立体几何的解题技巧.docx

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立体几何的解题技巧

立体几何大题的解题技巧

——综合提升

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．

此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.

【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：

“六个距离”：

1两点间距离

2点P到线l的距离（Q是直线lxx任意一点，u为过点P的直线lxx向量）

3两异面直线的距离（P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量）

4点P到平面的距离（Q是平面上任意一点，u为平面法向量）

5直线与平面的距离【同上】

6平行平面间的距离【同上】

“三个角度”：

1异面直线角【0，】cos=【辨】直线倾斜角范围【0，）

2线面角【0，】sin=或者解三角形

3二面角【0，】cos或者找垂直线，解三角形

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：

一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的xx，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题

例1（xx卷）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

考查目的：

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解：

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，，．

在正方形中，，平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，为二面角的平面角．

在xx，由等面积法可求得，

又，．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由，得，

．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

．

点到平面的距离．

小结：

本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.

考点2异面直线的距离

考查异目主面直线的距离的概念及其求法

考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.

例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.

思路启迪：

由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.

解：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

为的中位线，∥∥面,

到平面的距离即为两异面直线间的距离.

又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面

的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是

AB、BC、BD的中点，

在Rtxx，

在Rtxx，

又

由于，即，解得

故CD与SE间的距离为.

小结：

通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.

考点3直线到平面的距离

偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

例3．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.

思路启迪：

把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离

的方法求解.

解：

解法一∥平面，

上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求

点O平面的距离,

，，平面,

又平面

平面，两个平面的交线是,

作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.

在xx，.

又.

即BD到平面的距离等于.

解法二∥平面，

上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.

设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则

即BD到平面的距离等于.

小结：

当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4异面直线所成的角【重难点】

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.

典型例题

例4

如图，在xx，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的xx点．

（I）求证：

平面平面；

（II）求异面直线与所成角的大小．

思路启迪：

（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.

解：

解法1：

（I）由题意，，，

是二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．

在xx，，，

．

又．

在xx，．

异面直线与所成角的大小为．

解法2：

（I）同解法1．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

．

异面直线与所成角的大小为．

小结：

求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：

①平移法：

在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：

把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：

.

考点5直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.

线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.

典型例题

例5（全国卷Ⅰ理）

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

考查目的：

本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，

二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解：

解法一：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，

得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得

，解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的我为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

，，，，，

，，所以．

（Ⅱ）取中点，，

连结，取中点，连结，．

，，．

，，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

，．

，，

所以，直线与平面所成的角为．

小结：

求直线与平面所成的角时，应注意的问题是

（1）先判断直线和平面的位置关系；

（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：

①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.

考点6二面角【重点】

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点

典型例题

例6．（xx卷）

如图，已知直角，，，，，，直线和平面所成二面的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

命题目的：

本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

过程指引：

（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，，所以，

又因为，所以．

而，所以，，

从而，又，

所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：

由（I）知，，又，，

，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设，则，．

在xx，，所以，

于是在xx，．

故二面角的大小为．

解法二：

由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在xx，，

所以．

则相关各点的坐标分别是

，，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

xx是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．

小结：

本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：

①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.

【课后练习】如图，在四棱锥P－ABCDxx，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的xx点.

（Ⅰ）试证：

CD平面BEF；

（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

过程指引：

方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；

方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.

【高考热点】空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：

各个面面积之和

2圆柱的表面积

3圆锥的表面积：

4圆台的表面积5球的表面积

6扇形的面积（其中表示弧长，表示半径）

注：

圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积2锥体的体积

3台体的体积4球体的体积

【例题解析】

考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.

典型例题

例12.如图

（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.

[思路启迪]设四边形一边AD，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时ADxx即可.

解答过程：

如图

（2）设AD＝a，xx∠ABC＝60°，且∠ABD＝30°AB＝a.

BD＝2a正六棱柱体积为V.

V＝＝

＝≤.

当且仅当1－2a＝4aa＝时，体积最大，

此时底面边长为1－2a＝1－2×＝.

∴答案为.

考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.

直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.

棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.

