三角形 知识归纳+真题解析.docx
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三角形知识归纳+真题解析
三角形知识归纳+真题解析
【知识归纳】
一、三角形
1、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做。
(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做(简称)。
2.三角形的中位线
三角形的中位线平行于,并且等于.
3.三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系:
任意两边之和第三边;任意两边之差第三边.
4、三角形的内角和定理及推论
1.三角形内角和:
三角形三内角之和等于.
2.三角形外角的性质:
(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角;
(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和.
1.三角形的分类:
(1)按边分:
三角形分为和等腰三角形;等腰三角形又分为及.
(2)按角分:
三角形直角三角形和斜三角形;斜三角形又分为:
和.
答案部分
【知识归纳答案】
一、三角形
1、三角形中的主要线段
(1)三角形的角平分线。
(2)三角形的中线。
(3)三角形的高线(简称三角形的高)。
2.三角形的中位线:
三角形的第三边,并且等于第三边长的一半.
3.三角形的三边关系定理及推论:
任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
4、三角形的内角和定理及推论
1.180°.
2.三角形外角的性质:
(1)大于;
(2)等于.
1.三角形的分类:
(1)按边分:
三角形分为不等边三角形和等腰三角形;等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.
(2)按角分:
三角形直角三角形和斜三角形;斜三角形又分为:
锐角三角形和钝角三角形.
真题解析
一.选择题(共9小题)
1.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A.中线B.角平分线C.高D.中位线
【考点】K3:
三角形的面积;K2:
三角形的角平分线、中线和高.
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答.
【解答】解:
∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分.
故选A.
2.如图,△ABC中,D,E两点分别在AB,BC上,若AD:
DB=CE:
EB=2:
3,则△DBE与△ADC的面积比为( )
A.3:
5B.4:
5C.9:
10D.15:
16
【考点】K3:
三角形的面积.
【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC:
S△ADC=3:
2,S△BDE:
S△DCE=3:
2,即可得出答案.
【解答】解:
∵AD:
DB=CE:
EB=2:
3,
∴S△BDC:
S△ADC=3:
2,S△BDE:
S△DCE=3:
2,
∴设S△BDC=3x,则S△ADC=2x,S△BED=1.8x,S△DCE=1.2x,
故△DBE与△ADC的面积比为:
1.8x:
2x=9:
10.
故选:
C.
Zxxk
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )
A.1B.
C.
D.2
【考点】K5:
三角形的重心;KW:
等腰直角三角形.
【分析】连接CP并延长,交AB于D,根据重心的性质得到CD是△ABC的中线,PD=
CD,根据直角三角形的性质求出CD,计算即可.
【解答】解:
连接CP并延长,交AB于D,
∵P是Rt△ABC的重心,
∴CD是△ABC的中线,PD=
CD,
∵∠C=90°,
∴CD=
AB=3,
∵AC=BC,CD是△ABC的中线,
∴CD⊥AB,
∴PD=1,即点P到AB所在直线的距离等于1,
故选:
A.
4.三角形的重心是( )
A.三角形三条边上中线的交点
B.三角形三条边上高线的交点
C.三角形三条边垂直平分线的交点
D.三角形三条内角平行线的交点
【考点】K5:
三角形的重心.
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答.
【解答】解:
三角形的重心是三条中线的交点,
故选:
A.
5.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】K5:
三角形的重心;S9:
相似三角形的判定与性质.
【分析】根据三角形的重心性质可得OC=
CE,根据直角三角形的性质可得CE=AE,根据等边三角形的判定和性质得到CM=
CE,进一步得到OM=
CE,即OM=
AE,根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=
AE,MF=
EF,依此得到MF=
AE,从而得到
的值.
