滤波器的分析、设计及测量.doc
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07-47
射频电路训练实习
滤波器的设计与制作
一、了解低通、高通、带通、带阻滤波器的工作原理。
二、了解低通、高通、带通、带阻滤波器的电路结构。
三、实际设计制作低通、高通、带通、带阻滤波器。
顾名思义滤波器的用途就是用来过滤信号，选择部分信号予以通过；至于信号的通过与否取决于信号的频率，滤波器可分为低通滤波器（Low-passFilter,LPF）、高通滤波器（High-passFilter,HPF）、带通滤波器（BandpassFilter,BPF），与带阻滤波器（Band-rejectFilter,BRF）等四种，本章将介绍滤波器的主要参数和原理，并分别设计出低通、高通与带通滤波器。
图7-1为低通、高通、带通和带阻滤波器的理想幅频响应曲线，但由于选用的元件及特性各不相同，故设计的实际滤波电路的特性与理想值会有相当大的差距，而两者的差异必须用适当的特性参数来修正，并作为设计滤波电路的依据。
图7-2所示为一个带通滤波器的实际幅频响应，用以说明相关的特性参数。
（a）低通滤波器 （b）高通滤波器
（c）带通滤波器 （d）带阻滤波器
图7-1理想滤波器的频率响应
图7-2带通滤波振幅频率响应
一、滤波器的重要参数
1.介入损耗（InsertionLoss）：
设在信号源与负载端的间不加滤波电路，应当可在负载端取得一定的输出值。
但是将滤波电路加入后，在负载端的输出信号值，即使是在通带区内，也会比原本的输出低，二者的差异即为介入损耗。
因为电抗性组件中包含了电阻，它是产生介入耗损的主要来源。
2.通带纹波（PassbandRipple）：
用以测量通带区内的平坦度者，定义为在通带区内最大衰减值与最小衰减值的差。
不同的电路结构如切比雪夫和巴特沃思等结构，会产生有不同的纹波值。
3.通带频宽（PassbandWidth）：
简称为频宽（Bandwidth），一般都以3dB点为截止频率来确定。
图7-2所示为两端3dB点的间的频率范围（）。
4.波形因数（ShapeFactor）：
用以测量在通带区以外，与截止区相交接处的衰减程度，其表示滤波电路通带区两侧的陡削度。
定义为衰减60dB处的频宽（），与3dB衰减处的频宽（）的比值。
波形因数SF为：
（7-1）
5.最终衰减（UltimateAttenuation）：
是为滤波电路在截止区内的最大衰减。
由于电子元件的特性，实际的滤波电路，都无法提供最大的截止区衰减>100dB，一般约在50至70dB。
6.品质因数（QualityFactor,Q）：
品质因数是描述滤波器选择度（Selectivity）的一项参数。
一般而言，其定义为组件中的平均最大储能比上每一个周期损耗的能量；或是可以用简单的中心频率（CenterFrequency）比上3dB频宽（3dBBandwidth）的比值作为品质因数的定义。
（7-2）
其中为中心频率；为3dB频宽。
7.群延迟（GroupDelay）：
群延迟的定义为单位信号相位（）的变化量与信号角频率（）的变化量的比值：
（7-3）
其中为信号的相位；信号角频率。
二、低通滤波器的工作原理
一个可以让DC至的信号频率通过而抑止高于的信号频率的电路，其所呈现出的特性就是低通滤波器的特性，如图7-1（a）所示。
我们知道当频率极低时，电感就像零阻抗组件，而电容则像阻抗无限大的开路；相反地，当频率极高时，电感就像阻抗无限大的开路，电容则是零阻抗组件。
所以最简单的低通滤波器如图7-3（a）所示，高频信号因电感的高阻抗而被反射，即使有部分的信号通过电感，也会被电容导往接地区（Ground）。
而其传递函数（TransferFunction）可表示为：
（a）L-C型低通滤波器（b）C-L型低通滤波器
图7-3低通滤波器
（7-4）
其中
同理可知，图7-3（b）也是低通滤波器。
在图7-3所示的低通滤波器中，由于是用两个无源元件所组成，故称为二阶滤波器。
同理，滤波器可由多个电容电感组件所组成，而形成三阶、四阶…，甚至十阶滤波器。
1.巴特沃思滤波器
