数学必修一-函数的零点教案.doc

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4.1.1方程的根与函数的零点

学习目标

1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

学习重点、难点

重点:

零点的概念及存在性的判定．

难点:

零点的确定．

学习过程

（一）课题

1、提出问题：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数

y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

①方程与函数

②方程与函数

③方程与函数

（二）研讨新知

函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

函数零点的求法：

求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．根据函数零点的意义，其求法有：

①代数法；

　②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数

　　　　　．

（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

①在区间上有零点______；

_______，_______,·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上有零点______；·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象

①在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

③在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

（三）、巩固深化，发展思维

1．例题

例1．求函数f（x）=的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数，并画出它的大致图象．

2．P88页练习第二题的

（1）、

（2）小题

（四）、作业

P88页练习第二题的（3）、（4）小题。

4.1.2用二分法求方程的近似解

（1）

学习目标

理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

学习重点、难点

重点：

用二分法求解函数f（x）的零点近似值的步骤。

难点：

为何由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）?

学习设想

（一）、创设情景

提出问题：

（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？

（2）通过前面一节课的学习，函数f（x）=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？

（二）、新知

一个直观的想法是：

如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈－0.084,因为f（2.5）*f（3）＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512,因为f（2.75）*f（2.5）＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f（x）=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1．认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。

2．为什么由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？

说明：

设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：

0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；

由于︱a－b︳＜，所以

︱x0－a︳＜b－a＜,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜,

即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。

㈢、巩固深化，发展思维

1．完成下面的例题

例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

问题：

原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f（x）,则原方程的解就是f（x）的零点。

借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．

（四）、归纳整理，整体认识

在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：

（1）本节我们学过哪些知识内容？

（2）你认为学习“二分法”有什么意义？

（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

（五）、布置作业

P92习题3.1A组第4题，第5题。

4.1.3用二分法求方程的近似解

（2）

学习目标

继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

学习重点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

学习难点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

学习过程

一、创设情景，引入新课

观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f

（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?

在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?

探究可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，

f

（1）＜0，即f（－2）·f

（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f

（2）＜0，f（4）＞0，即f

（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－2x－3=0的另一个根.

我们能从二次函数的图象看到零点的性质：

1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.

2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

二、讲解新课

1.零点的性质

如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·

f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=

0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.

2.应用举例

【例1】教科书P88例1.

本例是考查函数零点的个数.通过它要认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.

（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.

（2）教科书上的表3－1，可以用计算器或计算机得出，通过动手实践获得对表3－1的认同.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.

（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、

h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是增函数.

【例2】已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：

①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2；

②对任意x1、x2∈（1，+∞），总有f（）＞.

则方程ax2+bx+1=0根的情况是（）

A.无实数根 B.有两个不等正根

C.有两个异号实根 D.有两个相等正根

方法探究：

（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.

（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x1x2=＜0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.

方法技巧：

解析

（2）的求解过程明显比解析

（1）简捷，但却不如解析

（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析

（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.

【例3】研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.

方法探究：

纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.

解：

设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.

方法技巧：

有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：

一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.

三、课堂练习

教科书P88练习题1.

（1）

（2）

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

零点的性质：

在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.

2.本节学习的数学方法：

归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.

五、作业

教科书P92习题3.11、2、3.