毕业论文大数定律在经济学中的应用.doc
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学校代码：
10206
学生学号：
051074204
白城师范学院
毕业论文（设计）
大数定律在经济学中的应用
Lawoflargenumbersineconomics
学生姓名：
安琦
指导教师：
邬伟三讲师
学科专业：
数学与应用数学
所在单位：
数学系
2011年6月
摘要
摘要
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一。
有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
这种情况下，偶然中包含着必然。
必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。
大数定律是概率论中的重要内容,它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用,较多文献给出了不同条件下存在的大数定律,并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性,但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。
本文就大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律,并结合它们存在的条件的不同,分析了它们各种适用的数学模型的特征,列举了它们在经济生活领域的应用,将理论具体化,,以使得枯燥的数学理论与实际想结合,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识。
关键词：
大数定律特征函数保险银行贷款
I
Abstract
Abstract
AhistoryofprobabilitylimittheoremisBernoulli,laterknownasthe"lawoflargenumbers."Probabilityrandomvariablesdiscussedinthearithmeticmeanlawofconvergencetotheconstant.Probabilitytheoryandmathematicalstatisticsoneofthebasiclaws.
Somerandomeventswithoutapattern,butmanyareregular,these"regularrandomincident,"alargenumberofrecurringconditions,oftenshowingstatisticsofalmostinevitable,thisruleisthelawoflargenumbers.
Inlayman'sterms,thistheoremisthatunderthesameconditionsinthetest,repeattestingseveraltimes,thefrequencyofrandomeventssimilartoitprobability.Inthiscase,includestheinevitableaccident.Theregularityandcharacteristicsoftheinevitablelargenumberofsamplestobereflected.
Lawoflargenumbersisanimportantpartofprobabilitytheory,itsrigorousmathematicalform,themostfundamentalexpressionoftherandomnatureofthephenomenon-anaverageofthestabilityofresults,itisthestatisticalregularityofrandomphenomenaofspecificperformance,applicationandeconomiclifeinmathematicshasamoreimportantrole,moreliteratureexistsunderdifferentconditionsaregivenlawoflargenumbers,andusinglawoflargenumbersandcentrallimittheorem,theconvergenceofmanymodels,buttheirscopeofapplicationandinreallifeTheapplicationsinvolvesmall.Thispapermadealawoflargenumbersofspecificanalysis,introducessomeofthemorecommonlawoflargenumbers,combinedwiththeirexistingconditions,theanalysisoftheirmathematicalmodelforavarietyoffeatures,listedtheminthefieldofeconomiclifetheapplicationofthetheoryspecific,inordertomaketheboringmathematicaltheoryandpracticewasintegratedsothatpeopleinthelawoflargenumbersofapplicationsinreallifehaveadeeperunderstandingofthevalue.
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字典
Keywords：
LawofLargeNumbersCharacteristicfunctionInsuranceBankloans
II
目录
目录
摘要 I
Abstract II
绪论 1
1特征函数 2
2大数定律 5
3大数定律的应用 8
总结 10
参考文献 11
致谢 12
绪论
绪论
概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式?
贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.
在实践中，人们发现事件发生的“频率”具有稳定性。
在讨论数学期望时，又看到在大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。
大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”和“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。
由于大数定律的一些证明涉及到特征函数的内容，所以对特征函数定义和性质做了简要的说明。
1
特征函数
1.特征函数
一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布.特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.
1.1定义
定义1设ξ、η为实值随机变量，称ζ=ξ+iη为复随机变量，这里＝-1，称为ζ的数学期望.
复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如具有与实数学期望类似的性质.
定义2设ξ为实随机变量，称
= （1.1.1）
为ξ的特征函数（Characteristicfunction），这里t是任意实数.
由于E||=1,因此对任意ξ，对一切t∈（--∞,∞），
（1）式都有意义.换句话说，对每个随机变量ξ（或者说每个分布函数F（x）），都有一个特征函数f（t）与之对应，它是定义在（--∞,∞）上的实变量复值函数.
特征函数是ξ的函数的数学期望，故
=.
特别，若ξ为离散型，P（,n=1,2,…,则
=. （1.1.2）
若ξ是连续型，其密度为p（x），则
=， （1.1.3）
它就是函数p（x）的傅里叶变换.
1.2性质
设f（t）为特征函数
性质1|f（t）|≤f（0）=1 （1.2.1）
f（-t）=f（t） （1.2.2）
证|f（t）|=||≤=1,而f（0）==1,故有（4）式.
又f（-t）===,得证（5）式.
2
特征函数
性质2f（t）在（--∞,＋∞）上一致连续.
证：
对于任意的t∈（--∞,＋∞）及ε>0,
|f（t+h）-f（t）|=||
≤=,
因为=1收敛，因此
又|=2|sin（hx/2）|,对上面取定的A,取δ=（2A）,当|x|≤ε/2，
从而|f（t+h）--f（t）|<ε.且从证明可见δ的选取与t无关.
性质3f（t）是非负定的：
对任意正整数n及任意实数,复数，有
0. （1.2.3）
证
==0.
