}
}
voidMerge（intA[]，intlow，intmiddle，inthigh）//合并过程描述：
{
inti,j,k;int*B=newint[high-low+1];
i=low;j=middle+1;k=low;
while（i<=middle&&j<=high）{ //两个子序列非空
if（A[i]<=A[j]） B[k++]=A[i++];
else B[k++]=A[j++];
}
while（i<=middle） B[k++]=A[i++]; //子序列A[low，middle]非空，将A复制到B
while（j<=high） B[k++]=A[j++];/子序列A[middle+1，high]非空，将A复制到B
for（i=low;i<=high;i++） A[i++]=B[i++]; //将合并后的序列复制回A
}
•合并排序算法运行时间T（n）的递归形式为：
◆分析该算法时间复杂度：
令T（n）为元素个数为n时所需比较次数（时间）：
当n=１时， 时间复杂度记为O
（1）。
当n>１时，T（n）=2T（n/2）+O（n）
=2（2T（n/22）+O（n/2））+O（n）
=22T（n/22）+2O（n）
=23T（n/23）+3O（n）
=……
=2xT（n/2x）+x*O（n）
分解到最后只有2个元素可以求解，n/2x＝1，x=logn;
故T（n）=n*T
（1）+n*logn，故时间复杂度记为：
O（n*logn）
４、金块问题（求最大最小元问题）
老板有一袋金块（共n块），最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。
假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。
要求：
１）设计一算法求解该问题？
（分治法解）
２）计算其时间复杂度？
（要求写出递推公式，及其求解过程）
答：
递归求取最大和最小元素
maxmin（inti,intj,float&fmax,float&fmin）
{intmid;floatlmax,lmin,rmax,rmin;
if（i=j）{fmax=a[i];fmin=a[i];}//只有1个元素
elseif（i=j-1）//只有2个元素
if（a[i]else{fmax=a[i];fmin=a[j];}
else//多于2个元素
{mid=（i+j）/2;
maxmin（i，mid，lmax，lmin）;//递归调用算法求最大最小
maxmin（mid+1，j，rmax，rmin）;//递归调用算法求最大最小
if（lmax>rmax）fmax=lmax;//合并取大
elsefmax=rmax;
if（lmin>rmin）fmin=rmin;//合并取小
elsefmin=lmin;
}
◆分析该算法时间复杂度：
令T（n）为元素个数为n时所需比较次数（时间）：
当n=2时，查找查找最大最小元只需要1次比较，T
（2）=1；时间复杂度记为O
（1）。
当n>2时，T（n）=2T（n/2）+2T
（2）
=4T（n/4）+4T
（2）+2T
（2）
=8T（n/8）+8＋4＋2
=……
=2xT（n/2x）+2x+2x-1+…+8+4+2
分解到最后只有2个元素可以求解，n/2x＝2，
T（n）=2x*1+2x+2x-1…+22+21
=2x*1+（2-2x*2）/（1-2）
=2x+2x+1-2
=3n/2-2
故时间复杂度记为：
O（n）
５、用分治思想设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算？
并计算其时间复杂度？
（要求写出递推公式，及其求解过程）
答：
intmult（intx,inty,intn）//x,y为两个n位整数
{s=sign（x）*sign（y）;//s为x*y的符号
x=abs（x）;y=abs（y）;intmul;
if（n=1）{mul=s*x*y;returnmul;}
else//计算XY=ac2n+（（a-b）（d-c）+ac+bd）2n/2+bd
{inta=x左边n/2位；//移位操作，把X分为2块
intb=x右边n/2位；
intc=y左边n/2位；//移位操作，把Y分为2块
intd=y右边n/2位；
intm1=mult（a,c,n/2）;//a,c还不够小继续分为2块,直到最后1×1位
intm2=mult（a-b,d-c,n/2）;
intm3=mult（b,d,n/2）;
mul=s*（m1*2n+（m1+m2+m3）*2n/2+m3）;
returnmul;
}}
６、设计一棋盘覆盖问题算法（分治法）？
并计算其时间复杂度？
（要求写出递推公式，及其求解过程）
在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
（该算法中可能用到的变量：
tr：
棋盘中左上角方格所在行； tc：
棋盘中左上角方格所在列。
dr：
残缺方块所在行； dl：
残缺方块所在列。
size:
棋盘的行数或列数； 用二维数组board[][]，模拟棋盘。
）
答：
voidchessBoard（inttr,inttc,intdr,intdc,intsize）
{
if（size==1）return;//size:
棋盘行数
intt=tile++,//L型骨牌号
s=size/2;//分割棋盘
//覆盖左上角子棋盘
if（drchessBoard（tr,tc,dr,dc,s）;
else{//此棋盘中无特殊方格
board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//用t号L型骨牌覆盖右下角
chessBoard（tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s）;}//覆盖其余方格
//覆盖右上角子棋盘
if（dr=tc+s）//特殊方格在此棋盘中
chessBoard（tr,tc+s,dr,dc,s）;
else{//此棋盘中无特殊方格
board[tr+s-1][tc+s]=t;//用t号L型骨牌覆盖左下角
chessBoard（tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s）;}//覆盖其余方格
//覆盖左下角子棋盘
if（dr>=tr+s&&dcchessBoard（tr+s,tc,dr,dc,s）;
else{
board[tr+s][tc+s-1]=t;//用t号L型骨牌覆盖右上角
chessBoard（tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s）;}//覆盖其余方格
//覆盖右下角子棋盘
if（dr>=tr+s&&dc>=tc+s）//特殊方格在此棋盘中
chessBoard（tr+s,tc+s,dr,dc,s）;
else{
board[tr+s][tc+s]=t;//用t号L型骨牌覆盖左上角
chessBoard（tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s）;}//覆盖其余方格
}
第三章动态规划算法
１、动态规划算法基本思想？
动态规划算法与分治算法异同点？
适合用动态规划算法求解问题的基本要素？
动态规划算法的基本步骤？
答：
1）基本思想：
将待求解问题分解成若干个子问题；由于子问题有重叠，动态规划算法能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算.
