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332

（ab）a3ab

3ab

因式分解的主要方法有：

十字相乘法、提取公因式法、

公式法、

分组分解法，另外还应了解求根法及

待定系数法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

1）x－3x＋2；

2）

7x2

3）2（）

xabxyaby；

4）

2．提取公因式法

例2.分解因式：

3x2

（1）a

3．公式法

例3.分解因式：

1）

2yx

4．

分组分解法

（1）x

2xxy

y4x5y6

5．

关于x的二次三项式

2+bx+c（a≠0）的因式分解．

若关于x的方程2

axx

解为a（xx）（x

）.

0（0）

ca的两个实数根是

x1、

x2，则二次三项式

2（axbxca

0）

就可分

例5.把下列关于

x的二次多项式分解因式：

24422）xxyy．

）

12）a24ab4b26a12b9

14）31

（13）

－2x－1

15）

4x13x9；

16）

bc；

17）

5xy

2yx9y4

第二讲

一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程

（1）根的判别式

对于一元二次方程

ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:

（1）

0时，方程有两个不相等的实数根

Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝

b，2＝，2＝

3）

Δ<

0时，方程没有实数根．

（2）根与系数的关系（韦达定理）

如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是

定理．

2、二次函数yaxbxc的性质

1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为

当x

b时，y随x的增大而减小；

当x2a

x1，x2，那么x1＋x2＝

xb，顶点坐标为

x1·

x2＝

b时，y随x的增大而增大；

当2a

c．这一关系也被称为韦达

4acb

。

b时，y有最小值4acb。

2a4a

2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为

x的增大而增大；

当x

时，y随x的增大而减小；

当

2ba时，

y有最大值

xb时，y随2a

3、二次函数与一元二次方程：

二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与

x轴交点情况）

一元二次方程20

axbxc是二次函数

yaxbxc当函数值y0时的特殊情况

Ax1，0，Bx2，0（x1x2），其中的

ABxxb4ac

x1，x2是一元二次方程

例1.若x1和x2分别是一元二次方程

2x＋5x－3＝0的两根．

1）求|x1－x2|的值；

2）求

＋x3．

的值；

3）x

图象与x轴的交点个数：

1当240

bac时，图象与x轴交于两点

200

axbxca的两根。

这两点间的距离

2当0时，图象与x轴只有一个交点；

3当0时，图象与x轴没有交点.

当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0

例2.函数

（是常数）

的图像与轴的交点个数为（

Ａ．0个

Ｂ．

1个

Ｃ．2个

Ｄ．1个或2个

ymxmxmx

例3.关于

的方程

有两个相等的实数根，则相应二次函数

与轴

mxm

m必然相交于

点，此

时

2（2

1）6

mxm

例4.抛物线

与

轴交于两点（x，0）和（x2，0），若x1x2

x1x249，要使抛物线

经过原点，应将它向右平个移单位．

xy2mx2（8m

例5.关于的二次函数

m≥

Ａ．

且

1）x8m

的图像与

轴有交点，

则的范围是（）

Ｃ．

Ｄ．

x2．求：

3.一元二次方程ax1和

2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x

xx；

（2）x1＋x2

（1）|x1－x2|和12．

4.如图所示，函数

2）x

（k5）

的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标

已知抛物线y

轴交于C点，

与x轴交于A（x，0），B（x，0）（xx）

两点，顶点M的

22（

4为

x1x2

，若

是方x程

的两根，

10纵坐标

（1）求A，B两点坐标；

（2）求抛物线表达式及点

坐标；

yax2

若二次函数

当取x、x（

（

Ａ

．Ｂ．

bxc

5、

已知二次函数

，关于

的一元

则这个二次函数的解析式为

时，函数值相等，则当

取xx时，函数值为

次方程

xbx

c0的两个实根是1和5，

第三讲

1、定义：

形如ax

2+bx+c>

（a>

0）（或

做关于x

的一元二次

不等式。

2、一元二次不等式的

一般形式：

一元二次不

ax2+bx+c

等式的解法

0（a>

0））

的不等式

0）或ax2+bx+c<

0（a>

0）

3、一元二次不等式的解集：

2-4ac

Δ>

Δ=0

Δ=b

2+bx+c>

0y=ax

0）的图象

xOxx

Ox1（x2）

ax2+bx+c=0

x1=bbac

2+bx+c=0

x1=x2=-

没有实数根

（a>

0）的根

2=bbac

ax2+bx+c>

02+bx+c>

2ax<

x1或x>

x≠-b

0）的解集

（x1<

x2）

全体实数

ax2+bx+c<

0x1<

2+bx+c<

无解无解

0）的解集（x1<

4、解一元二次不等式的一般步骤：

（1）将原不等式化成一般形式ax

0）（或ax2+bx+c<

0（a>

0））；

（2）计算Δ=b

2-4ac；

（3）如果Δ≥0，求方程ax

2+bx+c=0（a>

0）的根；

若Δ<

0，方程ax2+bx+c=0（a>

0）没有实数根；

（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。

例1.解下列不等式：

1）4x

2-4x>

15；

2）-x2-2x+3>

0；

3）4x2-4x+1<

例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x+12x-12的值等于0？

大于0？

小于0？

例3.若关于x的方程x

m的取值范围

2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求

7.解下列不等式：

3）4x2-4x+1>

5）x（1-x）>

2x-3）+10

1）4x

2-4x<

3）4x-20x<

25；

2）-x2-2x+3<

4）-3x+5x-4>

8.m是什么实数时，关于x的方程mx

2-（1-m）x+m=0没有实数根？

9.已知函数y=2－3x－，求使函数值大于0的x的取值范围

2x4

含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.