【解答】解:
∵点O是△ABC的重心,
∴OC=
CE,
∵△ABC是直角三角形,
∴CE=BE=AE,
∵∠B=30°,
∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°,
∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形,
∴CM=
CE,
∴OM=
CE﹣
CE=
CE,即OM=
AE,
∵BE=AE,
∴EF=
AE,
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=60°,
∴∠FEM=30°,
∴MF=
EF,
∴MF=
AE,
∴
=
=
.
故选:
D.
6.长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是( )
A.4B.5C.6D.9
【考点】K6:
三角形三边关系.
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7,根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;即可求第三边长的范围,再结合选项选择符合条件的.
【解答】解:
由三角形三边关系定理得7﹣2<x<7+2,即5<x<9.
因此,本题的第三边应满足5<x<9,把各项代入不等式符合的即为答案.
4,5,9都不符合不等式5<x<9,只有6符合不等式,
故选:
C.
7.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为( )
A.2a+2b﹣2cB.2a+2bC.2cD.0
【考点】K6:
三角形三边关系.
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号,再去绝对值符号,合并同类项即可.
【解答】解:
∵a、b、c为△ABC的三条边长,
∴a+b﹣c>0,c﹣a﹣b<0,
∴原式=a+b﹣c+(c﹣a﹣b)
=0.
故选D.
8.若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是( )
A.6B.7C.11D.12
【考点】K6:
三角形三边关系.
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围,进而求出三角形的周长取值范围,据此求出答案.
【解答】解:
设第三边的长为x,
∵三角形两边的长分别是2和4,
∴4﹣2<x<2+4,即2<x<6.
则三角形的周长:
8<C<12,
C选项11符合题意,
故选C.
9.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为( )
A.54°B.62°C.64°D.74°
【考点】K7:
三角形内角和定理;JA:
平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°,根据三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠C=∠AED=54°,
∵∠A=62°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°,
故选C.
二.填空题(共5小题)
10.在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O.若OD=2cm,OE=4cm,则线段AO的长度为 4
cm.
【考点】K5:
三角形的重心;KQ:
勾股定理.
【分析】连接AO并延长,交BC于H,根据勾股定理求出DE,根据三角形中位线定理求出BC,根据直角三角形的性质求出OH,根据重心的性质解答.
【解答】解:
连接AO并延长,交BC于H,
由勾股定理得,DE=
=2
,
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线,
∴BC=2DE=4
,O是△ABC的重心,
∴AH是中线,又BD⊥CE,
∴OH=
BC=2
,
∵O是△ABC的重心,
∴AO=2OH=4
,
故答案为:
4
.
11.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠A的度数为 40° .
【考点】K7:
三角形内角和定理.
【分析】直接用一个未知数表示出∠A,∠B,∠C的度数,再利用三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:
∵∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,
∴设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2x+3x+4x=180°,
解得:
x=20°,
∴∠A的度数为:
40°.
故答案为:
40°.
12.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE(只需添加一个即可) ,使得△ABC≌△DEF.
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【考点】KB:
全等三角形的判定.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF,易证∠A=∠EDF,∠ABC=∠E,故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题.
【解答】解:
∵BC∥EF,
∴∠ABC=∠E,
∵AC∥DF,
∴∠A=∠EDF,
∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF,
同理,BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF.
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE(只需添加一个即可).
13.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中:
①∠ABC=∠ADC;
②AC与BD相互平分;
③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;
④四边形ABCD的面积S=
AC•BD.
正确的是 ①④ (填写所有正确结论的序号)
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【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】①证明△ABC≌△ADC,可作判断;
②③由于AB与BC不一定相等,则可知此两个选项不一定正确;
④根据面积和求四边形的面积即可.
【解答】解:
①在△ABC和△ADC中,
∵
,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC,
故①结论正确;
②∵△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,
∴OB=OD,AC⊥BD,
而AB与BC不一定相等,所以AO与OC不一定相等,
故②结论不正确;
③由②可知:
AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD,
而AB与BC不一定相等,所以BD不一定平分四边形ABCD的对角;
故③结论不正确;
④∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=
BD•AO+
BD•CO=
BD•(AO+CO)=
AC•BD.
