二年级奥数上册学生版Word下载.docx
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（2）45+18-19=45+（18-19）
=45-1=44
加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×
9中间数是5
=45共9个数
（2）计算：
1+3+5+7+9
5中间数是5
=25共有5个数
（3）计算：
2+4+6+8+10
=6×
5中间数是6
=30共有5个数
（4）计算：
3+6+9+12+15
=9×
5中间数是9
=45共有5个数
（5）计算：
4+8+12+16+20
=12×
5中间数是12
=60共有5个数
2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×
5=11×
5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×
4=20×
4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=（2+20）×
5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
23+20+19+22+18+21
仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×
6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×
6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；
19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.
102+100+99+101+98
方法1：
仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×
5+2+0-1+1-2=500
方法2：
仔细观察，可将5个数重新排列如下：
（实际上就是把有的加数带有符号搬家）
=98+99+100+101+102
5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.
习题一
1.计算：
（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
（7）28+44+39+62+56+21
2.计算：
（1）98+67
（2）43+28
（3）75+26
3.计算：
（1）82-49+18
（2）82-50+49
（3）41-64+29
4.计算：
（1）99+98+97+96+95
（2）9+99+999
5.计算：
（1）5+6+7+8+9
（2）5+10+15+20+25+30+35
（3）9+18+27+36+45+54
（4）12+14+16+18+20+22+24+26
（5）53+49+51+48+52+50
（6）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算：
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
第二讲数数与计数
（一）
例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？
仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：
黑方块是：
4×
8=32（个）
白方块是：
再仔细观察图2－2，从上往下看：
第一行白方块5个，黑方块4个；
第二行白方块4个，黑方块5个；
第三、五、七行同第一行，
第四、六、八行同第二行；
但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.
白方块总数：
5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）
黑方块总数：
4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）
再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×
9=81（个）.
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.
例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？
仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：
（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？
（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？
（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.
（1）3面涂色的小立方体共有1个；
（2）4面涂色的小立方体共有4个；
（3）5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：
］
（1）1面涂成红色的有几个？
（2）2面涂成红色的有几个？
（3）3面涂成红色的有几个？
仔细观察图形，并发挥想像力，可知：
（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；
（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：
2+8+8=18（个）.
习题二
1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？
2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？
若能补好，共需几块？
3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？
4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.
求：
（1）3面涂成红色的有多少块？
（2）2面涂成红色的有多少块？
（3）1面涂成红色的有多少块？
（4）各面都没有涂色的有多少块？
（5）切成的小正方体共有多少块？
5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.
问：
（1）有3面被染成蓝色的多少块？
（2）有2面被染成蓝色的多少块？
（3）有1面被染成蓝色的多少块？
（4）各面都没有被染色的多少块？
（5）锯成的小正方体木块共有多少块？
6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？
（仔细观察，想办法比较出来）.
第三讲数数与计数
（二）
例1数一数，图3－1中共有多少点？
（1）方法1：
如图3－2所示从上往下一层一层数：
第一层1个
第二层2个
第三层3个
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
第九层9个
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）
=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：
如图3－3所示：
从上往下，沿折线数
第二层3个
第三层5个
第四层7个
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.
（3）方法3：
把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×
10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×
10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：
1=1×
1
1+2+1=2×
2
1+2+3+2+1=3×
3
1+2+3+4+3+2+1=4×
4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×
5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×
6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×
7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×
8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×
9
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×
10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：
1+3=2×
1+3+5=3×
1+3+5+7=4×
1+3+5+7+9=5×
1+3+5+7+9+11=6×
1+3+5+7+9+11+13=7×
1+3+5+7+9+11+13+15=8×
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.
例2数一数，图3－5中有多少条线段？
（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有：
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有：
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有：
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？
（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：
∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有：
∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：
∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：
如图3－10所示，锐角总数为：
5+4+3+2+1=15（个）.
①由例3可知：
由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：
（见图3－11～15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？
3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？
第四讲认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；
学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.
例1找出下面各数列的规律，并填空.
（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.
（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.
（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.
（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.
（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.
注意：
自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
例2找出下面的数列的规律并填空.
1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.
这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：
空处依次填：
例3找出下面数列的生成规律并填空.
1，2，4，8，16，□，□，128，256.
它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×
2=32，32×
2=64，所以空处依次填：
例4找出下面数列的规律，并填空.
1，2，4，7，11，□，□，29，37.
这数列规律是：
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：
例5找出下面数列的规律，并填空：
1，3，7，15，31，□，□，255，511.
规律是：
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.
另外，原数列的规律也可以这样看：
后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×
2+1.
例6找出下面数列的生成规律，并填空.
1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.
这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：
1=1×
1，4=2×
2，9=3×
3，16=4×
4，25=5×
5，
，64=8×
8，81=9×
9，100=10×
若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.
自然数列：
12345678910
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
自然数平方数列：
149162536496481100
例7一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？
（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四
（1））
由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）
可见第12站以后，车上坐满乘客.
例8如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：
3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？
从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四
（2））.
可见73是第11项.
例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：
“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？
”小朋友，请你帮小明想一想？
小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！
下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））.表四（3）
放满10个盒所需要的糖块总数：
可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！
这可能是你没有想到的吧！
其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.
习题四
1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.
2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.
3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？
4.自2开始，隔两个数写一个数：
2，5，8，……，101.
可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？
5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？
6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？
7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？
8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？
9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问
（1）盒子里有多少珠子？
（2）这串珠子共有多少个？
第五讲自然数列趣题
本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.
例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？
分类计算：
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
“1”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18
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