1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）例1.解关于x的不等式：

（2）10.

axax

例2.解关于x

的不等式：

60（0）a

10.按判别式

的符号分类

例3.解关于x

例4.解关于x

2（m数）

1）x4x

0.（m为任意实

11.按方程

axbxc的根x1,x2的大小分类。

例5.解关于x的不等式：

x（a）x10（a0）a

例6.解关于x的不等式：

25620（0）xaxaa

2.解关于x的不等式：

（2）

xax

330

6.解关于x的不等式：

（1）a

3.解关于x

4.解关于x

第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法

1.一元高次不等式的解法

1.可解的一元高次不等式的标准形式

（xx）（xx）（xxn）0（0）

（1）左边是关于x的一次因式的积；

（2）右边是0；

（3）各因式最高次项系数为正。

12.一元高次不等式的解法

穿根法：

（1）将高次不等式变形为标准形式；

（2）求根xxx，画数轴，标出根；

1,2,,n

（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿

（4）写出所求的解集。

例1.（x1）（x2）（x3）0

例2.

x（x1）（x2）（x

例3.（x1）（x2）（3x）0

例4.

（x2）（x

3）（x2x1）0

例5.

（x1）（x

2）（x4x5）0

例6.

2x10

13.

（x

1）（x

3）（x

6x8）0

14.

（3x

8）（1

x2x）0

15.

3）（x

6x7）0

16.

5）（x

x1）0

17.

2）（x

3）（x

6）（x8）0

18.4

19.3

7.分式不等式的解法

例1.

（1）x30与x3x20解集是否相同，为什

x2么？

（2）x30与320解集是否相同，为什么？

x2xx

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：

等价转化为整式不等式（组）

解题方法：

穿根法

0”（3）因式分解，化为几个一次因

解题步骤：

（1）首项系数化为“正”

（2）移项通分，不等号右侧化为式积的形式（4）数轴标根。

例2.解不等式：

x3x20

x7x12

例3.解不等式：

例4.解不等式：

x9x117

x2x1

x5x60（0）

x3x2

例5.解不等式：

2x12x1

x33x2

例6.解不等式：

23x

练习解不等式：

20.

2x1

21.1x3

22.x3x20

x2x3

221

23.xx

24.x1xx6

25.

26.0x1

8.无理不等式的解法

1、无理不等式的类型：

f（x）0

f（x）g（x）型g（x）0①

f（x）g（x）

g（x）

②f（x）g（x）型

g（x）或

[g（x）]

③f（x）

g（x）型

g（x）0

f（x）[g（x）]

例1.解不等式

3x4x30

x3x243x

例2.解不等式

x例3.

解不等式2x

第五讲集合的含义与表示

27.集合的含义

28.集合元素的三个特性

29.元素与集合的关系

30.常用的数集及其记法

31.集合的表示方法

32.集合的分类、空集

例1.判断下列对象能否构成一个集合

（1）身材高大的人

（2）所有的一元二次方程

（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点

（4）细长的矩形的全体

（5）2的近似值的全体

（6）所有的数学难题

例2.已知集合Aa,ab,a2b,Ba,ac,ac,若AB,求实数c的值。

例3.已知集合S中三个元素a,b,c是ABC的三边长，那么ABC一定不是

三角形例4.用适当的方法表示下列集合。

（1）290x的解集；

（2）不等式2x13的解集：

3）方程组

2的解集；

4）正偶数集；

例5.已知集合220,,

AxxxaaRxR若A中至多有一个元素，求a的取值范

围。

例6.下列关系中，正确的有

（2）

2Q;

（3）3

（4）

3Q.

33.

已知集合

1,2,3,4,5,B

（x,y）x

A,y

A,x

yA,则B中所含元素的个数为

A.3

B.6C.8

D.10

34.

已知集合A

0,1,2

则集合B

x-yxA,yA

中元素的个数是（

A.1

B.3

C.5

D.9

35.

已知A

1,2,3

2,4,定义A、B间的运算A

BxxA且xB

则集合

B等于（

1,2,3B.

2,4

C.1,3

D.2

36.

若集合

Rax

中只有一个元素，则

a=（）

A.4

B.2

C.0

D.0

或4

37.

设集合

A1,2,3,B

1,3,9,x

A且xB,则x

（）

C.3

38.

定义集

合运算：

Bzz

xy（xy,xA,y

B）.设A0,1,B

2,3,

则集合AB的所有元素之和为（）

A.0B.6C.12D.18

39.下列各组对象中不能构成集合的是（）

某中学全校学生家长的全体

王明的所有好朋友

A.某中学高一

（2）班的全体男生B.

B.李明的所有家人D.

40.已知a,b是非零实数，代数式

bab

的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（

A.0MB.1M

C.3M

D.1M

41.

42.

集合

集合A

43.

设集合A

1,2,0,1,Bxxy,yA，则B=

a2,2a5a,12,且3A,则a=

x2k1,kZ,a5，

则有（

44.

45.

46.

47.

B.aA

C.aA

D.aA

列集合中，不同于另外三个集合的是（

2B.xx

集合1,

1）若A中只有一个元素，求

2）若A中有两个元素，求

9.子集的概念

10.

集合相等的定义

11.

真子集的定义

12.

例1.

子集的性质

确定集合子集与真子集个数

判断集合A是否为集合

1,3,5,B

C.1

D.y（y1）0

A中至多有一个元素，则

a的取值范围

则

的取值范围.

B的子集。

1,2,3,4,5,6

1,3,5,B1,3,6,9

第六讲集合间的基本关系

a,b,c,d

Bd,b,c,a

例2.写出集合a,b

a,b,c的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例3.判断下列写法是否正确

A（3）

AA（4）

已知

30,

若

求a的

值。

320,

0,1,2,

则

M与N

的关系正确的是

B.MN

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