故④结论正确;
所以正确的有:
①④;
故答案为:
①④.
14.如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是 x=0或x=4
﹣4或4<x<4
.
【考点】KI:
等腰三角形的判定.
【分析】分三种情况讨论:
先确定特殊位置时成立的x值,
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和半径为4的⊙M,发现M在点D的位置时,满足条件;
③如图3,根据等腰三角形三种情况的画法:
分别以M、N为圆心,以MN为半径画弧,与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形,通过画图发现,无论x取何值,以MN为底边的等腰三角形都存在一个,所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.
【解答】解:
分三种情况:
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,
∴MC⊥OB,
∵∠AOB=45°,
∴△MCO是等腰直角三角形,
∴MC=OC=4,
∴OM=4
,
当M与D重合时,即x=OM﹣DM=4
﹣4时,同理可知:
点P恰好有三个;
③如图3,取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,
则⊙M与OB除了O外只有一个交点,此时x=4,即以∠PMN为顶角,MN为腰,符合条件的点P有一个,以N圆心,以MN为半径画圆,与直线OB相离,说明此时以∠PNM为顶角,以MN为腰,符合条件的点P不存在,还有一个是以NM为底边的符合条件的点P;
点M沿OA运动,到M1时,发现⊙M1与直线OB有一个交点;
∴当4<x<4
时,圆M在移动过程中,则会与OB除了O外有两个交点,满足点P恰好有三个;
综上所述,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是:
x=0或x=4
﹣4或4
.
故答案为:
x=0或x=4
﹣4或4
.
三.解答题(共9小题)
15.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:
△ADF≌△BCE.
【考点】KB:
全等三角形的判定.
【分析】根据全等三角形的判定即可求证:
△ADF≌△BCE
【解答】解:
∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE,
在△ADF与△BCE中,
∴△ADF≌△BCE(SAS)
16.如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】可通过证△ABF≌△DCE,来得出∠A=∠D的结论.
【解答】证明:
∵BE=FC,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE;
又∵AB=DC,∠B=∠C,
∴△ABF≌△DCE;(SAS)
∴∠A=∠D.
17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,求证:
AC∥DF.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF,然后利用边角边证明△ABC≌△DEF,最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题.
【解答】证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DEF,
又∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即:
BC=EF,
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴AC∥DF.
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18.已知:
△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1,求证:
AE=BD;
(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KW:
等腰直角三角形.
【分析】
(1)根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD;
(2)根据条件即可判断图中的全等直角三角形;
【解答】解:
(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,
(2)∵AC=DC,
∴AC=CD=EC=CB,
△ACB≌△DCE(SAS);
由
(1)可知:
∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°,
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
∴△EMC≌△BCN(ASA),
∴CM=CN,
∴DM=AN,
△AON≌△DOM(AAS),
∵DE=AB,AO=DO,
∴△AOB≌△DOE(HL)
19.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.
(1)如图1,若AB=4
,BE=5,求AE的长;
(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF,当AF=DF时,求证:
DC=BC.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KQ:
勾股定理.
【分析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=
AB=4,根据勾股定理得到CE=
=3,于是得到结论;
(2)根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°,由于∠AFB=∠ACB=90°,推出A,F,C,B四点共圆,根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°,求得∠DFC=∠AFC=135°,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴AC=BC=
AB=4,
∵BE=5,
∴CE=
=3,
∴AE=4﹣3=1;
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=45°,
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=∠ACB=90°,
∴A,F,C,B四点共圆,
∴∠CFB=∠CAB=45°,
∴∠DFC=∠AFC=135°,
在△ACF与△DCF中,
,
∴△ACF≌△DCF,
∴CD=AC,
∵AC=BC,
∴AC=BC.
20.在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KW:
等腰直角三角形.
