B
A）必是单射；B）必非单射；C）必是满射；D）必非满射。
7）设V、U、W是数域K上的线性空间，又设ϕ、;、ψ是都是V上的线性变换，则下列结论正
确的有个。
B
①Ker（ϕ+;）χKerϕ+Ker;；②Im（ϕ+;）χImϕ+Im;；
③KerϕχKer（ψϕ）；④ImϕχIm（ϕψ）。
A）1；B）2；C）3；D）4。
8）与数域K上的线性空间V={（a,b）a,bχK}同构的线性空间有个。
C
{|{
ab⎞|
①W={（a-b,a+b）a,bχK}；②W={|a+ba-b|a,bχK}；
|⎝⎝⎠|⎠
③W={（a+b,a+b）a,bχK}；④W={（a,a,b）a,bχK}
A）1；B）2；C）3；D）4。
二、填空题（32分.共8题,每题4分）
1）设向量组α1,α2,...,αr线性无关，⎭1=2α2+3α3+...+rαr，⎭2=α1+3α3+...+rαr，……，
⎭r=α1+2α2+...+（r-1）αr-1，⎭r+1=α1+2α2+...+（r-1）αr-1+rαr，则⎭1,⎭2,...,⎭r+1（选填
“线性相关”，“线性无关”，“无法确定”）。
线性相关
2）设I：
α1,α2,...,αs和II：
⎭1,⎭2,...,⎭t是线性空间V中两个向量组，向量组I可由向量组II线性表示，且r（I）=r（II），则向量组I与向量组II（选填“必等价”，“未必等价”），s与t（选填“必
相等”，“未必相等”）。
必等价，未必相等
3）设α1,α2,α3,α4都是4维列向量，A=（α1,α2,α3,α4）。
已知齐次线性方程组AX=0的通解是
k（0,1,1,0）'。
以A*表示A的伴随矩阵，则齐次线性方程组A*X=0解空间的维数是，而是它的一个基础解系。
3，α1,α2,α4或α1,α3,α4
4）设n元齐次线性方程组Ax=0和Bx=0分别有l,m个线性无关解向量，且l+m>n，则
（A+B）x=0（选填“必有”，“未必有”）非零解。
必有
5）设{⋂1,⋂2,...,⋂n}，{ψ1,ψ2,...,ψn}是V的两组基，（ψ1,ψ2,...,ψn）=（⋂1,⋂2,...,⋂n）P。
又若V中向量
α在基{ψ1,ψ2,...,ψn}下的坐标向量是X，则α在基{⋂1,⋂2,...,⋂n}下的坐标向量是。
PX
6）设
V1，V2
都是n维线性空间V的子空间，且
dim（V1+V2）=dimV1+1，则
dimV2-dim（V1V2）=。
1
{010⎞
⎝⎠
7）设ϕ是V到U的线性映射，且ϕ（⋂1,⋂2,⋂3）=（ψ1,ψ2）|001|，其中{⋂1,⋂2,⋂3}，{ψ1,ψ2}分别是V和U的一组基，则Kerϕ=，Imϕ=。
L（⋂1），U或L（ψ1,ψ2）
{0-1⎞
2⨯1
2⨯1
8）设A=||，由XAX定义了R
⎝⎠
上的线性变换ϕ，则ϕ的不变子空间是。
0，R
三、（6分）设向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。
问下列向量组
α1+2α2+α3，2α1+α2+2α3，α1+α2+α3是否也是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系？
为什么？
四、（10分）设ϕ是数域K上n维线性空间V的线性变换，α是V中一个向量，且满足ϕn-1（α）σ0，
ϕn（α）=0。
证明：
α,ϕ（α）,...,ϕn-1（α）是V的一组基，并求ϕ在这组基下的表示矩阵。
五、（10分）设A是n阶方阵且r（A）=r。
求证A2=A的充要条件是存在n⨯r矩阵S和r⨯n矩阵
T，使得A=ST，TS=Ir，r（S）=r（T）=r。
证明：
充分性。
直接计算A2=STST=SIT=A。
{Ir
⎞{Ir⎞
{Ir⎞
必要性。
对矩阵A，存在可逆矩阵P，Q使得A=P|0|Q=P|0|（Ir,0）Q。
令S=P|0|，
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
T=（Ir,0）Q，可证P，Q即为所求。
显然，S和T分别是n⨯r矩阵和r⨯n矩阵，且因P，Q可逆，所以
r（S）=r（T）=r。
下证TS=I。
由A2=A，得
P{Ir
⎞QP{Ir
||
0
⎞Q=A2
|
0
=A=P{Ir
⎞
0|Q。
（*）
|
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
因P，Q可逆，所以
{Ir
|
⎞{I
