高中数学教师备课必备系列三角函数二专题08解三角形应用举例0886doc.docx
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高中数学教师备课必备系列三角函数二专题08解三角形应用举例0886doc
专题八解三角形应用举例
★知识梳理★
1.已知两角和一边（如久B、G,由卅冊C二刀求由正弦定理求臼、b.
2.已知两边和夹角（如弘b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用/+倂C二开,求另一角.
3.已知两边和其中一边的对角（如日、b、/）,应用正弦定理求〃，由A^C=乃求再由止弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能冇多种情况.
4.已知三边白、b、c,应用余弦定理求久B,再由卅〃+C二乃，求角C.
5.方向角一般是指以观测者的位宜为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.
6.俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水
平线下方的角叫俯角•如图中OD、0E是视线，ZDOC是仰角，ZEOC是俯角.
7•关丁•三角形面积问题
①S^c=
=——bhb=—ch<:
（ht>、力“分别表示&、b、c上的高）;222
②S心BC：
=—absin4—bcsim4=—acsinB；
222
③5，MBC=2/?
sinJsin^sin6：
（斤为外接圆半径）
abc
~4R
⑤S乂bc=』s（s-q）（$-b）（s-c）,s=-（a+b+c）:
\丿
®SMBC=・，（/为内切圆的半径）
★重难点突破★
1.重点：
熟练掌握正弦定理、余眩定理和面积公式,结合儿何性质建模解决生活中的应用问题
2•难点：
实际问题向数学问题转化思路的确定
3.重难点：
熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；
（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题屮的边处关系与三角形联系起來，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路，然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，
问题1.如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取4
和D两个测量点，现测得AD丄CD,AD=10km,AB=14km,ZBDA=60,
/.BCD=135°，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数;
参考数据：
V2=1.414,V3=1.732,^5=2.236）
解：
在△ABD中，设BD=x,
则Rf=BD2+AD1-1BDAD^ZBDA,
即1梓=宀1（）2_2・10工560°整理得：
x2-10x-96=0
解之：
羽=16,x2=-6（舍去）,
:
.BC=
16血135°
-sin30==8J2=11（km）・
由正弦定理，得:
EC_BD
sinZCDB~siuZBCD
答:
两景点月与C的距离约为11.km.
（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式來思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最
后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
问题2.用同样高度的两个测角仪月〃和CZ2同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是Q和0,己知〃、〃间的距离为测角仪的高度是仏求气球的尚度.
分析：
在Rt△仅〃中求解％,只有角Q—个条件，需耍再有一边长被确定，而△刃C中有较多已知条件，故可在△场C中考虑场边长的求解，而在'EAC中有角B,Z以Q180°—a两和与BD=d一边，故可以利用正弦定理求解场.
解：
在△卫处中，AC=BD=3,乙AC戸B,乙AEC=°,
根据正弦定理，得迟,
sm\a—p）
.fl.asinosin
在肮2\血&中、Q———7zv
sm\a—）
答:
气球的高度
+b・
:
・EF=EG+b=
★热点考点题型探析★
考点1：
测量问题
题型:
运用正、余弦定理解决测最问题
例］］（2007•山东）如图4-4-12,甲船以每小时30血海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的冋处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10血海里，问乙船每小时航行多少海里？
120；
05°
B\
乙
【解题思路】解决测量问题的过程先要」E确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形屮的已知和未知的边、角•本题应先利丿IJS=W求出边长,再进行进一步分析.［解析］如图，连结4妁，由已知4^2=10^,
lin
4&=3。
屁一=10屁
60又Z44^2=180^-120^=60\
二△44^2是等边三角形，
—44=10^2>
由已知，4^1=20,ZjB14^2=105°-60^=45\
在中，由余弦定理，嗣=宓+4拐_2砸岛耳皿曲
=202+（10^）2—2x20x10^x^=200•二隔=10.^・2
因此，乙船的速度的大小为嘤X60=30血（海里/小时）.
20
答：
乙船每小吋航行30血海里.
