中科院信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案.doc
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中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：
信号与系统
一、已知当输入信号为时，某连续时间LTI因果系统的输出信号为，和的波形如图A-1所示。
试用时域方法求：
（共26分）
1.该系统的单位阶跃响应，并概画出的波形；（12分）
2.在系统输入为图A-2所示的时的输出信号，并概画出的波形。
（14分）
图A-1图A-2
二、由差分方程和非零起始条件表示的离散时间因果系统，当系统输入时，试用递推算法求：
（共16分）
1.该系统的零状态响应（至少计算出前6个序列值）；（10分）
2.该系统的零输入响应（至少计算出前4个序列值）；（6分）
三、已知连续时间信号毫安，若它是能量信号，试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它在单位电阻上消耗的平均功率。
（共14分）
四、已知是周期为4的周期序列，且已知8点序列，，的8点DFT系数为：
其他。
试求：
（共24分）
1.周期序列，并概画出它的序列图形；（12分）
2.该周期序列通过单位冲激响应为的数字滤波器后的输出，并概画出它的序列图形；（12分）
五、已知是最高频率为4KHz的连续时间带限信号，（共24分）
1.若对进行平顶抽样获得的已抽样信号如图A-3所示，试由恢复出的重构滤波器的频率响应，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）
图A-3
2.你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？
为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应作怎样的修改？
（8分）
六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：
（共22分）
1.它的系统函数及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）
2.概画出该数字滤波器的幅频响应（或）。
（10分）
图A-4
七、某连续时间实的因果LTI系统的零、极点见图A-5，并已知，其中为该系统的单位冲激响应。
试求：
（共24分）
1.它是什么类型的系统（全通或最小相移系统），并求（应为实函数）；（14分）
2.写出它的线性实系数微分方程表示；（2分）
3.它的逆系统的单位冲激响应，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗？
（8分）
图A-5
参考答案
一、解
1．按照卷积积分的微分性质，有：
显然，，并由波形微分得到波形如图A-6所示，即
即：
因此，单位阶跃响应为：
的波形如图A-7所示。
图A-6图A-7图A-8
2．由1.小题已求得：
，则有，
该LTI系统当输入时的输出信号为：
其中
由图1.2可得到：
将代入得所求系统输出为：
的波形如图A-8所示。
二、解：
1．零状态响应的方程可以化为：
，即
且有。
当输入时，递推计算出零状态响应的前6个序列值分别为：
；；；；；。
2．零输入响应的递推方程可以化为：
，且有。
递推计算出的零状态响应的前4个序列值分别为：
；；；。
三、解：
设：
，则有：
；
。
由于仅仅是对的时延；是对的调制；是能量信号，整个是能量信号。
利用帕什瓦尔定理求连续时间信号在单位电阻上消耗的能量：
因为：
，根据傅立叶变换的对称性，有
。
令，则有
，即：
因此，。
由傅立叶变换的时移性质，得
再根据傅立叶变换的调制性质，有
因此，的幅度频谱为
又因为：
的幅度频谱如图A-9所示。
图A-9
在单位电阻上消耗的能量为：
四、解：
