《复变函数》总结Word文件下载.docx
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（留意那个加负那个不加）c.指数函数:
复数转换成三角的定义。
d.只需记住：
Lnz=ln[z]+i（argz+2k）
e.幂函数：
底数为e时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为e时，w=za=eaLnz（幂指数为Ln而非ln）
ieeii,,e能够区分：
i的计算。
f.三角函数和双曲函数：
eizeizeizeizcos只需记住：
z,sinz.
22i
其他可自己试着去推导一下。
eyeycosiychy2（2.15）及eyeysiniyishy2i
反三角中前三个最好自己记住，特殊ArctgziLn1iz
21iz由于下一章求积分会用到5.复变函数的积分
（arctanz）,1z21（如第三章的习题9）a.注：
只有当函数解析即满意柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。
（勿乱用）例如:
zdz与路径无关。
而zdz与路径有关。
ccb.柯西-古萨根本定理：
当函数f（z）在以简洁闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时：
重要公式
f（z）dz0C2πi,n0,dzn1
（zz0）0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
1f（z）
dz.（3.17）2πizzf（z0）0C0!
f（f（n）（z）nz）dz（3.20）
d.调和函数：
22n12πi（zz）0Cn1,2,。
xy
一般与柯西-黎曼公式一起用:
熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。
6.级数
（x,y）调和:
2a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。
b.阿贝尔定理:
推断收敛和发散区间。
c.幂级数的收敛半径：
利用比值法和根值法。
（方法同于高数级数）
d.泰勒级数：
n0
f（z）cn（zz0）n1（n）成立,其中cnf（z0）,n0,1,2,.
n!
五个重要初等函数绽开式：
2znez1zz.（4.8）2!
n!
2n1z3z5znsinzz
（1）3!
5!
（2n1）!
（4.10）
z2z4z2nn（cosz12!
4!
1）（2n）!
（4.11）
其余可由式：
11zz2
（1）nzn,|z|1.1z直接推导。
（留意各绽开式的[z]取值范围）
e.洛朗绽开式:
与泰勒绽开式的主要区分在于其包含Z的负次数方幂。
泰勒绽开式是洛朗绽开式的特别形式。
（即当洛朗绽开式中奇点为可去奇点时绽开式为泰勒形式）f.零点，奇点，极点
零点:
即使得函数f（z）=0的点。
奇点：
即使得函数f（z）无意义的点。
（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：
可去奇点，本性奇点，一般奇点。
可去奇点：
即洛朗绽开式中不存在Z的负次数方幂。
本性奇点：
即绽开式中存在Z的负无穷次方幂。
一般奇点：
即绽开式中存在Z的有限次负次数方幂。
极点：
即为奇点中除去可去奇点后的全部奇点。
极点肯定是奇点，但奇点不肯定是奇点。
（奇点简单推断，极点可借助P83定理4.19推断同时可以学会推断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）P84定理4.22：
极点和零点的关系。
7.留数
a.留数定理：
Res[f（z）,z0]12if（z）dzC（5.3）利用课本P93-94三种情形及第五章中推断极点的阶数求留数（没什么特别方法，盼望大家通过多练来把握）
f（z）,b.利用留数定理求积分：
z）dz2πiRes[zk].（5.7）f（Ck1n有些状况下利用留数和定理：
Res[f（z）,]Res[f（z）,zk]k1n12πiCf（z）dz12πiCf（z）dz0.更便于求解
11特别转换：
Res[f（z）,]Resfzz2,0c.用留数计算实积分：
2π
0R（cos,sin）d形如：
的积分，一般令z=ei
使用条件：
R（x,y）变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。
形如R（x）dx的积分
函数R（x）是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R（x）在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.
形如：
eixf（x）dx的积分
使用条件:
其中f（z）在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外到处解析，并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。
（详细理解大家可参考课本中的例题）教师所给划题目：
P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相关例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）P113-5、相关例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相关例子
以上根本上是理论的东西。
有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。
例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。
里面全部附有答案（假如找不到的可找我要）。
复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。
扩展阅读：
《复变函数》总结
f（z）dz0C2πi,n0,dzn10,n0.（zz）|z0z|r0c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
1f（z）
dz.（3.17）2πizzf（z0）0C0f（n）（z）n!
f（z）dz（3.20）d.调和函数：
2nez1zzz.8）.（42!
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