巴特沃思滤波器（ButterworthFilter）的特性是在其通带（Passband）内有最佳的平坦度，所以巴特沃思滤波器亦称为最佳平坦度滤波器；但其在截止带（Stopband）内会有纹波的现象，且过渡频带（TransitionBand）的衰减变化也不够陡峭。
图7-4所示为一个典型的巴特沃思低通滤波器的频率响应，而描述巴特沃思滤波器的数学式为：
dB （7-5）
其中代表衰减量；代表设计滤波器时，在所需的衰减量；代表3dB频宽或截止频率（CutoffFrequency）。
一般而言，当时，必须等于3，所以。
图7-5所示为由式（7-5）所获得的巴特沃思滤波器衰减特性图。
图7-4巴特沃思低通滤波器的频率响应
图7-5巴特沃思滤波器衰减特性图
在设计巴特沃思滤波器的前，我们需依据设计规格的需求来决定滤波器所需的组件个数（或称为滤波器所需的阶数）。
由图7-5，我们可得知滤波器所需的阶数，而后再利用式（7-6）所示的式子来求得各组件的正规化（Normalized）值：
（7-6）
其中表示k-th电感或电容抗的值；n表示滤波器所需的阶数。
表7-1所示为前人利用式（7-6）所求得并作表的低通巴特沃思滤波器组成组件的正规化值，因此我们可直接利用表7-1所示的值来辅助我们设计各类滤波器。
表7-1低通巴特沃思滤波器组成组件的正规化值（当RS＝RL）
n
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
1
2.0000
1.0000
2
1.4140
1.4140
1.0000
3
1.0000
2.0000
1.0000
1.0000
4
0.7654
1.8478
1.8478
0.7654
1.0000
5
0.6180
1.6180
2.0000
1.6180
0.6180
1.0000
6
0.5176
1.4142
1.9319
1.9319
1.4142
0.5176
1.0000
7
0.4450
1.2470
1.8019
2.000
1.8019
1.2470
0.4450
1.0000
8
0.3902
1.1111
1.6629
1.9615
1.9615
1.6629
1.1111
0.3902
1.0000
9
0.3473
1.0000
1.5321
1.8794
2.0000
1.8794
1.5321
1.0000
0.3473
1.0000
低通滤波器的电路组态可以为L-C型或C-L型。
C-L型低通滤波器各组件的正规化值（NormalizedValue）可由表7-1的顶端查知，而L-C型各组件的正规值则可由表7-1的底部依阶数查得。
但不论是L-C型或是C-L型低通滤波器，其组成组件的实际值计算式为：
（7-7）
（7-8）
其中R代表负载阻抗（等于信号源阻抗），g则是从表7-1中所查到的值。
设计范例1：
试设计一个巴特沃思低通滤波器，其截止频率为50MHz，当信号频率为150MHz时，滤波电路的衰减在50dB以上。
假设信号源阻抗与负载阻抗皆为。
解：
首先求出正规化频率值：
参考图7-5所示的巴特沃思滤波器衰减特性图，我们发现在时，巴特沃思滤波器需设计成6阶（n»5.2），其衰减特性才能符合我们所需。
当我们获知滤波器所需的阶数后，我们可利用表13-1来获得低通滤波器的原型电路与其正规化组件值，如图7-6（a）所示。
最后我们利用式（7-7）与式（7-8）将正规化的组件值转换为实际的零件值，经转换后的低通滤波器电路如图7-6（b）所示。
；
（a）低通滤波器原型电路图
图7-6六阶巴特沃思低通滤波器电路图
（b）低通滤波器实际电路图
图7-6六阶巴特沃思低通滤波器电路图
；
；
2.切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器（ChebyshevFilter）的特性是在其通带（Passband）内有大小相同的纹波，所以切比雪夫滤波器又称为相同纹波（EqualRipple）滤波器；但其在截止带（Stopband）内不会有任何的纹波现象，且TransitionBand的衰减变化比巴特沃思来得陡峭多，如图13-7所示，但在所有滤波器种类中，它的衰减量还不算是最陡峭的，最陡峭是属于Elliptic滤波器。
图7-8所示为典型的切比雪夫低通滤波器的频率响应，而描述切比雪夫的数学式为：
dB （7-9）
其中代表衰减量；为切比雪夫多项式，它的大小在内变化；决定了滤波器纹波的大小。
