研究性课题与实习作业线性规划的实际应用高二数学教案模板.docx
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研究性课题与实习作业线性规划的实际应用高二数学教案模板
研究性课题与实习作业：
线性规划的实际应用_高二数学教案_模板
教学目标
（1）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（2）了解线性规化问题的图解法；
（3）培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力；
（4）引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
教学建议
一、重点难点分析
学以致用，培养学生“用数学”的意识是本节的重要目的。
学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：
线性规划在实际生活中的应用。
困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，就是本节课的教学难点。
突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情况，并与所学知识紧密结合起来。
二、教法建议
（l）建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率．
（2）课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一般解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫；另一方面，也为接下来到外面分组调研积累经验，让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作，共同完成活动任务．
（3）确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者根据本小组实际自拟课题．
（4）活动安排，建议要求各小组分式明确，团结协作，听从指挥，注意安全．学生研究活动的成果，可以用研究报告或论文的形式体现．一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不能越俎代庖．
（5）对学生在课余时间开展的研究性课题，建议作做好成果展示、评估和交流．展示不仅可以让全体学生来分享成果，享受成功的喜悦，而且还可以锻炼学生的组织表达能力，增强学生的自信心．通过评估，可以使同学清楚地看到自己的优点与不足．通过交流研讨，分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升．
教学设计方案教学目标
（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。
教学步骤
（一）引入新课
我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。
那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？
又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？
（二）线性规划问题的教学模型
线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数字模型是
已知其中都是常数，是非负变量，求的最大值或最小值，这里是常量。
前面我们计论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。
比如线性不等式不能用图形来表示它，那么对四元线性规划问题就不能用图形来求解了，对这样的线性规划问题怎样求解，同学们今后在大学学习中会得到解决。
线性规划在实际中的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有：
1．物调运问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？
2．产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？
3．下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？
4．研究一个例子
下面的问题，能否用线性规划求解？
如能，请同学们解出来。
某家具厂有方木料，五合板，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料、五合板，生产每个书橱需要方木料、五合板，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？
如何只安排生产书橱，可获利润多少？
怎样安排生产时可使所得利润最大？
A．教师指导同学们逐步解答：
（1）先将已知数据列成下表
（2）设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。
分析：
显然这是一个二元线性问题，可归结于线性规划问题，并可用图解法求解。
（3）目标函数
①在第一个问题中，即只生产书桌，则，约束条件为
∴ 最多生产300张书桌，获利润元
这样安排生产，五合板先用光，方木料只用了，还有没派上用场。
②在第二个问题中，即只生产书橱，则，约束条件是
∴ 最多生产600张书橱，获利润元
这样安排生产，五合板也全用光，方木料用去了，仍有没派上用场，获利润比只生产书桌多了48000元。
③在第三个问题中，即怎样安排生产，可获利润最大？
，约束条件为
对此，我们用图解法求解，
先作出可行域，如图阴影部分。
时得直线与平行的直线过可行域内的点M（0，600）。
因为与平等的过可行域内的点的所有直线中，距原点最远，所以最优解为，即此时
因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。
B．讨论
为什么会出现只生产书橱，可获最大利润的情形呢？
第一，书橱比书桌价格高，因此应该尽可能多生产书橱；第二，生产一张书橱只需要五合板，生产一张书桌却需要五合板，按家具厂五合板的存有量，可生产书橱600张，若同时又生产书桌，则生产一张书桌就要减少两张书橱，显然这不合算；第三，生产书橱的另种材料，即方木料是足够供应的，家具厂方木料存有量为，而生产600张书橱只需要方木料。
