信号检测Word格式文档下载.docx
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二元检测:
只有两种可能的假设
多元检测:
有多个可能的假设
复合假设:
信号是一随机过程的实现,其均值或方差可处于某个数值范围内
序列检测:
按取样观测值出现的次序进行处理和判决
二元假设检验可能的情况:
1、H0假设为真,判决H0(正确);
代价-C00
2、H1假设为真,判决H0(漏警);
代价-C01
3、H0假设为真,判决H1(虚警);
代价-C10
4、H1假设为真,判决H1(正确);
代价-C11
§
1-1贝叶斯准则(Bayes)代价、风险最小
以二元假设检验为例:
源有两个输出,两个输出发生的概率已知,即先验概率已知P(H0),P(H1)分别为假设H0和H1发生的概率
显然有P(H0)+P(H1)=1---------(1-1)
D0表示判决H0,D1表示判决H1
赋予每个可能的判决一个代价Cij(i,j=0,1),
Cij--表示假设为Hi而判决为Dj时的代价
贝叶斯准则的目标是使平均代价E[C]最小风险最小,
假定错误判决的代价总是比正确判决的代价大,即:
C01>
C11,C10>
C00---------------(1-2)
假定各种代价均已知,并设P(Di,Hj)表示假设为Hj而判决为Hi时的联合概率,则平均代价为:
E[C]=C00P(D0,H0)+C01P(D0,H1)+C10P(D1,H0)+C11P(D1,H1)-(1-3)
应用Bayes公式:
P(Di,Hj)=P(Di|Hj).P(Hj)--------(1-4)
条件概率P(Di|Hj),i,j=0,1---(1-5);
Z=Z0UZ1-----------(1-6)
P(D0|H0)=P(判决为H0|H0为真)=∫Z0p(Z|H0)dZ------------(1-7)
P(D0|H1)=P(判决为H0|H1为真)=∫Z0p(Z|H1)dZ=PM―漏警概率(1.8)
P(D1|H0)=P(判决为H1|H0为真)=∫Z1p(Z|H0)dZ=PF―虚警概率(1-9)
P(D1|H1)=P(判决为H1|H1为真)=∫Z1p(Z|H1)dZ=PD-检测概率(1-10)
他们之间满足下列关系:
PM=1-PD-----(1-11),P(D0|H0)=1-PF---------(1-12)
P(正确判决)=P(D0,H0)+P(D1,H1)
=P(D0|H0)P(H0)+P(D1|H1)P(H1)=(1-PF)P(H0)+PDP(H1)—(1-13)
同理有:
P(错误判决)=P(D0,H1)+P(D1,H0)
=PMP(H1)+PFP(H0)-------------(1-14)
故平均代价为:
E[C]=C00(1-PF)P(H0)+C01(1-PD)P(H1)
+C10PFP(H0)+C11PDP(H1)-------------(1-15)
由(1-7),(1-10)两式:
E[C]=C00P(H0)∫Z0p(z|H0)dz+C01P(H1)∫Z0p(z|H1)dz
+C10P(H0)∫Z1p(z|H0)dz+C11P(H1)∫Z1p(z|H1)dz
------------(1-16)
∫Z1p(z|Hj)dz=1-∫Z0p(z|Hj)dz,j=0,1-------------(1-17)
E[C]=C10P(H0)+C11P(H1)+-------------(1-18)
∫Z0{[P(H1)(C01-C11)p(z|H1)]-[P(H0)(C10–C00)p(z|H0)]}dz
[P(H1)(C01-C11)p(z|H1)]<
[P(H0)(C10–C00)p(z|H0)]--->
H1—(1-19)
[P(H1)(C01-C11)p(z|H1)]>
[P(H0)(C10–C00)p(z|H0)]--->
H0--(1-20)
上式的左边称为似然比(LikehoodRatio)
观测空间Z=Z0∪Z1,相应于每一个假设,观测z的概率密度函数为p(z|H0),p(z|H1);
有下列门限
故可得到似然比检验的Bayes准则(平均代价最小)
此式两边均为正,取自然对数(单调递增),故有等效判决规则
由于代价和先验概率是一种推测,实际中可能有变化,但只影响门限,计算似然比并不受影响,所以构造下列图示处理器:
1-2最小总错误概率准则(最小误差概率准则)
当假定正确判决不付出代价,而各种错误判决的代价相同时:
C00=C11=0,C10=C01=1―――(1-26)
则平均代价即为总错误概率:
E(c)=P(H0)PF+P(H1)PM=Pe
判决公式变为:
当两种假设为等可能时,即P(H0)=P(H1)
则有η=1,Lnη=0
在数字通信系统中这种假设一般是正确的。
1-3最大后验概率准则MaximumPosterioriProbability
即p(H0|z)<
p(H1|z)----(1-30)时判决为H1,否则判决为H0.