表7-2与表7-3所示为纹波分别为0.1dB与0.5dB时的低通切比雪夫滤波器组成组件的正规化值，其中n为滤波器的阶数，为组件的正规化值，为正规化的负载阻抗值，为信号源电阻。
图7-9至图7-11所示为纹波分别为0.01dB、0.1dB与0.5dB的切比雪夫滤波器衰减特性图。
与巴特沃思滤波器的设计方式类似，我们在设计切比雪夫滤波器时，须依据设计规格的需求来决定滤波器所需的组件个数（或称为滤波器所需的阶数），因此我们可通过切比雪夫滤波器的衰减特性图，如图7-9至图7-11所示，来决定滤波器所需的组件个数；然后利用表7-2与表7-3所示，将滤波器各个组件的正规化值求得；最后利用式（7-7）与式（7-8）将实际所需的组件值计算出来。
图7-7巴特沃思与切比雪夫低通滤波器的频率响应比较图
图7-8典型的切比雪夫低通滤波器的频率响应图
图7-9纹波为0.01dB的切比雪夫滤波器衰减特性图
表7-2纹波为0.1dB时低通切比雪夫滤波器组成组件的正规化值
n
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
1
0.3053
1.0000
2
0.8431
0.6220
1.3554
3
1.0316
1.1474
1.0316
1.0000
4
1.1088
1.3062
1.7704
0.8181
1.3554
5
1.1468
1.3712
1.9750
1.3712
1.1468
1.0000
6
1.1681
1.4040
2.0562
1.5171
1.9029
0.8618
1.3554
7
1.1812
1.4228
2.0967
1.5734
2.0967
1.4228
1.1812
1.0000
表7-3纹波为0.5dB时低通切比雪夫滤波器组成组件的正规化值
n
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
1
0.6987
1.0000
2
1.4029
0.7071
1.9841
3
1.5963
1.0967
1.5963
1.0000
4
1.6703
1.1926
2.3662
0.8419
1.9841
5
1.7058
1.2296
2.5409
1.2296
1.7058
1.0000
6
1.7254
1.2479
2.6064
1.3136
2.4759
0.8696
1.9841
7
1.7373
1.2582
2.6383
1.3443
2.6383
1.2582
1.7373
1.0000
8
1.7451
1.2647
2.6564
1.3590
2.6964
1.3389
2.5093
0.8796
1.9841
9
1.7504
1.2690
2.6678
1.3673
2.7939
1.3673
2.6678
1.2690
1.7504
1.0000
图7-10纹波为0.1dB的切比雪夫滤波器衰减特性图
图7-11纹波为0.5dB的切比雪夫滤波器衰减特性图
设计范例2：
试设计一个切比雪夫低通滤波器，其相关规格为滤波器的阶数为，通带的连波大小值为0.1dB，信号源阻抗与负载阻抗皆为50W。
假设滤波器的截止频率为50MHz。
解：
由题意我们知道滤波器为5阶且有0.1dB的纹波，因此我们可参考表7-2来获得低通滤波器的原型电路与其正规化组件值，如图7-12（a）所示。
然后我们利用式（7-7）与式（7-8）将正规化的组件值转换为实际的零件值，经转换后的低通滤波器电路如图7-12（b）所示。
；
；
（a）低通滤波器原型电路图（b）低通滤波器实际电路图
图7-12五阶切比雪夫低通滤波器电路图
（a）C-L型高通滤波器（b）L-C型高通滤波器
图7-13高通滤波器
三、高通滤波器的工作原理
一个可以让高于的信号频率通过而抑止低于的信号频率的电路，其所呈现出的特性就是高通滤波器的特性，如图7-1（b）所示。
如同低通滤波器的分析方式，也就是当频率很低时，电感可视为短路，而电容则视为开路；相反地，当频率极高时，电感就像开路，电容则有短路的效果。
所以最简易的高通滤波器如图7-13（a）所示，低频信号因电容的高阻抗而被反射，即使有部分的信号通过电容，也会被电感旁路导至接地区。