例15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1xx，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，

A1在底面△ABCxx的射影O在ACxx

1求AB与侧面AC1所成角；

2若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.

[思路启迪]①找出AB与侧面AC1所成角即是∠CAB；

②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其面积即可.

解答过程：

①点A1在底面ABC的射影在ACxx，

∴平面ACC1A1⊥平面ABC.

在△ABCxx，由BC＝AC＝a，AB＝a.

∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.

∴BC⊥平面ACC1A1.

即∠CAB为AB与侧面AC1所成的角在Rt△ABCxx，∠CAB＝45°.

∴AB与侧面AC1所成角是45°.

②∵O是ACxx点，在Rt△AA1Oxx，AA1＝a，AO＝a.

∴AO1＝a.

∴侧面ACC1A1面积S1＝.

又BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥CC1.

又BB1＝BC＝a，∴侧面BCC1B1是正方形，面积S2＝a2.

过O作OD⊥AB于D，∵A1O⊥平面ABC，

∴A1D⊥AB.

在Rt△AODxx，AO＝a，∠CAD＝45°

∴OD＝a

在Rt△A1ODxx，A1D＝＝.

∴侧面ABB1A1面积S3＝＝.

∴三棱柱侧面积S＝S1＋S2＋S3＝.

例16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A—MNCB的体积为（）

A、B、C、D、3

[思路启迪]先找出二面角平面角，即∠AKL,再在△AKL中求出棱锥的高h，再利用V＝Sh即可.

解答过程：

在平面图中，过A作AL⊥BC，交MN于K，交BC于L.

则AK⊥MN，KL⊥MN.

∴∠AKL＝30°.

则四棱锥A—MNCB的高h＝＝.

＝.

∴＝.

∴答案A

【专题综合训练】

一、选择题

1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1xx，已知AB=1，D在BB1xx，

且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为

（）

A.B.

C.D.

2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面

内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）

A.最小值，最大值B.最小值，最大值

C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值

3．在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）

A.B.C.D.

4．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，

，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成

的角的正弦值为（）

A.B.

C.D.

5．已知在xx，AB=9，AC=15，，它所在平面外一点P到三顶点的距离都是14，那么点P到平面的距离为（）

A.13B.11C.9D.7

6．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1xx，M、N分别是棱A1B1、A1D1的xx点，则点B到平面AMN的距离是（）

A.B.

C.D.2

7．将，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成的二面角，则MP与NQ间的距离等于（）

A.B.C.D.

8．二面角的平面角为，在内，于B，AB=2,在内，于D，CD=3,BD=1,M是棱上的一个动点，则AM+CM的最小值为（）

A.B.C.D.

9．空间四点A、B、C、Dxx,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段ABxx,动点Q在线段CDxx，则P与Q的最短距离为（）

A.B.C.D.

10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）

A.B.C.D.

11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1xx，A1A=AB=2，xxABxx存在点P，使，则棱AD的长的取值范围是（）

A.B.C.D.

12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（）

A.B.C.D.

二、填空题

1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：

1E到平面ABC1D1的距离是；

2直线BC与平面ABC1D1所成角等于；

3空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成

面积最小值为；

4BE与CD1所成的角为

2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1xx，P是A1C1

上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满

足___________时，体积xx为定值（写上

你认为正确的一个答案即可）

3．边长为1的等边三角形ABCxx,沿BC边高线AD

折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到

BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离

为__________.

4．在水平xxxxA、B两点处各挂长为50cm的细绳，

AM、BN、AB的xx为60cm，在MN处挂长为60cm

的木条，MN平行于xx，木条的中点为O，若木条

绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了

_________.

5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4.P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

①3；②4；③5；④6；⑤7.

以上结论正确的为.

（写出所有正确结论的编号）

6.如图，棱长为1m的正方体xx容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3.

三、解答题

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1xx，底面边长为a,D为BC为xx点，M在BB1xx，且BM=B1M，又CM⊥AC1;

（1）求证：

CM⊥C1D;

（2）求AA1的长.