【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：
①已知量与未知量全部集中在一•个三角形
中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或儿个三角形，这吋需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
【新题导练】
1.叩船在A处、乙船在卬船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行缎，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60“方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
解析:
、解：
设经过兀小时后,甲船和乙船分别到达C,Z）两点
贝U4C=8兀,AD=AB-BD=20-\0x
・•・CD2=AC2+AD2-2AC-AD•cos60°
=（8兀尸+（20-1Ox）2一2・8兀・（20—10兀）丄
2
=244兀2—560兀+400=244（兀-—）2+翌四
6161
・・・当CD，取得最小值时,CD取得最小值.
.•.当兀=弓时,仞取得最小值，
61
此吋，甲、乙两船相距最近
2.在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成
15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常悄况下球速为游击手最大跑速的4倍,
问按这样的布置，游击手能不能接着球？
（如图所示）
游击手奔炭方向
解：
设游击手能接着球，接球点为B,而游击手从点A跑出，本垒为0点（如图所示）•设从击出球到接着球的时间为「球速为V,则ZA0B=15°,OB=vt,AB<-/o
4
而（、怎一3=8-+73>8-4x1.74>1,即sinZ0AB>l,
・•・这样的ZOAB不存在，因此，游击手不能接看球.
考点2运用正、余弦定理解决与儿何计算有关的实际问题
题型:
利用解三介形知识研究儿何图形的性质
例2］如图，某住宅小区的平面图呈扇形初C小区的两个出入口设置在点昇及点C处，小区
里有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿D4走到4用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半
径OA的长（精确到1米）.
【解题思路】转化条件，分析图形建模.
【解法一】设该扇形的半径为厂米.由题意，得
09=500（米）,加300（米），ZCD0=60°4分在\CDO中，CD2+OD2-2CDOD-cos60°=OC2,
即5002+（r-300）2-2x500x（r-300）xi=r2
•13分
4900
解得厂=«445（米）•
11
【解法二】连接AC?
作OHJ.AC,交JC于丘由题意，得毎500〔米血=300〔米ZCDJ=120°
在AXUD中2AC2=CD2+AD2-2CDAD・cosl20°
二站+诙+2x500x300x0曲
曲=700（米）
—彎总11
14
在直角血血?
中「扭=350（米）=
13分
1斗
【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤:
（1）分析：
理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
（2）建模：
根据已知条件与求解冃标，把已知量与求解量尽量集中在冇关的三角形中，建立
•个解斜三和形的数学模型;
（3）求解：
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;
（4）检验：
检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
【新题导练】
1•如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线
的水平角）为152°的方向航行•为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半
小吋后，货轮到达（：
点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔ZI'可的距离.
2.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求ZACB=60°,
BC的长度大于1米，J1AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，耍求AC的长度越短越好，求
AC最短为多少米？
且当AC最短时，BC长度为多少米?
A
解：
如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y-0.5）米在AABC中，依余弦定理得：
AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosZACB
°。
宀丨y~+兀■一2yxx—
x2
・・•兀〉1,・・.x-1〉0
o1
AT——
v_4
y—因此兀一1
x2--
方法1匸
心严皿+2
x-1=x=\\冃
当且仅当4（—1）时，取“二”号，即2时，y有最小值2+"3
★抢分频道★
空矗基础巩固训练
1.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30「氷内的地区为
危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）
A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时
解析:
设A地东北方向上点P到B的距离为30千米〉AP=x,在AABP中
PB2=AP2+AB2-2AP・AB・cosA,
即302=x2+402—2x・40cos45a
化简得壬-40x^x4-700=0
|xL—x2|2—（xL+x2）2~4xlX2=400,|xl—X2I=20〉即CD=20
故心叫
V
◎
2.在\ABC中，A:
B=1:
2,C的平分线CD把三角形面积分成3:
2两部分，贝iJcosA=
解析：
•••C的平分线CQ把三角形而积分成3:
2两部分,
AC:
BC=3:
2
BC_AC_AC•23
，••
sinAsinBsin2AsinA2sinAcosB
•\cosA=—
4
3.如图，在斜度一定的山坡上的一-点力测得山顶上一-建筑物顶端Q对于山坡的斜度为15。
向山顶前进100m后，乂从点〃测得斜度为45。
，假设建筑物高50皿设山对于地平而的斜度①
贝ijcos0=.