而其传递函数（TransferFunction）可表示为：
（7-12）
其中
同理可知，图7-3（b）所示是一个L-C型态的低通滤波器。
将图7-13的高通滤波器与图7-3的低通滤波器相互比较后，我们会发现彼此的间的差别只有电容和电感的互换而已，因此高通滤波器电路设计的基本观念和低通滤波器是相当的类似。
此外，和低通滤波器一样，高通滤波器也可以因为电容及电感组件组成的多寡而形成二阶及三阶等高阶滤波器。
我们知道高通滤波器与低通滤波器的差别只是电感电容的互换，所以设计高通滤波器时，首先需着手设计出截止频率为的低通滤波器，再将由表中所查得的正规化值倒数，作为高通滤波器组成组件的正规化值。
实际设计的步骤如下所述：
1.先计算出，其中的定义如图7-1（b）所示；代表滤波器具有特定衰减量时的频率大小，且高通滤波器的一定小于1。
2.把步骤1所求得的值倒数作为新的值，并结合特定衰减量的要求，求出滤波器所需的阶数。
当欲设计巴特沃斯高通滤波器时，我们不需根据通带的纹波值找出所需的阶数n；但是当欲设计切比雪夫高通滤波器时，则需根据通带的纹波值找出所需的阶数n
3.由表中找出低通滤波器各个、（或是及）的正规化值。
4.将步骤3所求得的值作倒数的处理，以获得高通滤波器的正规化值、（或是及）。
（7-13）
（7-14）
5.将正规化的值代入式（7-7）及式（7-8）求出各组成组件的实际值，也就是Scaling的处理。
设计范例3：
试设计一个高通滤波器，其截止频率为60MHz，当信号频率为30MHz时，滤波电路的衰减在40dB以上，信号源阻抗与负载阻抗皆为50W。
假设通带的连波大小值为0.5dB。
解：
首先求出正规化频率值：
将前式所求出的正规化频率值倒数作为高通滤波器的正规化频率值：
参考图7-11所示的切比雪夫滤波器衰减特性图，我们发现在时，切比雪夫滤波器需设计成5阶（n»4.5），其衰减特性才能符合我们要求。
当我们获知滤波器所需的阶数后，我们可利用表7-3来获得低通滤波器的原型电路与其正规化组件值，如图7-14（a）所示。
然后将低通滤波器的原型电路转换成高通滤波器的原型电路，如图7-14（b）所示。
（a）低通滤波器原型电路图
（b）高通滤波器原型电路图
（c）高通滤波器实际电路图
图7-14五阶切比雪夫高通滤波器电路图
最后我们利用式（7-7）与式（7-8）将正规化的组件值转换为实际的零件值，经转换后的高通滤波器电路如图7-14（c）所示。
；
；
；
图7-15所示为五阶低通滤波器电路图，其主要是利用LC结构来设计此滤波器，中心频率设定为915MHz，其中组件值是利用前文所列的公式计算得来，并且利用电路设计软件Super-Compact将电路最佳化后可得各组件值为：
L1=L2=12nH，C1=C3=2pF，C2=6pF。
图7-16为六阶高通滤波器电路，它是利用LC结构来设计此滤波器，其中心频率设定为915MHz，其中组件值是利用前文所列的公式计算得来，并且利用电路设计软件Super-Compact将电路最佳化后可得各组件值为：
C1=C3=1pF，C2=0.82pF，L1=18nH，L2=L3=10nH。
图7-15低通滤波器电路图
图7-16高通滤波器电路图
四、带通滤波器的工作原理（发夹式）
一个可以让有限频带信号频率通过而抑止此频带外的信号频率的电路，其所呈现出的特性就是带通滤波器特性，如图7-1（c）所示。
运用谐振电路的观念，可知当信号率等于L-C串联谐振电路的共振频率时，其阻抗为零；又当信号频率等于L-C并联谐振电路的共振频率时，其阻抗为无限大。
所以依照前章所讨论的低通滤波器及高通滤波器的分析方式，可知最简易的带通滤波器如图7-17所示，其各谐振电路的共振频率皆位于带通滤波器的通带（Passband）内，所以当信号频率介于带通频带内，信号会顺利地通过，其余的皆会被吸收或反弹。
图7-18所示为带通滤波器的频率响应图，由图可知当信号频率小于带通滤波器的时，此带通滤波器可视为一个允许频率大于的信号通过的高通滤波器；而当信号频率大于带通滤波器的时，其可视为一个允许频率小于的信号通过的低通滤波器。
此外在图7-17中，带通滤波器是由二个谐振电路所组成，故称的为二阶带通滤波器；同理可知，带通滤波器也可以由多个谐振电路所组成，而形成三阶、四阶等高阶的带通滤波器。
（a）串-并型式（b）并-串型式