2．如图，在四棱锥P-ABCDxx，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA⊥底面ABCD，E是AD的xx点，F在PCxx.

（1）求F在何处时，EF⊥平面PBC；

（2）在

（1）的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线xx.若是，求出公垂线xx的xx；若不是，说明理由；

（3）在

（1）的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.

3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（1）求证BCSC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的

大小．

4．在直角梯形ABCDxx，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,（如图一）将△ADC沿AC折起，使D到．记面AC为,面ABC为．面BC为．

（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;

（2）若二面角AC为60（如图三），求三棱锥ABC的体积．

5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角ADFB的大小；

（3）试在线段ACxx确定一点P，使得PF与

BC所成的角是60．

【参考答案】

一．选择题

1.D提示：

AD在面ACC1A1上的射影应在AC与A1C1xx点的连线上，令射影为E，则∠EAD为所求的角.在Rt△EADxx，

1,3,5

2.B提示：

由最小角定理知，最小角为，又异面直线所成角的范围为，最大角为.

3.A提示：

由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D，又此二面角为45°，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.

4.D提示：

由题意，A1在面DCC1D1xx的射影应在C1D1xxExx，且D1E=1，则∠A1CE为所求角，在Rt△AA1Cxx，

5.D提示：

由P到△ABC三个顶点的距离都是14，知P在底面ABC的射影是△ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：

BC=21.由得外接圆半径为，即，在Rt△POBxx，

6.D提示：

由题图得

7.B提示：

连结MP、NQ交于O，由四边形MNPQ是菱形得MP⊥NQ于O，将MNQ折起后易得MO⊥QN，OP⊥QN，所以∠MOP=60°，且QN⊥面MOP，过O作OH⊥MP，所以OH⊥QN，从而OH为异面直线MP、QN的公垂线，经计算得

8.C提示：

把半平面展到半平面内,此时,连结AC与棱的交点为M,这时AM+CM取最小值等于AC.（AM+CM）min=

9.B提示：

P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.

10.B提示：

将正棱锥展开，设正方形边长为m，则

11.A提示：

在长方形ABCDxxAB边存在P，作，又因为AB=2，由对称性可知，P为AB的xx点时，AD最大为1，故选A.

12.D提示：

若BD与平面ABC所成的角为，则，取AC的中点O，则且BO=DO，不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于.

二．填空题

1．②③④提示：

对于①，由得，，①错.对于②xxCB1交BC1于O，则O为C在面ABC1D1上的射影，为所成的线面角，②正确.作图xx③正确，对于④xxA1B，则为所成的角，解得，④正确.

2．AB∥CD提示：

，要使体积为定值，则为定值，与E点位置无关，则AB∥CD

3．提示：

作与E，xx，从而，又由，得

，由可解的点到平面的距离为.

4.10cm提示：

MO=NO=30cm，过O作与旋转前的MN平行且相等，所以旋转后AB与平面的距离为，故升高了50-40=10cm.

5．①③④⑤.

6..

三、解答题

1．

（1）证明：

在正三棱柱ABC—A1B1C1xx，D为BCxx点，则AD⊥面BCC1B1，从而AD⊥MC

又∵CM⊥AC1，则MC和平面ADC1内两相交直线AD，AC1均垂直

∴MC⊥面ADC1，于是MC⊥DC1.

（2）解：

在矩形BB1C1Cxx，由CM⊥DC1

知△DCC1∽△BMC，设BB1=h,则BM=h

∴h:

a=

从而所求AA1=

2.解：

（Ⅰ）以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则p（0，0，），A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（2，0，0），E（1，0，0）

∵F在PCxx，∴可令设F（x，y，z）

∵EF⊥平面PBC，∴且，又，

可得故F为PC的中点.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD

∴EF是PC与AD的公垂线段，其长为||=1

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知即为平面BEF的一个法向量而

设BD与平面BEF所成角θ，则：

sinθ=cos

∴θ=arcsin.故BD与平面BEF所成角为arcsin

3．

（1）证法一：

如图，∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．

∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得BC⊥SC．

证法二：

如图1，∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，

∴SD⊥BC，又DC∩SD=