【分析】
(1)由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,由直角三角形的性质即可得出结论;
(2)连接AQ,作ME⊥QB,由AAS证明△APC≌△QME,得出PC=ME,△MEB是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:
(1)∠AMQ=45°+α;理由如下:
∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,
∵QH⊥AP,
∴∠AHM=90°,
∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α;
(2)PQ=
MB;理由如下:
连接AQ,作ME⊥QB,如图所示:
∵AC⊥QP,CQ=CP,
∴∠QAC=∠PAC=α,
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ,
∴AP=AQ=QM,
在△APC和△QME中,
,
∴△APC≌△QME(AAS),
∴PC=ME,
∴△MEB是等腰直角三角形,
∴
PQ=
MB,
∴PQ=
MB.
21.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:
过点A、F的直线垂直平分线段BC.
【考点】KH:
等腰三角形的性质;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】
(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论;
(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论.
【解答】解:
(1)∠ABE=∠ACD;
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD;
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
由
(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC,
∵AB=AC,
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,
即直线AF垂直平分线段BC.
22.如图,直角△ABC中,∠A为直角,AB=6,AC=8.点P,Q,R分别在AB,BC,CA边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动,点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动,点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动,在运动过程中:
(1)求证:
△APR,△BPQ,△CQR的面积相等;
(2)求△PQR面积的最小值;
(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间,是否存在t,使∠PQR=90°?
若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
【考点】KY:
三角形综合题.
【分析】
(1)先利用锐角三角函数表示出QE=4t,QD=3(2﹣t),再由运动得出AP=3t,CR=4t,BP=3(2﹣t),AR=4(2﹣t),最后用三角形的面积公式即可得出结论;
(2)借助
(1)得出的结论,利用面积差得出S△PQR=18(t﹣1)2+6,即可得出结论;
(3)先判断出∠DQR=∠EQP,用此两角的正切值建立方程求解即可.
【解答】解:
(1)如图,在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,根据勾股定理得,BC=10,sin∠B=
=
=
,sin∠C=
,
过点Q作QE⊥AB于E,
在Rt△BQE中,BQ=5t,
∴sin∠B=
=
,
∴QE=4t,
过点Q作QD⊥AC于D,
在Rt△CDQ中,CQ=BC﹣BQ=10﹣5t,
∴QD=CQ•sin∠C=
(10﹣5t)=3(2﹣t),
由运动知,AP=3t,CR=4t,
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),
∴S△APR=
AP•AR=
×3t×4(2﹣t)=6t(2﹣t),
S△BPQ=
BP•QE=
×3(2﹣t)×4t=6t(2﹣t),
S△CQR=
CR•QD=
×4t×3(2﹣t)=6t(2﹣t),
∴S△APR=S△BPQ=S△CQR,
∴△APR,△BPQ,△CQR的面积相等;
(2)由
(1)知,S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t(2﹣t),
∵AB=6,AC=8,
∴S△PQR=S△ABC﹣(S△APR+S△BPQ+S△CQR)
=
×6×8﹣3×6t(2﹣t)=24﹣18(2t﹣t2)=18(t﹣1)2+6,
∵0≤t≤2,
∴当t=1时,S△PQR最小=6;
(3)存在,由
(1)知,QE=4t,QD=3(2﹣t),AP=3t,CR=4t,AR=4(2﹣t),
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),
过点Q作QD⊥AC于D,作QE⊥AB于E,∵∠A=90°,
∴四边形APQD是矩形,
∴AE=DQ=3(2﹣t),AD=QE=4t,
∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4(2﹣t)|=|4(2t﹣2)|,PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3(2﹣t)|=|3(2t﹣2)|
∵∠DQE=90°,∠PQR=90°,
∴∠DQR=∠EQP,
∴tan∠DQR=tan∠EQP,
在Rt△DQR中,tan∠DQR=
=
,
在Rt△EQP中,tan∠EQP=
=
,
∴
,
∴16t=9(2﹣t),
∴t=
.
23.如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=
,则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C,
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:
如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A