2）相同：
都是将原问题分解成小问题，通过小问题求解得到原问题解。
不同：
✓用分治法求解时,分解的子问题是互相独立的,且与原问题类型一致。
分治算法实现一般用递归；
✓动态规划方法经分解得到的子问题往往不是互相独立的；动态规划算法实现一般用循环;
3）基本要素：
具有最优子结构；子问题具有重叠性
4）步骤：
1）分析最优解的性质，并刻划其结构特征。
2）递推地定义最优值。
3）以自底向上的方式计算出最优值.
4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解.
２、序列X={X1，X2,…Xm}和Y={Y1,Y2…Yn}的最长公共子序列为Z={Z1,Z2,…Zk}
用动态规划的方法求序列X和Y的最长公共子序列长度？
（要求按照动态规划写出动态规划求解问题的步骤分析①最优子结构②写出递归方程③算法描述）
注：
C[ｍ][ｎ]记录序列X与Y的最长公共子序列的长度
答：
①最优子结构
设序列X={x1，x2，…xm}与
序列Y={y1，y2，…yn}的一个
最长公共子序列Z={z1，z2，…zk}
Ⅰ、若xm=yn,则zk=xm=yn,且{z1，z2，…zk-1}是序列Xm-1与
序列Yn-1的最长公共自序列；
Ⅱ、若xm≠yn,且xm≠zk,则Z是Xm-1与Y的最长公共子序列；
Ⅲ、若xm≠yn,且yn≠zk,则Z是X与Yn-1的最长公共子序列;
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀（去掉一个元素）的最长公共子序列。
即，原问题最优解，包含子问题最优解；
因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
②写出递归方程
③循环实现，计算最优值C[i][j]，算法描述
IntlcsLength（x[],y[],b[][]）
{intm=x.length-1;
n=y.length-1;
for（inti=1;ifor（inti=1;ifor（inti=1;i<=m;i++）//x序列长为ｍ
for（intj=1;j<=n;j++） //ｙ序列长为n
if（x[i]==y[j]）
{C[i][j]=C[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}
elseif（c[i-1][j]>=c[i][j-1]）
{C[i][j]=C[i-1][j];b[i][j]=2;}
else
{C[i][j]=C[i][j-1];b[i][j]=3;}
returnC[m][n];
}
◆时间复杂度分析：
该算法时间复杂度：
O（m*n）
④构造最长公共子序列，算法描述：
voidLCS（charX[i],Y[j],intb[][]）
{
if（i==0||j==0）return;
if（b[i][j]==1）
{LCS（X[i-1],Y[j-1],b）;
system.out.print（x[i]）;}
elseif（b[i][j]==2）
LCS（X[i-1]，Y[j]，b）;
elseif（b[i][j]==3）
LCS（X[i]，Y[j-1],b）;
}
◆时间复杂度分析：
此算法每一次递归调用使得i或j减１，因此该算法时间复杂度为O（m+n）
３、长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2…n.
游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。
游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i，j），其中1<=i试设计一个算法，计算出游艇从出租站1到出租站n所需最少租金？
（见习题集第三章算法设计与计算题T2）
4、掌握动态规划方法求解０－１背包问题？
答：
①分析问题的最优解结构
设（y1,y2,…yn）所给0－1背包容量为M的解；
则，（y2,…yn）相应子问题背包容量为M－w1的解；
（即原问题最优解，包含了子问题最优解）
②递归定义最优值
③计算最优值m（i，j）
voidknapsack（intv[],intw[],intM,intm[][]）
{intn=v.length;
if（Mm[n][M]=0;
elseif（M>=w[n]）
{m[n][M]=v[n];M=M-w[n];}
for（inti=n-1;i>=1;i--）//i{if（Mm[i][M]=m[i+1][M];
elseif（M>=w[n]）
{m[i][M]=math.max（m[i+1][M],m[i+1][M-w[i]+v[i]）;
M=M-w[i];}
}
}
◆该算法时间复杂度：
O（c*n） c常数
④构造最优解
voidtrackack（intm[][],intw[],intM,intx[]）
{//x[i]标记i是否放入背包
intn=w.length;
for（inti=1;i{if（m[i][M]=m[i+1][M]）x[i]=0;
else
{x[i]=1;M=M-w[i];}
}
x[n]=（m[n][M]>0）?
1:
0;//判断第n个物体是否放入背包
}
◆该算法时间复杂度：
O（n）
第4章贪心算法
1、贪心算法基本思想？
答：
从问题的初始解出发逐步逼近给定的目标，每一步都做出当前看来是最优的选择（贪心选择），最终得到整个问题的最优解
2、贪心算法的基本要素？
答：
贪心选择性；最优子结构
3、贪心算法与动态规划算法的异同?
答：
1）相同点：
对于要求解的问题都具有最优子结构；
2）不同点：
算法的基本思想不同；
求解问题的类型不同；
例：
普通背包问题 贪心算法求解
0-1背包问题 动态规划算法求解
4、设计普通背包装载问题的贪心算法?
并分析其时间复杂度
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