图7-17简易的带通滤波器电路图
图7-18带通滤波器的频率响应图
图7-19基本的二阶带通滤波器电路图
图7-19所示为基本的二阶带通滤波器电路图，其传递函数（TransferFunction）可表示为：
令
其中；；；；。
把图7-17的带通滤波器与图7-3的低通滤波器相互比较后，会发现彼此间的差别只是把低通滤波器的电感转换为L-C串联谐振电路，而电容则转换为L-C并联谐振电路，便形成带通滤波器了。
所以设计带通滤波器时，仍须先着手设计低通滤波器，再经一连串的转换，变成带通滤波器，而设计细节及步骤如下所述：
6.先计算出，而、、及的定义如图7-18所示。
7.把代替，并结合特定衰减量的要求，求出带通滤波器所需的阶数。
当欲设计巴特沃思带通滤波器时，我们不需根据通带的纹波值找出所需的阶数n；但是当欲设计切比雪夫带通滤波器时，则需根据通带的纹波值找出所需的阶数n（相关设计准则请参考上一节）。
8.配合的比值，以便查表时决定出低通滤波器的原型电路与其元件的正规化值。
9.将步骤3所求得的低通滤波器原型电路转换成带通滤波器的原型电路，即是将电感对应成与的串联谐振电路；电容对应成与的并联谐振电路。
10.将步骤4所获得的带通滤波器原型电路中的正规化值转换成实际的元件值。
（1）电感对应成与的串联谐振电路：
（7-15）
（7-16）
（2）电容对应成与的并联谐振电路：
（7-17）
（7-18）
其中
：
中心频率，
：
3-dB频宽，
：
负载阻抗
设计范例1：
试设计一个带通滤波器，其中心频率为，通带纹波为0.5dB，3dB频宽为7MHz，45dB频宽为35MHz，且。
解：
首先求出正规化频率值：
参考图7-11所示的切比雪夫滤波器衰减特性图，我们发现在时，切比雪夫滤波器需设计成3阶，其衰减特性才能符合我们的要求。
当我们获知滤波器所需的阶数后，若选择电容输入型的切比雪夫低通滤波器，我们即可利用表7-3来获得低通滤波器的原型电路与其正规化元件值，如图7-20（a）所示。
然后将低通滤波器的原型电路转换成带通滤波器的原型电路，如图7-20（b）所示。
（a）低通滤波器原型电路图
（b）带通滤波器原型电路图
（c）带通滤波器实际电路图
图7-20三阶切比雪夫带通滤波器电路图
最后我们利用式（7-15）至式（7-18）将正规化的元件值转换为实际的元件值，经转换后的带通滤波器电路如图7-24所示。
五、带阻滤波器的工作原理
一个可以将有限频带信号频率抑止而让此频带外的信号频率通过的电路，其所呈现出的特性就是带阻滤波器的特性，如图7-1（d）所示。
图7-21所示为带阻滤波器的电路结构图，其频率响应如图7-22所示。
在带阻滤波器电路中，各谐振电路的共振频率都在带阻滤波器的止带（Stopband）内，所以当信号频率小于带阻滤波器的时，此带阻滤波器可视为一个允许频率小于的信号通过的低通滤波器；而当信号频率大于带阻滤波器的时，其可视为一个允许频率大于的信号通过的高通滤波器；但当信号频率位于至的频段内，其效应可视为一个短路的特性，所以信号频率介于带阻频带内，信号会被吸收或反弹，其余皆顺利地通过，如此便达成带阻的功效。
由于带阻滤波器是由两组谐振电路所组成，故称的为二阶带阻滤波器；除此之外，通过改变谐振电路，仍然会有三阶、四阶等带阻滤波器的存在。
（a）串-并型式（b）并-串型式
图7-21带阻滤波器的电路图
图7-22带阻滤波电路的频率响应
将图7-21的带阻滤波器与上一节中图7-3的低通滤波器相互比较后，会发现间电路结构的差别，只需把低通滤波器的电感转换为L-C并联谐振电路，而电容则转换为L-C串联谐振电路，如此便形成带阻滤波器。
所以设计带阻滤波器时，应该先着手设计低通滤波器，再经一连串的转换，变成带阻滤波器，而设计细节及步骤如下所示：
11.先计算出，而、、及的定义如图7-22所示。
12.把代替，并结合特定衰减量的要求，求出带阻滤波器所需的阶数。
当欲设计巴特沃思带阻滤波器时，我们不需根据止带的纹波值找出所需的阶数n；但是当欲设计切比雪夫带阻滤波器时，则需根据止带的纹波值找出所需的阶数n。
13.配合的比值，以便查表时决定出低通滤波器的原型电路与其元件的正规化值。
14.将步骤3所求得的
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