六年级奥数 对策问题.docx

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六年级奥数对策问题

第37讲对策问题

一、知识要点

同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事,这个故事给我们的启示是：

田忌采用了“扬长避短”的策略,取得了胜利.

生活中的许多事物都蕴含着数学道理,人们在竞赛和争斗中总是玩游戏,大至体育比赛、军事较量等,人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利,这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略,这就是所谓“知己知彼,百战不殆”.哪一方的策略更胜一筹,哪一方就会取得最终的胜利.

解决这类问题一般采用逆推法和归纳法.

二、精讲精练

【例题1】两个人做一个移火柴的游戏,比赛的规则是：

两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴,直到移尽为止.挨到谁移走最后一根火柴就算谁输.如果开始时有1000根火柴,首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜.

先移火柴的人要取胜,只要取走第999根火柴,即利用逆推法就可得到答案.

设先移的人为甲,后移的人为乙.甲要取胜只要取走第999根火柴.因此,只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根.依次类推,甲取的与乙取的之和为8根火柴）.由此继续推下去,甲只要取第983根,第975根,……第7根就能保证获胜.

所以,先移火柴的人要保证获胜,第一次应移走7根火柴.

练习1：

1、一堆火柴40根,甲、乙两人轮流去拿,谁拿到最后一根谁胜.每人每次可以拿1至3根,不许不拿,乙让甲先拿.问：

谁能一定取胜？

他要取胜应采取什么策略？

2、两人轮流报数,规定每次报的数都是不超过8的自然数,把两人报的数累加起来,谁先报到88,谁就获胜.问：

先报数者有必胜的策略吗？

3、把1994个空格排成一排,第一格中放一枚棋子,甲、乙两人轮流移动棋子,每人每次可后移1格、2格、3格,谁先移到最后一格谁胜.先移者确保获胜的方法是什么？

【例题2】有1987粒棋子.甲、乙两人分别轮流取棋子,每次最少取1粒,最多取4粒,不能不取,取到最后一粒的为胜者.现在两人通过抽签决定谁先取.你认为先取的能胜,还是后取的能胜？

怎样取法才能取胜？

从结局开始,倒推上去.不妨设甲先取,乙后取,剩下1至4粒,甲可以一次拿完.如果剩下5粒棋子,则甲不能一次拿完,乙胜.因此甲想取胜,只要在某一时刻留下5粒棋子就行了.不妨设甲先取,则甲能取胜.甲第一次取2粒,以后无论乙拿几粒,甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5,这样,每一轮后,剩下的棋子粒数总是5的倍数,最后总能留下5粒棋子,因此,甲先取必胜.

练习2：

1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒,谁取到最后一粒的是胜利者,你认为先取的能获胜,还是后取的能获胜,应采取什么策略？

2、有1997根火柴,甲、乙两人轮流取火柴,每人每次可取1至10根,谁能取到最后一根谁为胜利者,甲先取,乙后取.甲有获胜的可能吗？

取胜的策略是什么？

3、盒子里有47粒珠子,两人轮流取,每次最多取5粒,最少取1粒,谁最先把盒子的珠子取完,谁就胜利,小明和小红来玩这个取珠子的游戏,先名先、小红后,谁胜？

取胜的策略是什么？

【例题3】在黑板上写有999个数：

2,3,4,……,1000.甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦,乙后擦）,如果最后剩下的两个数互质,则甲胜,否则乙胜.谁必胜？

必胜的策略是什么？

甲先擦去1000,剩下的998个数,分为499个数对：

（2,3）,（4,5）,（6,7）,……（998,999）.可见每一对数中的两个数互质.如果乙擦去某一对中的一个,甲则接着擦去这对中的另一个,这样乙、甲轮流去擦,总是一对数、一对数地擦,最后剩下的一对数必互质.所以,甲必胜.

