中考数学几何图形折叠试题典题.docx
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中考数学几何图形折叠试题典题
一、选择题
1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（ ）
A．4
B．3
C．4
D．8
2.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（ ）
Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30
4.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？
动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；
（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE=（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
5.（绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图
（1）～（4））.
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）
A．34cm2 B．36cm2 C．38cm2 D．40cm2
二、填空题
7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG °．
8.（苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．
三、解答题
9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在
（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？
若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
10.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
（1）求证：
△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？
如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？
为什么？
11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，
折痕为EF．已知CE⊥AB．
（1）求证：
EF∥BD；
（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．
12.（烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状
，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围．
（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对
称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．
13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：
△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
证明你的结论．
14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：
再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？
请证明你的结论．
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合
（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？
为什么？
15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）．
（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，
不要求写画法）
（2）请你找出完成问题
（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）
16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
（1）求证：
△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？
如果相似给出证明，如补相似请说明理
由；
（3）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？
为什么？
17.（临安市）如图，△OAB是边长为
的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E//x轴，且抛物线
经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？
若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．
（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？
19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：
（1）BF=DF；
（2）AE∥BD．
参考答案
一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B
二、7.64 8.50°
三、9.解：
（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB=90°．
又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴
.即
．∴
．
且当x=2时，y有最大值
．
（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则
∴
y=
．
（3）由
（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x－1，与y轴交于点（0，－1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x＋1．
由
得
∴Q（5，6）．
故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．
10.证明：
（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE～△QAB.
（2）∵△PBE～△QAB，∴
∵BQ＝PB，∴
.
又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.
（3）点A能叠在直线EC上.由
（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.
11.解：
（1）证明：
过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连结AC，交EF于点K，则AK＝CK．
∵AB∥CD，
∴BH＝CD，BD＝CH．
∵AD＝BC，
∴AC＝BD＝CH．
∵CE⊥AB，
∴AE＝EH．
∴EK是△AHC的中位线．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．
（2）解：
由
（1）得BH∥CD，EF∥BD，
∴∠AEF＝∠ABD．
∵AB＝7，CD＝3，
∴AH＝10．
∵AE＝CE，AE＝EH，
∴AE＝CE＝EH＝5.
∵CE⊥AB，
∴CH＝5
＝BD．
∵∠EAF＝∠BAD，∠AEF＝∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴
.
∴
．
12.解：
（1）由折纸过程知0＜5x＜26，,0＜x＜
.
（2）图④为轴对称图形，∴AM＝
.即点M与点A的距离是（13－
x）cm.
13.证明：
⑴由折叠可知：
∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．
∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，
∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．
∴∠1＝∠3．
∴△ABE≌△AD′F．
⑵四边形AECF是菱形．
由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．
∵AE＝EC，∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AF＝AE，
∴四边形AECF是菱形．
14.解：
（1）△BMP是等边三角形.
证明：
连结AN.
∵EF垂直平分AB，∴AN=BN.
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形.
∴∠ABN=60°.∴∠PBN=30°.
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°.
∴∠BPN=60°.
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°.
∴∠BMP=60°
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°.
∴△BMP为等边三角形.
（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP.
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=
.∴b≥
.∴a≤
b.
∴当a≤
b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.
（3）∵∠M′BC=60°，∴∠ABM′=90°－60°=30°.
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=
.∴tan30°=
.∴AM′=
.
∴M′（
，2）.代入y=kx中，得k=
=
.
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′.
过A′作AH⊥BC交BC于H.
∵△A′BM′≌△ABM′，∴∠A′BM′=∠ABM′=30°,A′B=AB=2.
∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.
在Rt△A′BH中，A′H=
A′B=1，BH=
，
∴
.
∴A'落在EF上.
（图2）
（图3）
15.解：
（1）如图.
（2）等腰三角形DAC.
16.
（1）证明：
∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB，
∴△PBE∽△QAB.
（2）∵△PBE∽△QAB，
∴
.
∵BQ＝PB，∴
.
又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.
（3）点A能折叠在直线EC上.
由
（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.
17.解：
（1）由已知可得∠A'OE=60o,A'E=AE.
由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.
设A′的坐标为（0，b），则
AE=A'E=
b,OE=2b.
∵
b+2b=2+
∴b=1.∴A'、E的坐标分别是（0，1）与（
，1）.
（2）因为A'、E在抛物线上，所以
所以
函数关系式为y=
.
由
=0得
.
与x轴的两个交点坐标分别是（-
，0）与（
，0）.
（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.
∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.
若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o,A'、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.
同理若∠A'FE=90o也不可能.
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
18.解：
（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10
（1），重叠部分为△A'ED.
∵DE∥BC,
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC.
∴
.∴
，即
.
又∵FA'=FA=x,
∴y=
DE·A'F=
·
x·x.
∴
（0＜x≤3）.
②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图10
（2），重叠部分为梯形EDPQ.
∵FH＝6－AF＝6－x,
A'H＝A'F－FH＝x-（6-x）=2x-6,
又∵DE∥PQ,
∴△A'PQ∽△A'DE.
∴
.
∴
∴
.
（2）当0＜x≤3时，y的最大值
；
当3＜x＜6时，由
可知当x=4时，y的最大值y2=9.
∵y1＜y2，∴当x=4时，y有最大值y最大＝9．
19.证明：
（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,
∴BF=DF.
（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BDA）,
∴AE∥BD.
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