超几何分布与二项分布的区别.docx
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超几何分布与二项分布的区别
超几何分布与二项分布的区别
[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布
判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布
的特征:
一个总体（共有N个）内含有两种不同的事物A（M个）、B（NM个）,任取n个,其
中恰有X个A.符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列
P（Xk）
knk
CC
MNM
n
C
N
（k0,1,2,,m）进行处理就可以了.
二项分布必须同时满足以下两个条件:
①在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生的概率为p,事件A发生的概率为1p；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A发生的概率都是同一常数p,事件A发生的概率为1p.
1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二
等品通过检测的概率为
2
3
.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
（Ⅰ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
（Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好
接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
将这30名志愿者
的身高编成如右所示的茎叶图（单位:
cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为
“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,
再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担
任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
1
3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记
忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记
忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.
视觉视觉记忆能力
听觉
偏低中等偏高超常
听
偏低0751
觉
中等183b
偏高2a01记
忆超常0211
能
力
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听
觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2
5
.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）从40人中任
意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变
量的分布列.
4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:
每场投6个球，至少投进4个球且最后2
个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是
2
3
．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰
好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率
与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
2
5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须
进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮
检测不合格的概率为
影响.
1
6
，第二轮检测不合格的概率为
1
10
，两轮检测是否合格相互没有
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品
亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分
布列，并求出均值E（X）.
6、张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路
线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
1
2
；L2
路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
3
4
，
3
5
．
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生
从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
A1A2
A3
L1
HCL2
B1B2
7、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘
客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.
3
2
p，乙的命中率为p2，在射击比8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为1
3
武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且
都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
1
p,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（Ⅰ）若2
2
（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的
次数，如果E5,求
p的取值范围.
2
9、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。
每个试验组由4
只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。
若在一个试验组中，
服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。
设每只小白鼠
服用A有效的概率为
2
3
服用B有效的概率为
1
2
.
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组
中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。
10、盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：
一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．
（Ⅰ）若某人摸一次球，求他获奖励的概率；
（Ⅱ）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励的人
数，
（i）求P
（1）
（ii）求这10人所得钱数的期望．
（结果用分数表示，参考数据：
10
141
152
）
4
课后练习巩固
1、空气质量指数PM2.5（单位:
μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这
个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：
PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250＞250
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如
图5所示．
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；
（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良
的天数，求X的分布列及数学期望．
3204
55
64
7697
8807
91809
图5
2、根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
AQI（数值）05051100101150151200201300300
空气质量级别一级二级三级四级五级六级
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
空气质量类别颜
色
绿色黄色橙色红色紫色褐红色
某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指
天数
数AQI进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:
10
8
（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中
6
度污染的概率；
4
2
空气质量级别
（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气
0
一级二级三级四级五级六级
图（4）
质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.
5
3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）
的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为
概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2
个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，
求的分布列及数学期望E．
4．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为
样本，称出它们的重量（单位：
克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，
由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.
（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：
设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xii1,2,3,,n，
则样本数据的平均值为
Xxpxpxpxp.）
112233nn
频率
组距
（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内
的小球个数为，求的分布列和数学期望.
0.32
a
0.20.018
O51535
2545重量/克
图3
6
5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一
分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
2
3
，乙队中3人答对的概率分别为
221
,
332
，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．
（1）求随机变量的分布列和数学期望；
（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于
乙队总得分”这一事件，求P（AB）．
6．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。
我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。
某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。
（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；
（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到
PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量
情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气
质量达到一级或二级.