1.先利用IDFT求：
即
计算得到：
是以周期为8的周期延拓，它的序列图形如图A-10所示。
图A-10
即
或者，由于是周期为4的周期序列，8点序列，包含了的两个完整的周期。
根据DFT的性质，4点序列，的4点DFT系数为：
，其中，就是已知的8点DFT系数，再利用4点序列的序列值：
。
是以4的周期延拓，其序列图形如图A-10所示。
2.解：
先求离散时间LTI系统的频率响应
令：
和，则有，在主值区间内。
图形如图A-11所示。
图A-11
图A-12
根据频域卷积性质和频移的频移性质，则有
。
的图形如图A-12所示。
因此，的DFS系数为：
谱线间隔为
通过后的输出也是周期为4的周期序列，它的DFS系数为
，谱线间隔为
由DFS的合成公式或DTFT反变换，输出序列为
它的序列图形如图A-13所示。
图A-13
五、解：
1．图A-3的平顶抽样信号可表示为
（5-1）
其中
（5-2）
是零阶保持系统的单位冲激响应。
的波形如图A-14所示。
由于带限信号的最高频率为4kHZ，抽样间隔T=125微秒，即抽样频率为8kHZ，故上述抽样是临界抽样。
若令：
（假设如图A-14所示）
和
图A-14图中
根据傅立叶变换的频域卷积性质和时域卷积性质，则有
（5-3）
其中，和分别是单位周期冲激串和（5-2）式表示的零阶保持系统的傅立叶变换，且有
其中是线性相移因子。
的实部如图A-14所示，把他们代入（5-3）式，得到
（5-4）
的实部如图A-15所示。
如果要从恢复出，只要把变成即可。
由图A-14和图A-15，以及（5-4）式可知，为了，重构滤波器应为
，其中，（5-5）
所求重构滤波器的幅频特性和相频特性如图A-15所示。
图A-15图中
2．由1.小题求得的所求重构滤波器是不可实现的，理由如下：
1）的过渡带等于0，其单位冲激响应，即它是一个连续时间非因果滤波器；
2）它的相频特性意味着超前，也无法做到。
为了从图A-3所示的平顶抽样信号中实现无失真恢复原信号，针对上述两点理由，需要做两个修改：
1）采用过抽样，给重构滤波器留出保护带，比如抽样率增加到10KHz；
2）重构滤波器修改为
，（5-6）
在的过度带范围内，任意，只要可实现就行。
这样，通过（5-6）式的重构滤波器的输出为。
六、解：
1．由图A-4所示的信号流图可得：
，即：
（6-1）
（6-2）
式（6-1）代入式（6-2）得
根据系统函数的定义得该数字滤波器的系数函数为
，
由于，且，所以，对应的系统频率响应为：
其中：
。
因此，一阶系统函数是一阶全通函数。
是4阶FIR滤波器的系统函数，两者相乘即为两个滤波器级联，其级联实现方框图见图A-16。
图A-16
2．由1.小题求得的系统函数可写为：
其中，；，它是一个全通系统，极点，零点；和，它是FIR滤波器。
因此，数字滤波器频率响应为：
，该数字滤波器幅频响应为：
其中，，。
FIR滤波器的单位冲激响应为
序列图形见图A-17，其频率响应为：
它的幅频响应为：
，如图A-18所示。
因此，该数字滤波器幅频响应为：
，如图A-19所示。
图A-17图A-18
图A-19
七、解：
1．由于该滤波器的零点全部在S左半平面，因此，该因果系统为最小相位滤波器，由图A-5的系统零、极点分布，可写出其系统函数为
，
由于，由可知，
，因此，。
最终得到该系统的系统函数及其收敛域如下：
，
将上述有理系统函数用部分分式展开为
由于是因果LTI系统，其因此，对上述部分分式反拉氏变换求得
2．由系统函数，可得
根据单边拉斯变换的微分性质，可得系统输入输出微分方程为：
3．该系统的逆系统之系统函数及其收敛域为
，
并进一步展开为部分分式，即
，
这是一个因果稳定的系统函数，对上述部分分式进行反拉氏变换求得
因此，该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。
中科院2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：
信号与系统
一、试求解下列小题：
