勾股定理Word格式.docx
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我们把较短的直角边叫做较长的直角边叫做斜边叫做
4.验证：
这是前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？
不妨作几个直角三角形检验一下：
分别以6厘米、8厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，上面的规律对这个三角形仍然成立吗？
5.结论：
6.应用迁移巩固提高
例1在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若c=15，b=12求a
（2）若a=12，b=5求c
例2在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若AB=15，AC=9求BC
（2）若AC=9，BC=12求AB
7练一练
1）已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长。
2）.△ABC中，∠C=90°
若a=3cm，b=4cm，则c=cm
若a=12cm，c=13cm，则b=cm
若c=20cm，a=12cm，则b=cm
若a:
b=3:
4,c=15cm,则a=cm,b=cm
四.小结与反思
1.这节课给我的收获是什么
2.在探索问题过程中遇到挫折，你会怎么办？
3.对于本节课你还有疑问的地方吗？
五.课堂练习：
1.如图,如果正方形A的面积是16,正方形B的面积是9,那么正方形C的面积是;
如果正方形B的面积是36,正方形C的面积是100,求：
正方形A的面积.
2.如图,直角三角形ABC中,两条直角边AC,BC的长分别是12厘米和16厘米,CD是斜边AB上的高,
请计算:
（1）直角三角形ABC的面积.
（2）斜边AB的长.（3）斜边AB与AB上的高CD的积.（4）通过这个问题的求解,你发现直角三角形的两条直角边的乘积与斜边及斜边上的高的乘积有什么关系?
2.1勾股定理
（2）
1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.
1.用面积的方法说明勾股定理的正确.2.勾股定理的应用.
勾股定理的应用.
一、引入：
1、阅读课本，完成下列问题:
（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。
图
（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。
图
（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.你能用不同方法表示大正方形的面积吗?
（1）
（2）（3）（4）
2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图（4）所示的图形。
大正方形的面积可以表示为________________________________,又可以表示为_______________________________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。
用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法（请逐一说明）。
归纳其共有的证明思路：
利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。
二．自学、合作探究：
（一）自学、相信自己：
完成课本的练习
（二）思索、交流：
1、在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°
（1）已知：
a=6，ｂ=8，
（2）已知：
a=40，c=41，求b；
（3）已知：
c=13，b=5，求a；
（4）已知:
a:
4,c=15,求a、b.
2、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为。
3、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方
（三）应用、探究：
例1、如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形∠B=90°
.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
三．教学体会：
本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形应该构造直角三角形来解决。
四．课堂练习
1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字
母A所代表的正方形面积是_________。
2、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为。
3、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为。
4、以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝。
5、拼图填空：
剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.
（1）拼图一：
分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________（填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式表示为________.
（2）拼图二：
用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有____个正方形，它们的面积之间的关系是________，用关系式表示为_____.
①
①②③④
1、填空
在RtΔABC中,∠C=900.
①若a=6,c=10,则b=____.②若a:
4,c=10,则a=____,b=____.
③若a=6,b=8,则斜边c上的高h=______.
2、选择：
若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）
A.6B.8C.10D.以上答案均不对
如图，△ABC中，∠B=90°
，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）
A．1B．3C．4D．5
3、①如图,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。
②如图5,这是美国第20届总统加菲尔德的构图,其中RtΔABC
和RtΔBED是完全相同的.AC=BD=b,CB=DE=a,∠C=∠D=90°
AB=BE=c.
请你试用此图形验证勾股定理的正确性。
③如图6,以ΔABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?
请你说明理由。
2.2神秘的数组
1、会阐述直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理）.
2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.
3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.
利用三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形这一方法进行直角三角形的判定.
了解勾股数的由来，并能用它来解决一些简单的问题.