这是一个特殊的线性规划问题，再来研究它的解法。
C．改变这个例子的个别条件，再来研究它的解法。
将这个例子中方木料存有量改为，其他条件不变，则
作出可行域，如图阴影部分，且过可行域内点M（100，400）而平行于的直线离原点的距离最大，所以最优解为（100，400），这时（元）。
故生产书桌100、书橱400张，可获最大利润56000元。
总结、扩展
1．线性规划问题的数字模型。
2．线性规划在两类问题中的应用
布置作业
到附近的工厂、乡镇企业、商店、学校等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用，或提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答。
把实习和研究活动的成果写成实习报告、研究报告或小论文，并互相交流。
探究活动
如何确定水电站的位置
小河同侧有两个村庄A，B，两村庄计划于河上共建一水电站发电供两村使用．已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300m和700m，且两村相距500m，问水电站建于何处，送电到两村电线用料最省？
[解]视两村庄为两点A，B，小河为一条直线L，原问题便转化成在直线上找一点P，使P点到A，B两点距离之和为最小的问题．
以L所在直线为轴，轴通过A点建立直角坐标系，如图所示．作A关于轴的对称点，连，与轴交于点P．由平面几何知识得，点P即为所求．据已知条件，A（0，300），（0，－300）．过B作轴于点，过A作，于点H．
由，，得B（300，700）．于是直线的方程为
即
所以P点的坐标即为与轴的交点（90，0），即水电站应建在河边两村间且离A村距河边的最近点90m的地方
北师大版数学（七年级上）新教材教案生活中的图形
（二）
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十堰市第六中学雷小勇 2002-12-1711:
26:
07
教学目标1.从现实生活中抽象出点、线、面等图形，培养学生的观察能力。
2.掌握点、线、面、体之间的关系。
教学重、难点重点是点、线、面、体之间的关系。
难点是对“面动成体”的理解。
教学过程
一、 引入
上节课我们观察和讨论了生活中的一些几何体，今天再一起来寻找构成图形更基本的元素面、线、点。
1. 展示投影（建筑、生活实物等）让学生找出其中的平面、曲面、直线、曲线、点等。
2. 你能举出更多生活中包含平面、曲面、直线、曲线、点等图形的例子吗？
二、 新授
1. 由观察总结出：
面与面相交得到线，线与线相交得到点。
2. 投影展示正方体和圆柱体
议一议：
1）正方体是由几个面围成的？
圆柱体是由几个面围成的？
它们都是平的吗？
2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？
它们是直的还是曲的？
3）正方体有几个顶点？
经过每个顶点有几条边？
和学生共同总结得到：
体由面组成，面由线组成，线由点组成。
3. 投影展示课本P6想一想图形（动态）
与学生共同填写：
点动成 ，线动成 ， 动成体。
4. 你能举出更多反映“点动成线，线动成面，面动成体”的例子吗？
5. 课堂练习：
投影展示长方形（矩形），想一想将长方形绕其中一边旋转一周，得到什么几何体？
教师用投影动态演示旋转情况，加深学生印象，从而化解难度。
三、 小结
1. 生活中图形丰富多彩，点、线、面都是构成图形的基本元素。
2. 掌握点、线、面、体之间的关系。
四、作业 P7习题1.2.
五、课外作业
自己动手用一张白纸经过裁剪围一个三棱柱（不必粘贴），再围一个四棱柱及一个五棱柱。
（注意：
可先找一些实物研究）
函数的图像
教学目标
（一）知道函数图象的意义；
（二）能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
（三）能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值.
教学重点和难点
重点：
认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象.
难点：
对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系.
教学过程设计
（一）复习
1.什么叫函数?
2.什么叫平面直角坐标系?
3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标?
什么叫点的纵坐标?
4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A（答：
A（3，5））.
5.请在坐标平面内画出A点.
6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?
反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?
这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?
（答：
叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应）
（二）新课
我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示.像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数.
这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示.
具体做法是
第一步：
列表.（写出自变量x与函数值的对应表）先确定x的若干个值，然后填入相应的y值.
（这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法）
第二步：
描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点.也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点.
第三步：
连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象.