解析］在中，AB=100m,
ACAB=15°,AACB=45°-15°=30°
由正弦定理:
100_BC
sin30°~sin15°
:
・BC二200sinl5°
在中，69=50m,ACBD=45°,ACDB=90°+6
由正弦泄理：
_2P_=200s】nl5ncos。
二循_1
sin45°sin（90°+0）
4.如右图，在半径为斤的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角〃的正弦成正比，角和这一点到光源的距离厂的平方成反比，即內•啤,其中斤是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度力,
r
才能使桌子边缘处最亮.
解：
7,由此得:
P呼X呀
―殍％泌护二-Esg
/R1R1
2尸=皓）2-2s/次（1_咼2&X1—加莎（钮（|『由此得＜痺-1点等号在sin&二爭寸成立此时—tan"争
5.某帀电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A、B两地Z间架设高压电线,因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距能£加的C、Q两地（假设A、B、C、D在同一平面上），测得ZACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,
ZADB=45°（如图），假如考虑到电线的口然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大
4
约应该是A、B距离的一倍，问施丄单位至少应该准备多长的电线？
3
解：
在AACD中，山C知可得，ACAD=30°
所以，AC=y^km在ABCD'I',由已知町得，ZCBD=6（Xsin75°=sin（45°+30°）=怡"
4
由正弦定理，心如乙3
sin60°
cos75°=cos（45°+30）="厶"
在\ABC中，山余弦定理AB’uAC'+BC?
—AC・BCcosZBCA
=V32+（2^1）2-2巧.2^/1.ms75。
=5
22
所以，AB=^5丿施工单位应该准备电线长-V5.
3
答：
施工单位应该准备电线长-V5km.
3
/%
■、
空矗综合拔高训练
6.在海岛〃上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站只上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
（1）求船的航行速度是每小时多少千米；
（2）乂经过一段吋间后，船到达海岛的正西方向的〃处，问此时船距岛力有多远？
解⑴在Rt△刃〃屮，Z加沪60°刈二1,AB-V3（千米）
在RtA/^r中，Z加牟30°,:
.AO—（千米）
3
在中，ZG伕30°+60°=90°
BC=JAC2+AB2=J（—）2+（V3）2=回
V33
氾十丄=2屈（千米/时）
36
（2）Z血490°-60°=30°
dHi'j3,
si^sin（180°
3
sin氓皿（厶歼3023/530。
-c"…in30°=忆価.
AC
在△辺中，据正弦定理得昙蚯耳
石3価
.但NCsinDW丁]09+石
sinCDA（3^-1）71013
20
答此时船距岛仏为咄千米
7.在正三角形昇力的边昇从昇C上分别取〃、E两点,使沿线段加折叠三角形时，顶点昇正
好落在边比上，在这种情况下，若要使〃〃最小，求AD\AB的值解按题意，设折叠后力点落在边位、上改称戶点，显然久P两点关于折线对称，乂设Z
BAl^0,:
.AD1JA=0,Z沏上20,
再设A局,AD-x,:
.DP-x在△/!
%中,
ZAP8=\80a一/ABP—/BA&\20°一0,由正弦定理知牆r磊停益亀
所以BP二沁£从而皿=壘艺
sinDBPsinBDPsin60°sin（120°-0）sin60°
6Zsin/9-sin60°y/3a
■x
sin20・sin（120°-0）2sin（60°+2〃）+巧
V0°W〃W60°,•••60°W60°+2〃W18（T,
•••当60。
+2"90°,即0=15。
时,
sin（60°+2小1,此时x取得最小值-^==（2^3-3）a,即肋最小,2+V3
:
・AD：
-3
8.在一很大的湖岸边（对视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h.|uj此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
解析:
设船速为◎显然v>4km/h时人是不可能追上小船，当0\AB\2=\OA\2+\0BI2—2|OA|・|O3|・cosl5。
即4（1一灯$尸=（4如#+（）”）2_2.4加•W•亦+血
整理得｝2k2-[2（76+V2）v-8]Jt+v2-4=0,
要使上式在（0,1）范围内有实数解，
贝I」有且4=[2（拆+血》—8严-4-12-（v2-4）>0,
12
解得2/2,即％、=2^2hn/h,
故为船速在（2,2“]内时，人船运动路线町构成二角形，即人能迫上小船，船能使人追上的最大速度为2y[2km/h,由此可见当船速为2.5/伽/力时人可以追上小船.
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