一课前学习：
阅读课本，完成下列问题：
1、请画一个三边分别为3cm,4cm,5cm的三角形,你有什么发现？
2、古巴比伦泥板上的数组揭示了什么奥秘？
（一）
复习提问：
⑴我们学过的直角三角形的判定方法有哪些？
（定义：
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
）
我们知道把等腰三角形的性质逆着用，就是等腰三角形的判定方法，那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢？
猜想：
三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
∵a2+b2=c2
∴ΔABC为RtΔac
这个结论与勾股定理有什么关系？
b
抢答：
1、下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A、3，4，5 B、10，6，8 C、4，5，6 D、12，13，5
2、若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A、161 B、289 C、17 D、167或289
3、4个三角形的边长分别为：
①a=5,b=12,c=13;
②a=2,b=3,c=4;
③a=2.5,b=6,c=6.5;
④a=21,b=20,c=29.其中，直角三角形的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
三、例题教学
例1：
一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与
∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：
AD=4，AB=3,DC=12,BC=13，你能根据所给的数据说明这个零件是否符合要求吗？
例2：
设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a=n
-1,b=2n,c=n
+1。
问：
△ABC是直角三角形吗？
四、巩固练习1、下列三角形是直角三角形吗？
为什么？
2、下列各组数是勾股数吗？
⑴12，15，18；
⑵7，24，25；
⑶15，36，39；
⑷12，35，36.
3、古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角。
你
认为这样做有道理吗
4、已知一个三角形的三边分别3，4，5（为非零自然数），则这个三角形为＿＿＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5，如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm
，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积。
6、要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？
1、已知:
如图,在ΔABC中,D是BC边上的一点，AB=15,
AC=13，AD=12,CD=5.求：
BC的长.
五．教学体会：
判定一个三角形是不是直角三角形？
你有哪些方法？
六．课堂练习
1、在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（）A.a＋b＝cB.a:
b:
c＝3:
4:
5C.a＝b＝2cD.∠A＝∠B＝∠C
2.若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为（）
A.6B.4.8C.2.4D.8
3.把三边分别BC＝3,AC＝4,AB＝5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC´
则CC´
的长为（）A.
B.
C.
D.
4.在△ABC中,AB＝13,AC＝15,高AD＝12,则BC的长为（）
A.14B.4C.14或4D.以上都不对
5、以△ABC的三边为边长的三个正方形的面积分别为9、25和34，则这个三角形的面积为。
6.如图，在四边形ABCD中，已知：
AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.试说明AC⊥CD的理由.
7.已知：
如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°
，AB＝13，BC＝12.求图形的面积.
2.7勾股定理的应用
（1）
1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中
“转化”思想的应用
一．课前学习：
阅读课本，完成下列各题：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°
，如果b＝15，c＝17，求a
2. 问：
我们以前已学过了中哪三种判断直角三角形的方法？
（1）什么叫勾股定理？
（2）勾股定理的逆定理是 .
3、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”.他们仅仅少走了多少步路（假设2步为1米），却踩伤了花草？
4、自学课本中的例1、例2.
二．自学、合作探究：
1、练习：
课本练习1、2.
2、如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，边长分别a、b、c（c表示斜边）然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，三个圆的面积分别记为S1、S2、S3，试探索三个圆的面积之间的关系.
（二）应用，探究
例1、校园内各室的分布及相关数据所示，戴老师在某一时段的行程如下：
办公室教室实验室 仪器室 办公室.已知：
AB＝80m，AD＝82m.在此期间，
戴老师走了多长的路（结果保留3个有效数字）？
2.如图，一张宽为3，长为4的长方形纸片ABCD，沿着对角线BD对折，点C落在点C1的位置，BC1交AD于E.求AE的长.
四．课堂练习
1、等腰直角三角形三边长度之比为（）
A.1：
1：
2B.1：
C.1：
2：
D.不确定
⒉若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18cmB.20cmC.24cmD.25cm
⒊一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是（）
A.1.5mB.0.9m C.0.8m D.0.5m
⒋如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14.则AB=_____.
