全国数学建模优秀论文北京SARS的传播研究文档格式.docx
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N（t）=NO（1+K）
它是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。
K的取值采用半模拟循环计算方法，发展趋势由K值的变化体现。
该模型的优点在于简单，易行，方便对数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。
2）实用性：
任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展（快速蔓延）期一相对稳定期一逐渐消亡期”这样的一个过程，附件一模型准确地体现出了这点，因此它具有普遍实用性。
3）模型的缺陷：
此模型把实际问题过于简单化了，有不合理的地方：
（1）模型中的K的取值只能根据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。
实际中，统计所给的数据本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。
我们根据图直观的看出，模型只能给出接近的前期发展趋势，后期拟合与实际曲线有相当误差。
（2）模型本身不具有预测性，它的K值是由数据拟合决定的。
如果背离题目本意，我们让K按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。
（图略）
（3）随着时间的推移，社会中存在各种控制的综合作用，用一个单纯笼统的K的变化已很难刻画出复杂因素的影响，因为各种因素对SARS的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一致性在后期变差，误差越来越大。
因此，至少应设为某种函数形式，引入一些参量因子进行考虑。
（4）此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么SARS和其它的传染病也就没什么本质上的区别了，缺乏对其SARS的，特征进行具体深入分析。
针对问题二：
对于附件1的模型建立优于它的模型。
根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。
再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；
最后预测北京最终的累计感染非典人数。
据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。
针对问题三
通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。
列举如下：
（1）时域因素
a．媒体宣传：
初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；
后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。
b．政府干预：
初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：
强行隔离，公共场所消毒等行为）。
c．认识程度：
当一种新的传染病出现时，初期由于人们的认识程度不足，无法采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。
（2）地域因素
a．经济水平和医学水平：
经济水平和医学水平高的地区的疫情控制情况会明显比水平低的地方好。
b．人口密度和人口流动：
人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市大。
c．气候：
SARS适合在春秋两季传播，且各城市的气候会疫情程度。
综上我们认为一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能：
a．能较好的描述疫情的大致走势。
b．能较精确的给出关键时间（初期爆发时刻；
中期稳定时刻；
高峰期；
0病例增长的时刻），以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。
c．能给出描述疫情的指标，以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。
4、模型的相关假设
1、所获得的数据由权威部门提供的全国疫情统计数据真实可信；
2、将SARS所有传播途径都视为与病源的接触
3、在疾病传播期内所考察地区的总人数视为常数N，即认为本地区流入的人数与流出的人数均相等，时间以天为单位：
4、假设每个病人单位时间有效接触人数r（所谓“有效接触”是指病人与健康这接触时，足以使健康者受到感染而成为病人）为常数：
5、根据国家卫生部门资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性：
6、根据国家卫生部资料，SARS康复者二度感染的概率为0，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。
7、将人群分为五类：
1.健康者：
（易感人群）
2．已被隔离的SARS感染患者
①疑似病人：
被隔离但没有确诊或排除的人员。
②确诊SARS感染患者
3.未被隔离的SARS感染患者。
4.治愈人群（不会传染SARS的人群）
①死亡人群
②治愈人群
5、模型的建立与求解
5.1SARS传播模型的建立
1．根据之前的定义和假设，我们知道每个未被隔离的SARS病毒感染者每天可以使
个健康易感染者，假设未被感染者的SARS感染人数为
。
因而知道每天被未隔离感染者感染的健康易感染者共有
同理，每天被已隔离的感染者感染的健康者共有
此外还知道每天新增被隔离的感染SARS患者总数为：
综合可得出，每天新增的、未被隔离病人感染的数量总数为：
+
—
（1）
在每天新增被隔离的SARS感染者中减去每天治愈的人数和死亡的人数，可以得到有效的每天感染者的数量：
（2）
每日治愈人数
=
（3）
每日死亡人数
（4）
并且，根据所占比例。
应有：
（5）
上述式
（1）~（5）构成了求解SARS模型所需的常微分方程组，即SARS模型。
5.2问题的求解。
考虑到直接拟合推导各个比率参数,存在很大的难度,我们采取了整体拟合的策略,以避免求解
、
时遇到相关数据缺乏所造成的困难。
5.2.1预测北京最终的累计非典感染人数
根据假设，每日新增的SARS病毒的感染者人数为
，其中有来自新收治病例的20%，来自疑似病例中的80%，根据已知数据有当天新隔离感染者为：
=（当天确诊人数-前一天确诊人数）×
20%+（后一天确诊人数-当天确诊人数）×
80%
以2003年4月21日作为第一天，据此计算从4.21-5.17,每日新增隔离的病毒感染者人数如表1所示：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
113.4
105.2
85.8
98.6
109.4
123
93.2
135.4
104
10
11
12
13
14
15
16
17
18
109
89
100.6
70.6
87.6
69.2
83.8
87.4
50.2
19
20
21
22
23
24
25
26
27
48.2
40.4
38.8
42.2
17.2
15．4
14.2
根据这27组数据，对表1所得计算结果进行简单的描点（如图1折线所示）其分布与指数曲线
近似（如图1曲线所示），所以对其进行整体回归拟合得到的表达式为：
通过拟合的曲线能够看到，在t=76的时候，新增隔离病毒感染者人数已近趋于0。
5.2.2预测北京SARS疫情结束的大致时间
当北京当天需要被隔离的人数降到0时，说明SARS病毒已经不再传播，疫情已经解除。
每日处在隔离中的SARS感染的总人数为
=当天已经确诊的病例-当天死亡人数-当天治愈出院人数
t
85.5
96.4
99.2
69.5
85.6
97.4
114
83.2
132.4
92
93
72
82.6
59.6
80.6
63.2
66.8
77.4
37.2
15.4
36
34
40.2
31.4
23.8
11.2
-14
-1.4
-23.8
对其进行简单的描点，其图像大致和高斯函数图像较为吻合，如图2所示
当
=0时，也就是说在7月10或7月11左右，北京地区当天隔离的SARS感染人数为0，我们预测此时北京的非典疫情结束。
6、模型评价及改进