（每小题10分，共60分）
1.已知一个以微分方程表示的连续时间因果LTI系统，当其输入信号为时，试必须用时域方法求该系统的输出，并概画出和的波形。
2.某稳定的连续时间LTI系统的频率响应为，试求其单位阶跃响。
3．已知序列值为2、1、0、1的4点序列，试计算8点序列（其中为整数）离散傅立叶变换,0,1,2,3,4,5,6,7。
4．概画出离散时间序列的序列图形，并求它的Z变换，以及概画出的零极点图和收敛域。
5．某个实际测量系统（LTI系统）的单位阶跃响应，为系统的时间常数。
显然，它不能瞬时响应被检测信号的变化。
试设计一个补偿系统，使得原测量系统与它级联后的输出信号，能对被检测信号做出瞬时的响应，即能准确地表示被检测信号。
请给出你设计的补偿系统的特性（单位冲激响应或频率响应）。
6．如图A-1所示信号流图的数字滤波器，已知有始输入数字信号的序列值依次为4，1，2，0，－4，2，4，试求该数字滤波器输出的前5个序列值。
图A-1
二、已知当输入信号为时，某连续时间因果LTI系统的输出信号为。
试求：
（每小题10分，共20分）
1.该系统的单位冲激响应，并概画出的波形；
2.当该系统输入为时的输出信号，并概画出的波形。
三、已知由差分方程表示的因果数字滤波器（即离散时间因果LTI系统），试求：
（共20分）
1.该滤波器的系统函数，并概画出其零极点图和收敛域；（8分）
2.该滤波器稳定吗？
若稳定，概画出它的幅频响应或，并指出它是什么类型的滤波器（低通、高通、带通、全通、最小相移等）；（6分）
3.画出它用离散时间三种基本单元构成的级联实现结构的方框图或信号流图；（6分）
四、已知一个以微分方程和的起始条件表示的连续时间因果系统，试求当输入为时，该系统的输出，并写出其中的零状态响应，和零输入响应分量，以及暂态响应和稳态响应分量。
（15分）
五、某因果数字滤波器的零、极点如图A-1（a）所示，并已知其。
试求：
（共15分）
1.它的系统函数及其收敛域，且回答它是IIR、还是FIR的甚么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器？
（6分）
2.写出图A-2（b）所示周期信号的表达式，并求其离散傅立叶级数的系数；（5分）
3.该滤波器对周期输入的响应。
（4分）
（a）（b）
图A-2
六、图A-3所示的连续时间信号抽样传输系统，已知系统的输入信号，抽样间隔，图A-3中的信道滤波器是一个实的升余弦滚降带通滤波器，其频率响应如图A-3（b）所示。
试求：
（共20分）
1．的频谱，并概画出以及、的频谱、；（12分）
2．试设计由系统输出恢复出的系统，画出该恢复系统的方框图，并给出其中所用系统的系统特性（例如，滤波器的频率响应等）。
（8分）
（a）（b）
图A-3
参考答案
一、（每小题10分，共60分）
1.解：
对一阶因果LTI系统的微分方程取单边拉斯变换，得：
因此，系统函数为：
，，取反变换求得系统的单位冲激响应为：
。
当输入信号为时，根据卷积运算可得系统的输出为
和的波形概图如图A-4（a）、（b）所示。
（a）（b）
图A-4
2.解：
方法1：
先用反傅立叶变换由求得系统的单位冲激响应，再对积分求得系统的单位阶跃响应，即
对上式求反傅立叶变换，得到系统的单位冲激响应为：
因此，系统的单位阶跃响应为：
因为：
。
根据卷积的时移性质，得
方法2：
先由系统的频率响应写出其系统函数及其收殓域，即
，
那么，的拉氏变换即为
，
对部分分式展开，即
因为：
，；，，因此系统的单位阶跃响应为
3．解：
先用DFT公式，或4点DFT的矩阵计算式，即
，
或者，
求得的4点DFT为：
，，，
由于，因此，，其中和分别
是和的离散时间傅立叶变换（DTFT）,再依据DFT与DTFT之间的关系，可以求得的8点DFT为：
4．解：
的序列图形如图A-5所示。
图A-5
由上图，可改写为：
，其Z变换为
，。
或者，直接对求Z变换，得到
，
很显然，是的5阶零点；是一阶极点、（）是的两对共轭极点，其零极点如图A-6所示。