这个性质是特征函数的最本质属性之一.事实上，我们有
波赫纳尔—辛钦（Bochner-Khinchine）定理函数f（t）为特征函数的充要条件是f（t）非负定，连续且f（0）=1.
定理的证明比较冗长，这里略去.它在理论上给出了一个判定特征函数的方法，但具体判定一个函数是否非负定是不容易的，所以本定理实际用处不大.许多具体问题要判定一个函数是否为特征函数常用另外的方法.
性质4若相互独立,,的特征函数为,则
. （1.2.4）
这是因为的独立导致间相互独立，故
=E.
这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.
3
特征函数
性质5若E存在，则f（t）是n次可微的，且当k≤n时，
. （1.2.5）
证由于==<+∞,因此对t一致收敛，故存在，且
==,
==.
特别,当E存在时，有.
性质6设η=aξ+b,a,b是任意常数，则
. （1.2.6）
4
大数定律
2.大数定律
2.1、切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，有下列切比雪夫不等式
（2.1.1）
证明：
（仅对连续性随机变量加以证明）
例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率
解：
由切比雪夫不等式
例2设随机变量X的方差为2，试根据切比雪夫不等式估计
解：
由切比雪夫不等式
2.2重要概念及性质
如果对任何是相互独立的，那么称变量是相互独立的。
此时，若所有的都有共同的分布，则称是独立同分布的随机变量列。
设为随机变量列，若存在随机变量，对于任意，有
或
则称随机变量列依概率收敛于随机变量，并用下面符号表示
：
或
在高等数学中，{}为确定性变量，若，这是指对任意给定的，可找到，对所大于的，都有，而不会有例外。
在概率论中，{}为非确定性变量（随机变量），{}依概率收敛于，意味着对任意给定的，当充分大时，事件“”发生的概率很大，接近于1，但并不排除事件“”的发生，只不过是它发生的可能性很小而已。
因此，依概率收敛的条件比高等数学中的收敛的条件要弱，具有某种不确定性。
设{}为一随机变量列，并且存在，令，若
则称随机变量列{}服从大数定律。
2.3重要定理
2.3.1.切比雪夫大数定律
设随机变量列相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界
，则对于对任意，有
证明：
设，则
代入切比雪夫不等式即得
特殊情形：
若具有相同的数学期望，则上式成为
证明：
设（第i次A发生）；（第i次A不发生），则
令，从而
代入切比雪夫不等式有
所以由极限的夹逼准则得
2.3.3．辛钦大数定律
设是相互独立的随机变量,而且有相同的分布,具有有限的数学期望
则对任意给定的正数a,有:
，其中
证明：
因为,是具有相同分布的随机变量序列,故它们有相同的特征函数.设它们的特征函数为f（t）,由于存在,故f（t）有展开式:
f（t）=f（0）+t+0（t）=1+iat+o（t）,其中o（t）表示关于t的高阶无穷小量.再由独立性知,的特征函数为
对任意取定的数t,有
而是连续函数,且是单点分布的特征函数,由逆极限定理知:
的分布函数弱收敛于F（x）.其中,，因此，，由
（2）式可知:
8
大数定律的应用
3.大数定律的应用
3.1大数定律在保险业中的应用
例1.已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加保险,在同一年里这些人死亡率为0.1%,参加保险的人在一年的头一天交付保险费,死亡是家属可以纵保险公司领取2000元的抚恤.求保险公司一年中获利不少于40000元的概;保险公司亏本的概率是多少?
解:
设一年中死亡的人数为x人.死亡概率为=0.001,把考虑10000人在一年里是否死亡看成0000重贝努里试验,保险公司每年收入为10000310=100000元出2000x元。
（1）保险公司获利不少于40000=P（100000-2000x）>40000}=P（0（2）保险公司亏本的概率:
P{2000x>10000}=P{x>50}=1-P{x≤50=1-P{0-10
3.161≤x-103.161≤50-103.161}=1-<（1.6542+<（-3.1641）=0.0008。
3.2大数定律在银行经营管理中的引用
为说明大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用，在此我们将结合浙江省台州路桥、泰隆城市信用社这两个非国有的中小银行蓬勃发展的例子来加以说明。
鉴于目前我国非国有经济已经在工业正价值中占到70％以上，提供着95％以上的新增就业，支撑着80%以上的经济增长率，但其获得的信贷资源却极为有限。
这种情况在很大程度上导致了非国有部门的投资、特别是中小非国有企业的投资难以明显增加。
因而尽管宏观政策已不再是信贷紧缩，但实际生活中却出现了“信贷萎缩”。
针对上述情况，有些经济学家已呼吁积极发展和非国有经济相适应的非国有银行体系。