1、评价
模型对北京地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型有一定的实用性。
但对后期预测与后来的实际情况却有一定差距，而实际上，各地区的政策及人们生活习惯各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。
所以该模型的实用性有一定局限。
经过计算，以4月20日作为严格隔离开始时间，那么在外未被隔离的病人大概为1500人，如果严格隔离往后推5天，那么开始严格隔离时的在外患者人数约为2500人，那么这样的结果时SARS的疫情大大加深，当然，如果严格隔离提前5天起，那个疫情将会减轻。
为了简化计算，我们的模型中没有考虑SARS病的潜伏期，SARS病毒的潜伏期一般为2-7天，并在潜伏期内，该病人不具有传染性，因此对北京最终SARS病毒感染者的总数没有太大影响，但它明显一定程度会影响高峰期和结束期，这是该预测模型需要改进的地方。
模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制，再加之数值解的不确定性，模型对长时间的预测有它的局限性。
因时间限制模型没能更多考虑交叉分类进行。
2、改进
若能建立以随机偏微分方程组为基础的数学模型，将大大提高计算的准确性与可靠性，使得预测更加准确，但这样做将遇到模型求解，数据准确收集和数值求解的不精确性等诸多困难。
参考文献
[1]中华人民共和国卫生部网站，http：
／／www．m0h．gov．cn／
[2]XX百科：
http：
／／／
[3]王树禾著．常微分方程模型与混沌[M]．
[4]朱道元编著．数学建模精品案例[M]．东南大学出版社，1999年8月第1版
[5]王兵团编著.数学建模基础。
[6]吴建国编著.数学建模案例精编。
附录
附件1：
北京市疫情的数据
（据：
）
已确诊病例累计
现有疑似病例
死亡累计
治愈出院累计
当天退出数当天病人数
当天病例
退出率
治愈率
339
402
33
431
0.039443
0.076566
482
610
43
520
0.011538
0.082692
588
666
28
46
619
0.025848
0.074313
693
782
35
55
684
0.019006
0.080409
774
863
39
64
0.015504
0.082687
877
954
42
73
873
0.010309
0.08362
988
1093
48
76
990
0.010101
0.076768
1114
1255
56
78
1065
0.002817
0.073239
1199
1275
59
1210
0.009917
0.064463
1347
1358
66
83
1291
0.012393
0.064291
1440
1408
75
90
1388
0.012248
0.064841
1553
1415
82
100
1454
0.01238
0.068776
1636
1468
91
1541
0.007138
0.070733
1741
1493
96
115
1592
0.004397
0.072236
1803
1537
118
1679
0.003574
0.07028
1897
1510
103
121
1736
0.009793
0.0697
1960
1523
107
134
1808
0.005531
0.074115
2049
1514
110
141
1885
0.006897
0.074801
2136
1486
112
152
1913
0.009409
0.079456
2177
1425
168
1945
0.004627
0.086375
2227
1397
116
175
1974
0.007599
0.088652
2265
1411
120
186
31
1998
0.015516
0.093093
2304
1378
129
208
41
2010
0.020398
0.103483
2347
1338
244
1992
0.006526
0.12249
2370
1308
139
252
1997
0.003005
0.126189
2388
1317
140
257
2008
0.008466
0.127988
2405
1265
273
38
2006
0.018943
0.136092
2420
1250
145
307
1982
0.013623
0.154894
2434
147
332
1958
0.010215
0.169561
2437
1249
150
349
50
0.025707
0.179434
2444
1225
154
395
54
1895
0.028496
0.208443
1221
156
447
1853
0.044792
0.24123
2456
1205
158
528
1779
0.031478
0.296796
2465
1179
160
582
88
1748
0.050343
0.332952
2490
1134
163
667
1669
0.024566
0.399641
2499
1105
167
704
44
1633
0.026944
0.431108
2504
1069
747
85
1597
0.053225
0.467752
2512
1005
172
828
0.027081
0.546896
2514
941
866
63
1476
0.042683
0.586721
2517
803
176
928
79
1416
0.055791
0.655367
2520
760
177
1006
0.063528
0.751868
2521
181
1087
975
1253
0.778132
0.867518
739
190
2053
67
278
0.241007
7.384892
734
2120
211
0.165877
10.04739
724
191
2154
0.096591
12.23864
718
2171
159
0.113208
13.65409
716
2189
0.297872
15.52482
713
2231
99
0.262626
22.53535
550
2257
0.273973
30.91781
451
2277
-1163
-21.537
42.16667
2522
351
1124
1217
0.027116
0.923583
71
1157
32
1184
0.027027
0.977196
1189
74
1152
0.064236
1.032118
1263
58
1078
0.053803
1.171614
668
1321
84
1020
0.082353
1.295098
183
1403
936
0.150641
1.498932
155
184
1543
795
0.138365
1.940881
1653
685
0.140146
2.413139
1747
198
589
0.336163
2.966044
187
1944
52
391
0.132992
4.971867
189
1994
0.061947
5.882006
2015
-575
319
-1.80251
6.316614
2523
1446
378
894
0.422819
1.61745
1821
516
0.108527
3.52907
1876
-0.28988
3.118497
附件3：
北京市接待海外旅游人数（单位：
万人）
年
1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
1999
2000
2001
2002
2003
9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6
9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9
10.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5
11.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5
11.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7
13.729.723.128.929.027.426.032.231.432.
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