P(Hi|z),i=0,1为在给定观测值为z的条件下,Hi为真的概率,
此即后验概率。
由前面的论述,可以得出最大后验概率准则与最小总错误概率准则是等价的。
证明的过程可见张贤达书中的推导。
例1-1设一个二元通信系统发送1V,0V的信号,受到1/12w加性高斯噪声的干扰。
系统发送1V0V信号的概率分别是0.6和0.4,代价分别为C00=-2,C01=8,C10=6,C11=-2.试求最佳贝叶斯判决准则及相应的平均代价。
解:
=0.534
σ2=1/12,σ=√1/12
H1—μ=1,H0---μ=0
故可求出最佳判决界:
6(2V-1)=Ln0.534-----V=0.456V
欲求平均代价,应先求出虚警概率和漏警概率
故相应的平均代价为:
E[C]=C00(1-PF)+C01PF+P(H1)[(C11-C00)+(C01-C11)PM
-(C01-C11)PF]=-1.645
可见只要代价因子和先验概率已知,就可求出贝叶斯判决准则。
1-4极大极小化准则(MinimaxCriterion)
在许多情况下,先验概率未知,不能采用贝叶斯准则。
选择一个先验概率P(H1),使平均代价最大,然后,再求此
P(H1)所对应的贝叶斯解-极大极小化准则
由于P(H0)+P(H1)=1,故有
P(H0)=1-P(H1)―――――(1-31)
平均代价为:
-(C01-C11)PF]―――――(1-32)
对于给定的P(H1),P(H1)[0,1]的值,判决区域由PFPM确定
显然,随着P(H1)的值的变化,判决区域也会变化,从而导致非贝叶斯最佳判决准则,即平均代价总是比贝叶斯的代价大。
我们可以看两种极端情况:
极端情况1:
P(H1)=0,门限=
此时的判决规则为:
即H0总为真。
观测到的是z0,而相应的
∫Z0p(Z|H1)dZ=PM―漏警概率=0------(1-35)
∫Z1p(Z|H0)dZ=PF―虚警概率=1-------(1-36)
将(1-35)和(1-36)两式代入(1-32)式得平均代价为:
E[C]=C00--------(1-37)
极端情况2:
P(H1)=1,门限=0
因为L(z)是非负的,我们也规定PF=1,PM=0.于是有:
E[C]=C11--------(1-39)
中间的情况是P(H1)=P*(H1),P(H1)*[0,1]
E[C]--f{P(H1)}
可以证明此函数的凸性。
易见,在P(H1)=P*(H1)处,对应P*(H1)贝叶斯判决准则
给出最小平均代价E[Cmin]
此即将最大平均代价最小化
将E[C]对P(H1)的导数=0
则可求出极大极小化方程:
(C11-C00)+(C01-C11)PM-(C10-C11)PF=0--------(1-40)
若正确判决的代价均为0,C11=C00=0,则上述方程为
C01PM=C10PF-----------(1-41)
若错误判决的代价均为1,C01=C10=1,则上述方程为
PM=PF-----------(1-42)
此即虚警概率等于漏警概率。
极大极小化准则的平均代价为—平均错误概率
E[C]=PF[1-P(H1)]+P(H1)PM
=P(H0)PF+P(H1)PM―――――(1-43)
1-5Neyman-Pearson准则
已知先验概率和代价函数――贝叶斯准则
未知先验概率,但可选定代价函数――极大极小化准则
而在先验概率和代价函数均为未知的情况下――?
可用Neyman-Pearson准则,即在给定虚警概率的条件下,使检测概率最大,也即漏警概率最小。
限定PF=(保证虚警概率在一可容许值的约束条件下),设计一检验使PD最大(或PM最小)。
应用Lagrange乘子,构造下列目标函数:
显然,若PF=时,要使J最小,必需要使PM最小
∵≥0,则上式的第一项为正。
若要使J减小,只有将上式中[]为负的点z分配到Z0域,即使:
同样,将下式
成立的点,分配到Z1域。
故有判决规则写成似然比:
可见似然比检验,可使J最小。
选择,使得PF=:
若H0为真时,l(z)的概率密度为p(l(z)|H0),则要求:
此式对的解,便是门限(注≥0)。
易见,若↓,相当于Z1域↑,相当于判决H1的区域增大,即有PD↑
故应减小,直到得出最大可能的α。
在大多数有意义的情况下,PF是的连续函数。
我们讨论中也均假设如此,那么,Neyman-Pearson准则将是导致一个似然比检验。
这种准则的判决程序是调整变量,使得PF=。
Neyman-Pearson准则:
是先加工观测值z,求出似然比l(z);
然后将l(z)与门限比较,从而作出判决。