事实上素以市场大省而闻名全国的浙江，其非国有中小银行的发展早几年就开始了，而且其中的一些已取得了骄人的业绩，如台州路桥、泰隆城市信用社等。
当然在成功的背后也不乏失败者，许多非国有小银行因经营不善而倒闭。
诚如企业一样，非国有中小银行在竞争中有胜有败也是正常现象，不过仔细探究其中的成败得失并加以总结还是很有现实意义的。
事实上已有一些专家学者就路桥、泰隆城市信用社蓬勃发展的现象进行了探讨。
他们认为：
路桥。
泰隆城市信用社这种非国有中下银行的根本上不同于国有或国家控股的传统金融机构，其产权安排清晰，激励约束机制完善，经营机制灵活，从源头上切断了一切非市场力量的不适当干预，与市场经济有着天然的亲和力和适应性，其竞争行为均按市场经济的效率原则进行，因而具有极强的生命力。
这两家银行在经营管理中已不知不觉地利用大数定律。
我们知道，由于非国有中小银行经营规模较小，因而只有在每笔贷款数目都不太大时，才可能向尽可能多的客户放贷（当前在贷款时对客户要作适当的选择）。
这样做尽管仍然会由于信息不对称以及另外一些因素而造成银行对每个借款人的贷款能力难以准确掌握，但是由于大数定律可知，在客户数量比较多时，所有贷出去的款项中会成为坏账的数量在总的贷款额中所占的比例会呈一个比较稳定的数值。
因而若银行的管理者能事先对坏账占贷款总数的比例有个较为准确的估计，并进而在制定贷款计划时就将这个比例考虑进去，就能使银行的经营风险降到较低水平。
而要做到这一点，就有赖于管理者的素质了，而上述两家信用社的老总由于拥有原来就在金融部门工作多年的经验，恰好能做到这一点。
另外，由大数定律所要求的银行实行每笔贷款的小额化，还有一个非常重要的作用，就是可以降低因借款人的败德行为（moralhazard）而给银行带来的损失。
在现实生活中不乏下列现象;一个人在借入钱的数额不大时，一般都是能准时归还（因这时若还不还钱所得的收益和由此所造成的名誉损失相比是得不尝失的），给人的感觉就是此人的信用很好，因而人们都乐于借钱给他；但当此人在借入了大笔的钱后，则他就可能携款潜逃或先将财产转移后再以经营亏空为由，并摆出一付要钱没有、要命有一条的样子，拒不还钱。
这种道德败坏行为会给银行造成巨大损失，严重时甚至会导致那些经营规模较小的银行倒闭。
需要指出的是，尽管非国有的银行体系在弥补国有金融体系缺陷。
促进非有经济发展上作出了不可磨灭的贡献，且今年随着非国有银行的不断发展，它将发挥越来越大的作用，但由于非国有银行普遍规模较小，经营者素质不高，技术落后，业务范围受擎，故其抵御金融风险的能力极弱，面临破产倒闭的情形时有发生。
因此非常有必要加强非国有银行机构的风险防范、化解与监管工作。
对非国有银行机构的监管既有来自政府和国有金融方面的，更应侧重于增强其内风险处理机制的功能，促进期内控体系的建立与完善。
因而努力降低经营风险，采取稳健踏实的经营方式并在此基础上不断发展壮大应成为非国有中小银行经营者的经营策略。
而从前面的分析中可知，如果非国有中小银行的经营者能充分利用非国有中小银行自身的灵活、便利和高效的优势，并能很好地领会和掌握大数定律的精髓并以此来指导自己的经营管理活动，做足做好小额化、零售化业务，那么非国有中小银行在国有大型银行的夹缝中照样能够稳健经营并且能不断发展壮大。
台州路桥、泰隆这两家非国有中小银行的成功事例事实撒谎能够也印证了这一点。
而从世界范围来看银行业务的零售化已渐成潮流，跨国银行中的大哥大——花旗银行就是靠其对中小企业、个人的零售业务来支撑的。
13
总结
总结
我们首先提出了大数定律的性质定理及其应用及在经济学中的应用管理，有助于专业人员管理提供参考，无疑对于教学也是十分有益的，有本文可以看出，大数定律通过基数非常大估计概率可以预测出结果及其期望结果，对于工作中的预测有非常积极的作用。
在当前的社会环境下，经济发展是重要问题。
通过条件期望可以预测小至一个公司的日常运作，达至世界经济的未来发展方向，并且可以根据它做出的预测做出相应的决策。
大数定律在经济学中的应用将会越来越为人们关注。
参考文献
参考文献
[1]严士健,刘秀芳.测度与概率.北京:
北京师范大学出版社,1994.
[2]OlavKallenbery.现代概率论基础.北京:
科学出版社,2001.
[3]严士健,王隽,刘秀芳.概率论基础.北京:
科学出版社,1982.
[4]钱敏平,龚光鲁.随机过程论.北京:
北京大学出版社,1992.
[5]N1N基赫曼,A1B1斯科罗霍德.随机过程论（第一卷）.
[6]魏宗舒等。
概率论与数理统计教程.北京：
高等教育出版社，1997.
[7]孙荣恒。
应用概率论。
北京：
科学出版社，2001。
致谢
致谢
在论文撰写过程中，得到了系里各位老师的支持与鼓励，尤其是指导教师邬伟三老师，从确定题目到定稿打印，一直不顾劳累，抽出时间对论文的写作目的和方向予以指导和改正。
对论文中出现的疑难问题，邬老师又帮忙查阅资料、文献，使论文能够顺利完成。
在此对高老师及系里的各位老师表示深深的感谢.
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