7
参考答案
0.33【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A分
事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”⋯⋯⋯2分
64213
p（A）⋯⋯
1010315
（Ⅱ）由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P（X0）
30
CC
46
3
C
10
1
30
P（X1）
21
CC
46
3
C
10
3
10
P（X2）
12
CC
46
3
C
10
1
2
P（X3）
03
CC
46
3
C
10
1
6
.⋯⋯8分
故X的分布列为
X0123
⋯⋯⋯⋯9分
P
1
30
3
10
1
2
1
6
（Ⅲ）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B⋯⋯⋯⋯⋯10分
事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，
111
3
P（B）（）.⋯⋯⋯⋯⋯13分
303810
0.34【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，,,,,1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
5
30
1
6
，,,,,,,2分
11所以选中的“高个子”有122人，“非高个子”有183人．,,,,3分66
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高
个子”被选中”，
则P（A）1
2
3
2
5
C
C
37
1．,,5分因此，至少有一人是“高个子”的
1010
概率是
7
10
．,6分
（Ⅱ）依题意，的取值为0,1,2,3．,,,,,,7分
3
C14
8
P（0），
3
C55
12
12
CC28
48
P
（1），
3
C55
12
21
CC12
48
P
（2），
3
C55
12
3
C1
4
P（3）．,,,,,,,9分
3
C55
12
8
因此，的分布列如下：
0123
1428121p
55555555
,10分
1428121
E01231．,,,,12分
55555555
0.35【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中
等以上的学生共有（10a）人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中
等以上”为事件A，
则
10a2
PA，解得a6，从而b40（32a）40382.
（）
405
（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为
3
C,其中具有听觉记忆能力或视觉
40
记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听
觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为
k3k
CC，所以从40位学生中任意抽
2416
取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为
P（k）
k3k
CC
2416
3
C
40
（k0,1,2,3）.的可能取值为0、1、2、3.
因为
P（0）
03
CC
2416
3
C
40
14
247
P
（1）
12
CC
2416
3
C
40
72
247
P
（2）
21
CC
2416
3
C
40
552
1235
P（3）
30
CC
2416
3
C
40
253
1235
，
所以的分布列为
0123
P
14
247
72
247
552
1235
253
1235
0.36【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X~B（6，
2
3
）.
k6k
21k
PXkC（k0,1,2,3,4,5,6）
（）
6
33
所以X的分布列为：
X0123456
9
P
1
729
12
729
60
729
160
729
240
729
192
729
64
729
所以
1
EX（01112260316042405192664）=
729
2916
729
4
.
或因为X~B（6，
2
3
），所以
2
EX64.即X的数学期望为4．
3
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则
224156
1212232
P（A）C（）（）C（）（）.
44
3333381
答：
教师甲在一场比赛中获奖的概率为
32
81
.
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则
P（B）
24
AA
44
6
A
6
2
5
.（此处为
2
C
C
4
4
6
2
5
会更
好!
因为样本空间基于:
已知6个球中恰好投进了4个球）即教师乙在这场比赛中获奖的概
率为
2
5
.
显然
23232
58081
，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的
概率不相等．
0.37【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则
111
P（A）1
（1）
（1）.
6104
所以，该产品不能销售的概率为
1
4
.,,,,,,,,,,,,,,4分
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为320,200,80,40,160.,,,,,,,,,5分
11
4
P（X320）（），
4256
13
133
P（X200）C（），
4
4464
1327
222
P（X80）C（）（），
4
44128
1327
33
P（X40）C（），
4
4464
381
4
P（X160）（）.,,,,,,,,,,,,,,10分
4256
所以X的分布列为
X-320-200-8040160
P
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
,,,,,,,,,,,,,11分
E（X）
11272781
3202008040160
2566412864256
40，故均值E（X）
为40.,,12分
10
0.38【解析】（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则
11110312
P（A）=C（）C（）．,4分
33
2222
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为1
2
．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．,,,,5分
331
P（X=0）=
（1）
（1），
4510
339
P（X=2）=．,8分
4520
33339
P（X=1）=
（1）
（1），
454520
故随机变量X的分布列为：
X012
P
1
10
9
20
9
20
19927
EX012．,,,,
10202020
,10分
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，
1
YB（3,），
2
所以
13
EY3．,,12分因为EXEY，所以选择L2路线上班最好．,,
22
14分
0.39【解析】（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,⋯⋯⋯分
1
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
4
265
则P（A）1P（A）1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
381
（Ⅱ）X的可能取值为0,1
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