练习3：

1、甲、乙两人轮流从分别写有1,2,3,……,99的99张卡片中任意取走一张,先取卡的人能否保证在他取走的第97张卡片时,使剩下的两张卡片上的数一个是奇数,一个是偶数？

2、两个人进行如下游戏,即两个人轮流从数列1,2,3,……,100,101勾去九个数.经过这样的11次删除后,还剩下两个数.如果这两个数的差是55,这时判第一个勾数的人获胜.问第一个勾数的人能否获胜？

获胜的策略是什么？

3、在黑板上写n—1（n＞3）个数：

2,3,4,……,n.甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数.如果最后剩下的两个数互质,则乙胜,否则甲胜.N分别取什么值时：

（1）甲必胜？

（2）乙必胜？

必胜的策略是什么？

【例题4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数,规定禁止在黑板上写已写过的数的约数,最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写,谁一定获胜？

写出一种获胜的方法.

这里关键是第一次写什么数,总共只有10个数,可通过归纳试验.

甲不能写1,否则乙写6,乙可获胜；甲不能写3,5,7,否则乙写8,乙可获胜；甲不能写4,9,10,否则乙写6,乙可获胜.因此,甲先写6或8,才有可能获胜.

甲可以获胜.如甲写6,去掉6的约数1,2,3,6,乙只能写4,5,7,8,9,10这六个数中的一个,将这六个数分成（4,5）,（7,9）,（8,10）三组,当乙写某组中的一个数,甲就写另一个数,甲就能获胜.

练习4：

1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数.书写规则是：

不允许写黑板上已写过的数的约数,轮到书写人无法再写时就是输者.现甲先写,乙后写,谁能获胜？

应采取什么对策？

2、甲、乙两人轮流从分别写有3,4,5,……,11的9张卡片中任意取走一张,规定取卡人不能取已取过的数的倍数,轮到谁无法再取时,谁就输.现甲先取,乙后取,甲能否必然获绳？

应采取的对策是什么？

3、甲、乙两人轮流在2004粒棋子中取走1粒,3粒,5粒或7粒棋子.甲先取,乙后取,取到最后一粒棋子者为胜者.甲、乙两人谁能获胜？

【例题5】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图37-1所示,9张卡片分别写有：

1,3,4,5,6,7,8,9,10这几个数.小兵和小强两人做游戏,轮流取一张卡片放在9格中的一格,小兵计算上、下两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和,和数大的一方取胜.小兵一定能取胜吗？

如图37-1所示,由于4个角的数是两人共有的,因而和数的大小只与放在

A,B,C,D这4个格中的数有关.

小兵要获胜,必须采取如下策略,尽可能把大数填入A或C格,尽可能将

小数填入B格或D格.

由于1+10＜3+9,即B+D＜A+C,小兵应先将1放在B格,如小强把10放进D格,

小兵再把9放进A格,这时不论小强怎么做,C格中一定是大于或等于3的数,因而小兵获胜.如小强把3放进A格,小兵只需将9放到C格,小兵也一定获胜.

练习5：

1、在5×5的棋盘的右上角放一枚棋子,每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格.两人交替走,谁为胜者.必胜的策略是什么？

2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币,规则是每人每次只能放一枚,硬币不能重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放,谁就获胜.如果甲先放,那么他怎样才能取胜？

3、两人轮流在3×3的方格中画“√”和“×”,规定每人每次至少画一格,至多画三格,所有的格画满后,谁画的符号总数为偶数,谁就获胜.谁有获胜的策略？

面积计算

一、知识要点

计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手.这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的.有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径.

二、精讲精练

【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE＝ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积.

练习1：

1、如图,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米.求阴影部分的面积.

2、如图所示,AE=ED,DC＝1/3BD,S△ABC＝21平方厘米.求阴影部分的面积.

3、如图所示,DE＝1/2AE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米.

求三角形ABC的面积.

【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？

练习2：

1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,（如图所示）,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少？

2、已知AO＝1/3OC,求梯形ABCD的面积（如图所示）.

【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.

练习3：

1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图）.

2、如图所示,求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.

【例题4】如图所示,BO＝2DO,阴影部分的面积是4平方厘米.那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

练习4：

1、如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO.求梯形面积.

2、已知OC＝2AO,S△BOC＝14平方厘米.求梯形的面积（如图所示）.  

3、已知S△AOB＝6平方厘米.OC＝3AO,求梯形的面积（如图所示）.      

【例题5】如图所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积.

练习5：

1、如图所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积.

2、如图所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE＝4平方厘米,S△AFD＝6平方厘米,求三角形AEF的面积.

三、课后练习

1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍.求梯形ABCD的面积.（如图所示）.

2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.

3、如图所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积.