图A-6
5．解：
根据题意，要设计的补偿系统就是该实际测量系统（因果LTI系统）的逆系统。
为此，先求该实际测量系统的系统函数，它的的拉氏变换为
，
该实际测量系统的系统函数为：
，
要求的补偿系统的系统函数为：
，收敛域为有限S平面。
其频率响应为：
或单位冲激响应为：
6．解：
设图A-1输入端节点的输出为，则有
，即
（1.6-1）
由输出端节点可得：
（1.6-2）
将式（1.6-1）代入式（1.6-2）得
（1.6-3）
由式（1.6-3）可得：
该因果数字滤波器的系统函数差分方程为：
其后推方程为：
代入已知的有始输入的序列值，且假定起始时刻为0时刻，求得的前5个序列值分别为：
，，
由于系统是因果LTI系统，所以对于输入可以认为是从0开始，也可以认为是从大于0的某个时刻开始，但是，前5个序列值应该是不变的。
二、解：
1．方法1：
因为：
，由可得
因此，系统函数为：
因为：
，，因此，根据时域卷积性质和拉斯变换的时移性质，可得系统的单位冲激响应为
的波形如图A-7所示。
图A-7
方法2：
、和的波形如图A-8所示。
（a）（b）（c）
图A-8
先求系统的单位阶跃响应，再对微分得到其单位冲激响应。
由于，由上图的可得，根据LTI系统的性质，对应输出为：
的波形如图A-7所示。
2．因为，因此，，对其取拉斯反变换，得
。
的波形如图A-9所示。
图A-9
三、解：
1．差分方程可以写成：
对上面方程两边取Z变换，得到
因此，系统函数为：
，收敛域为：
其零极点如图A-10所示。
图A-10图A-11
2.因为收敛域包含单位圆，因此该滤波器稳定。
该系统相当于一个一阶全通滤波器与一个一阶高通滤波器的级联，因此，它是一个高通滤波器。
其中，，，因此，该系统的幅频响应为：
其图形如图A-11所示。
3.该系统的级联实现结构的方框图或信号流图如图A-12所示。
（a）系统方框图
（b）信号流图
图A-12
四、解：
先求零输入响应，它满足的方程和起始条件为
，
对上式取单边拉氏变换，求得的像函数为：
。
取单边反拉氏变换，得到零输入响应为：
，
求零状态响应：
对它而言，系统就成为如下微分方程表示的因果LTI系统：
对上式取单边拉氏变换，并考虑到：
，则有零状态响应的拉氏变换像函数为：
因为：
，，，并利用拉斯变换的时移性质，可得系统的零状态响应为：
系统全响应为：
其中，暂态响应和稳态响应分别为：
五、解：
1．由该因果滤波器的零极点图，可以写出它的系统函数为：
，
其中，为常数。
由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为：
已知，因此，，求得常数，由此，滤波器的系统函数为：
，
其频率响应为：
很显然，该滤波器是FIR滤波器，且是带阻滤波器。
2．周期为4的周期信号的表达式为：
可以用两种方法求得的离散傅立叶级数的系数，且为：
因此，其一个周期内的系数分别为：
，，，
3．由该滤波器零极点图可知：
在频率和处，频率响应为零，即
；而在频率处，频率响应为，因此，滤波器当输入时的输出只有直流分量，即＝－1。
六、解：
1．输入信号：
由于，根据傅立叶变换的对称性，有
，令，则有
，即
如图A-13（a）所示。
设，利用傅立叶变换的频域卷积性质和微积分性质，以及，可求得的频谱为：
频谱图形如图A-13（b）所示。
（a）（b）
A-13
由于抽样间隔，，且信号为：
，因此，的频谱为：
又因为：
因此，，其图形如图A-14所示。
图A-14
的频谱，又由于的下限截止角频率为：
，上限截止角频率为：
，因此，的频谱图形如图A-15所示。
图A-15
2．由图A-15可以看出，的频谱是正弦调制后的频谱，它可以写成
由于：
，因此，有
因此，可用正弦调制的相干解调恢复出，这个恢复系统的方框图如图A-16（a）所示，其中的是一个理想低通滤波器，其滤波特性如图A-16（b）所示。
（6分）
（a）（b）
图A-16
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