例1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：
（1）y=-3x;
（2）y=-3x+2;（3）y=-3x-3.
分析：
按照列表、描点、连线三步操作.
解：
它们的图象分别是图13-25中的
（1），
（2），（3）.
例2某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：
（1）在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点.把12个点画在同一直角坐标系中.
（2）按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来.
（3）解读图像：
从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的.
（4）如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?
解：
（1），
（2）见图13-26.
（3）产量上升：
1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升.产量下降：
8月到9月，9月到10月.产量不升不降：
2月到3月；6月到7月，7月到8月.
（4）过x轴上的4.5处作y轴的平行线，与图象交于点A，则点A的纵坐标约4.5，所以4月15日的产量约为4.5吨.
（三）课堂练习
已知函数式y=-2x.用列表（x取-2，-1，0，1，2），描点，连线的程序，画出它的图象.
（四）小结
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1.解析式法——用数学式子表示函数关系.
2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系.
3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合，叫做这个函数的图像.用图象来表示函数y与自变量x对应关系.
这三种表示函数的方法各有优缺点.
1.用解析法表示函数关系
优点：
简间明了.能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算.
缺点：
在求对应值时，有进要做较复杂的计算.
2.用列表法表示函数关系
优点：
对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便.
缺点：
表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律.
3.用图象法表示函数关系
优点：
形象直观.可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化.
缺点：
从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点.因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像.
（五）作业
1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有（）.
（A）（a）,（b）,（c）（B）（b）,（c）,（d）（C）（b）,（c）（e）（D）（b）,（d）,（e）
2.函数的图象是图13-28中的（）.
3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x（cm）,面积为y（cm2）.
（1）以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；
（2）列表、描点、连线画出此函数的图象.
4.
（1）画出函数y=-x+2的图象（在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图）；
（2）判断下列各有序实数地是不是函数.y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：
5.画出下列函数的图象：
（1）y=4x-1;
（2）y=4x+1.
6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象.根据图象回答，在这一天：
（1）8时，12时，20时的气温各是多少；
（2）最高气温与最低气温各是多少；
（3）什么时间气温高，什么时间气温最低.
7.画出函数y=x2的图象（先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点）；
8.画出函数的图象（先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点）：
作业的答案或提示
1.选（C）.因为对应于x的一个值的y值不是唯一的.
2.选（D）.当x＜0时，｜x｜=-x,所以,当x＞0时，｜x｜=x,所以
3.
（1）y=x（6-x）其中0＜x＜6，（图13-30）.
（2）
4.
5.
见图13-32.
6.
（1）8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃.
（2）最高气温为12℃，最低气温为2℃.
（2）
（2）14时气温最高，4时气温最低.
7.
课堂教学设计说明
1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标（有序实数对）与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应.把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法.
2.本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系.为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应.接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤.
3.教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力.对函数图象功能有一个完整的认识.
4.在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点.有利于对函数概念的透彻理解.
5.作业中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助.
第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应.而（b）,（c）,（e）都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数.本题还训练解读形的能力.
第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号对，必须分x≥0与x＜0讨论.
第3题，训练学生根据已知条件建立函数解析式，并列表、描点、连线画出图象的能力.
这些都是学习函数问题时应具备的基本功.
——一节美国数学课的思考
案例片段
退位减法
教师出示算式：
42-27=?
（提示学生借用回形针来思考和寻求这个算式的答案）
师：
同学们，有谁来说说42-27表示什么?
怎么去找到答案?
生1：
我还剩多少个?
我有42个回形针，用了27个，还剩多少个回形针?
学生操作：
（1）摆4链（每链10个）和2个回形针在桌上，把其中一链拆开，成3链与12个；
（2）取走2链与7个回形针；
（3）数一数剩下多少个，并且决定剩下的要排成一链加5个或是15个。
生2：
我比别人多几个?
我有42个回形针，金吉有27个回形针，我比金吉多几个回形针?