⒌如图是一个育苗棚，棚宽a=6m，棚高b=2.5m，棚长d=10m，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m2．
⒍在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要
___________m．
1甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h，甲往东走了4km，乙往南走了6km．
⑴这时甲、乙两人相距多少km？
⑵按这个速度，他们出发多少h后相距13km？
2.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子至多需要多长？
3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°
，∠C=45°
，BC=2AD，CD=10
，求这个梯形的面积．
4.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°
，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．求这块草坪的面积．
2.7勾股定理的应用
（2）
实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中
阅读课本，完成下列问题:
如何求出图中的x、y、z
2、学生自学例3、例4
1、完成课本练习1、2、3
2、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米?
（提示:
画出图形建立直角三角形）
3、已知等腰△ABC的周长为26,AB=AC,且AB=BC+4,
求:
⑴底边BC上的高。
⑵△ABC的面积和一腰上的高。
1、.已知：
如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.求△ABC的面积.
如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
四．课堂练习：
⒈已知：
如图①，在Rt△ABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A.2B.3C.4D.5
⒉在上题中的Rt△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为DE（如图②），则CD的长为（）A.1.50B.1.75C.1.95D.以上都不对
⒊一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）
A.440mB.460mC.480mD.500m
⒋已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为______________.
⒌旗杆上的绳子垂到地面还多出1m，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m.
B类
1,如图，已知：
在Rt△ABC中，∠ACB=90º
，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC
求MN的长.
2.若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16cm,那么它的面积为（）
A.48cm2B.36cm2C.24cm2D.12cm2
3、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,求：
爬行的最短路程
第二章小结与思考
（2）
1、能灵活应用勾股定理、直角三角形的判定条件、平方根、立方根、实数相关知识解决一些有价值的问题，提高学生用所学的知识探索、分析、解决问题的能力，引导学生用数学的眼光看待问题。
2、培养学生用数学的思维方式去观察思考、分析解决实际问题，增强学生的应用意识。
3、让学生感受数学与生活的密切关系，激发学生教学数学的兴趣。
重点:
难点:
一．课前准备：
1、若
，则a=，若
，则a=，若∣x∣=
，则x=。
2、若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为。
3、若
＋
=0，则x＋y=。
4、若一个正数的算术平方根为a，那么比这个正数大1的正数的平方根是。
5、请完成以下未完成的勾股数：
（1）9,40,______;
（2）8,______,17.
6、已知a的平方根为x-4和x+2，试求a和x的值。
7、图中阴影部分是一个面积为25的正方形，
则图中直角三角形斜边长是.
二、应用、探究：
1、
如图,是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸（单位：
mm）,计算两孔中心A和B的距离为_________mm.
1如图,是一面长方形彩旗完全展开时的尺寸图（单位:
cm）.
其中长方形ABCD是由双面布缝制的穿旗杆用的旗裤,DCEF为长方形绸缎旗面.
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆顶端到地面的高度为220cm,
在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图,求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
h
三．课堂练习
A类
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°
，AB＝6，AC＝BC，求AC长.
2、已知等边三角形ABC的边长为2，求等边三角形ABC的面积.
3、一个等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，求底边上的高.
4.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°
，AB=BC=CD=1，OA=2，求OD的长.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°
，三边长分别为4，5，x，求x2.
1．下列说法错误的个数是（）
①无理数都是无限小数；
②
的平方根是
；
③
④与数轴上的点一一对应的数是实数。
A、1个B、2个C、3个D、4个
2、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°
，以△ABC的各边为边在△ABC
外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积
，S1=81、S2=225，则S3=.
3、如图，矩形ABCD中，BC=
，DC=1，如果将该矩形沿对角线肋折叠，
使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是．（保留根号）
4、如图：
，
……
在OA1、OA2、OA3、…OA25、这25条线段中，长度为整数的有条，长度是无理数的最长的一条线段的长度为.
5、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°
到△CBE的位置，若BP＝a.求：
以PE为边长的正方形的面积.
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