=r
0||
⎞QP{Ir
||
0
⎞
0|。
（**）
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
-1
-1{Ir⎞
{Ir⎞
（法一）（10级尹思文）将（*）等式两边分别左乘（Ir,0）P
，右乘Q
|0|，得（Ir,0）QP|0|=Ir，
即TS=Ir。
⎝⎠⎝⎠
（法二）（10级李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静）由（**），
r||r|
TS=（I,0）QP{Ir⎞=（I,0）{Ir
0
⎞QP{Ir
||
0
⎞{Ir⎞=（I,0）{Ir
|||r|
00
⎞{Ir⎞
0||0|=Ir。
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
{Ir⎞{Ir⎞{Ir⎞{TS⎞{TS⎞
（法三）（**）式=|0|（Ir,0）QP|0|（Ir,0）=|0|TS（Ir,0）=|0|（Ir,0）=|0|，故TS=Ir。
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
必要性。
（法四）（10级李荣刚）将A视为线性变换ϕ在n维线性空间V的某基下的表示矩阵，由同构对应，则ϕ2=ϕ。
设ϕ的秩为r，{⋂r+1,...,⋂n}是Kerϕ的一组基，将扩成{⋂1,...,⋂r,⋂r+1,...,⋂n}为V的一组基，则ϕ（⋂1）,...,ϕ（⋂r）线性无关，且可证{ϕ（⋂1）,...,ϕ（⋂r）,⋂r+1,...,⋂n}是V的一组基。
事实上，因为V的维数是n，因此只要证明{ϕ（⋂1）,...,ϕ（⋂r）,⋂r+1,...,⋂n}线性无关即可。
设
六、（10分）设V是数域K上n维线性空间，ϕ,ο是V上线性变换，且ϕ2=0，ο2=0，
ϕο+οϕ=idV，其中idV是V上恒等变换。
求证：
（1）V=Kerϕ♥Kerο；
（2）V必是偶数维线性空间。
附加题：
（10分）
设ϕ，ο是n维线性空间V上线性变换，且r（ϕ）+r（ο）n。
证明：
存在V上可逆变换⎬，使得
ϕ⎬ο=0。
证明：
（法一）设{⋂1,⋂2,...,⋂n}是V的一组基，ϕ和ο在该基下的表示矩阵分别是A和B。
{Ir⎞{0⎞
对A,B分别存在可逆阵P,Q,S,T，使得A=P|0|Q，B=S|I|T。
令C=Q-1S-1，
|||k|
|0||0|
⎝⎠⎝⎠
则C可逆，且ABC=0。
定义V上线性变换⎬（⋂1,⋂2,...,⋂n）=（⋂1,⋂2,...,⋂n）C，则⎬可逆，且ϕ⎬ο=0。
{Ip⎞{Iq⎞
（法二）（10侯晓宇，郑鹭鹏，郑鹊）如上设A=P|0|Q，B=S|0|T。
令
||||
|0||0|
{
|
C=Q-1|
I
|
⎝q
In-p-q
Ip⎞
|
|S-1。
|
⎠
⎝⎠⎝⎠
（法三）（10裴姗姗）设r（ϕ）=r,r（ο）=k，则r+kn，kn-r。
又设{⋂k+1,⋂k+2,...,⋂n}是Kerο
的一组基，将其扩为V的一组基{⋂1,...,⋂k,⋂k+1,...,⋂n}，则{ο（⋂1）,...,ο（⋂k）}线性无关，记ψi=ο（⋂i），
1ik，将{ψ1,...,ψk}扩为V的一组基{ψ1,...,ψk,ψk+1,...,ψn}。
再设{ψ1,...,ψk,ψk+1...,ψn-r}是Kerϕ的一
组基，将其扩为V的一组基{ψ1,...,ψk,ψk+1...,ψn-r,ψn-r+1,...,ψn}。
定义V上线性变换⎬:
ψiψi，1in。
则⎬可逆，且ϕ⎬ο=0。
（法四）（10吴璇）设r（ο）=k，即dimImο=k。
记{ψ1,ψ2,...,ψk}是Imο的一组基，扩为
{ψ1,...,ψk,ψk+1,...,ψn}为V的一组基。
设r（ϕ）=r，即dimImϕ=r，则dimkerϕ=n-r。
记{⋂1,⋂2,...,⋂n-r}是kerϕ的一组基，扩为
{ψ1,...,ψn-r,ψn-r+1,...,ψn}为V的一组基。
定义V上线性变换⎬:
ψi⋂i,1in，则⎬是V上可逆线性变换（因将V的基映射为V的基）。
下证ϕ⎬ο=0。
对任意αχV，ο（α）χImο
，ο（α）=c1ψ1+c2ψ2+...+ckψk。
因r（ο）+r（ϕ）=k+rn，所以
kn-r，且ϕ⎬（ψi）=ϕ（⋂i）0,1ik，进而
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