学生操作：
（1）摆4链和2个回形针在桌上；
（2）再摆2链与7个回形针在桌上；
（3）为了使42个与27能互相配合计算，42里面要有一链被拆散；
（4）拆散42中的一链，回形针成为3链与12个；
（5）两组对齐后，各取走7个单独的回形针；
（6）两组对齐后，各取走2个链的回形针；
（7）数一数，我比金吉多了一链加5个或单独15个回形针。
生3：
她还需要多少个?
克拉蒂有27个回形针，她需要42个回形针，她还需要多少个回形针?
学生操作：
（1）摆4链和2个回形针在桌上；
（2）摆2链和7个回形针在桌上；
（3）为了使42能与27个配合，42里面的一链必须拆散；
（4）拆散42中的一链，成3链和12个；
（5）将两组中的链和单个的回形针配对；
（6）数一数，克拉蒂还需要一链加5个或单独15个回形针。
．．．．．．
【案例反思】
一、计算教学应关注“算式的意义”。
“问题教学与运算教学紧密结合”是《全日制小学数学课程标准》的一个重大变化，小学数学教材中不再专门设置应用题的教学单元。
这种变化对传统的计算教学提出了新的挑战，由单纯的计算技巧训练转向算式意义的理解，由低层次的“量的学习”转向高层次的“质的学习”。
在美国的教学案例中，教师把理解退位减法的法则与解决实际问题有机的结合在一起。
启发学生多视角的思考减法算式的意义，从“还剩多少”到“谁比谁多（少）”再到“还需要多少”，充分尊重了学生的生活经验。
在加深算式意义理解的同时，突出了减法的实际应用价值，提高了学生利用所学知识解决实际问题的能力。
英国著名教育家迪恩斯认为，学生掌握数学意义必须从他们的熟悉的环境中实现，要适合儿童的兴趣、能力和个人的亲身经验。
案例中的美国教师巧妙的借助回形针来引导学生思考，从学生的实际生活情境出发理解算式的意义。
利用这种具体化的学具，有效地发展了学生对数学知识的认识和应用数学知识的能力。
二、计算教学应关注数学思维的培养。
在小学阶段，学生的思维是一个具体形象思维和抽象逻辑思维同时获得发展的时期，处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。
皮亚杰曾指出，逻辑思维是儿童数学学习中的本质要求，是儿童综合智力发展的重要途径之一，儿童要理解数学的意义，就必须掌握一定的逻辑规则。
然而，反思美国的教学案例，则忽视了学生思维抽象性的发展，基本停留在具体操作水平上，缺乏对一般计算法则的概括和提炼。
因此，在计算教学中不仅要关注算式的意义，突出计算的应用性，而且还要关注学生思维的发展，引导学生归纳出一般的计算法则，在归纳过程中培养学生的抽象思维能力。
譬如，在美国的教学案例中，教师可以加强三次操作过程的对比，引导学生发现三次操作过程的相同点：
即“42里面的一链必须拆散”，为学生理解“借一当十”做好铺垫。
还可以引导学生在头脑里面想一想自己的操作过程，并用自己的语言表述出来，帮助学生实现“实物操作”向“算法操作”的自然过渡，从而促使学生抽象思维能力的发展。
三、计算教学应关注数学思维策略的发展。
通过计算教学可以逐步发展学生的数学思维，同时也可以促进学生数学思维策略的形成。
美国教师的教学就关注了学生“比较策略”和“相等策略”的发展。
例如，学生在解决“我比别人多几个”时，体验了一种比较的数学思维策略，加深了学生对减法意义的理解，渗透了一种“联系”的数学思想，产生“不把相关量联系起来就无法解决问题”的意识。
再如，学生在解决“她还需要多少个”时，体验了一种“相等”的数学思维策略，领悟了“通过调整使两个集合相等”的方法，体会到集合之间的一一对应的数学思想。
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