数字信号处理实验第一次报告实验三快速傅立叶变换及其应用.docx
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数字信号处理实验第一次报告实验三快速傅立叶变换及其应用
数字信号处理实验第一次报告实验三-快速傅立叶变换及其应用
实验三快速傅立叶变换及其应用
姓名：
学号：
一．实验平台
二．实验目的：
（1）在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。
（2）应用FFT对典型信号进行频谱分析。
（3）了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。
（4）应用FFT实现序列的线性卷积和相关。
三．实验原理：
（1）混叠：
采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。
（2）泄露：
根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号
（3）
（4）
（5）
四．上机实验内容：
1．观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa（n）中参数p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？
记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。
程序：
n=0:
15;
xa=exp（-（n-p）.^2/q）;
subplot（2,1,1）;
plot（n,xa）;
ya=fft（xa）;
ya=abs（ya）;
subplot（2,1,2）;
stem（n,ya）;
p=8,q=2（注：
上面是时域，下面是频域）
P=8,q=4
P=8,q=8
P=13,q=8
P=14,q=8
结论:
X（n）中的参数p为高斯序列的峰值位置，q则表示高斯序列峰的尖锐度，（即峰值边沿的陡峭度）。
q值越大，时域图中图象越平缓，序列变化越慢；其幅频特性图中高频分量越少，频谱越窄，越不容易产生混叠。
p值越大，序列右移，在规定的窗口内有效值被截断的越多。
因为窗口截断会造成窗口泄露，所以我们可以在幅频特性图中看到，随着p值的变大，高频分量会增加。
易出现泄露，当p=13时，特别是p=14时，产生了明显的泄露与混叠。
2．观察衰减正弦序列xb（n）的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混叠和泄漏现象？
说明产生现象的原因。
程序：
n=0:
15;a=0.1;
xb=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
subplot（2,1,1）;plot（n,xb）;
yb=fft（xb）;yb=abs（yb）;
subplot（2,1,2）;stem（n,yb）;
f=0.0625;
f=0.4375;
f=0.5625
结论：
该实验中f=F/fs（F—固有频率fs—采样频率，统一做归一化处理fs=1）
图中的幅频特性图：
当f=0.0625时，没有产生明显的混叠和泄露；当f=0.4375和f=0.5625时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故;
图中后两个序列的时域图：
因为0.4375+0.5625=1，满足如下等式（此情况只适用于正弦序列），Xb（n）|f=0.4375=-Xb（n）|f=0.5625,即sin（2pi*fn）=-sin[2pi（1-f）n],其幅频特性是完全相同的。
3.观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc（n）和xd（n）的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？
绘出两序列及其幅频特性曲线。
在xc（n）和xd（n）末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号序列的幅频特性，观察频谱特性发生了什么变化？
两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗？
这些变化说明了什么？
程序：
n1=0:
3;
xc1=n1;xd1=4-n1;
n2=4:
7;
xc2=8-n2;xd2=n2-4;
xc=[xc1,xc2];xd=[xd1,xd2];
subplot（2,2,1）;
n1=0:
31;n2=0:
7;
plot（n2,xc）;
yc=fft（xc,n）;yc=abs（yc）;
subplot（2,2,2）;stem（n1,yc）;
subplot（2,2,3）;plot（n2,xd）;
subplot（2,2,4）;
yd=fft（xd，n）;
yd=abs（yd）;
stem（n1,yd）;
n=8;（左边是时域，右边是频域，下同）
n=32;
结论：
反三角波的边沿比较陡峭，因此它的幅频特性曲线中高频分量比较多。
由图知：
当N=8时，正反三角波的幅频特性相同，因为两者的时域只差一个相位；当N=16时，正，反三角波的幅频特性不同。
这是因为栅栏效应，当N=8时，一些谱线被挡住。
通过在原序列的末端补零，N=16，即增加采样的点数和改变采样的位置，使这些被挡住的谱线显露出来，弱化了栅栏效应。
3．一个连续信号含两个频率分量，经采样得x（n）=sin[2π*0.125n]+cos[2π*（0.125+∆f）n]n=0,1,…N-1已知N=16，∆f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，∆f不变，其结果有何不同？
程序：
n=0:
N-1;
x=sin（2*pi*0.125*n）+cos（2*pi*（0.125+f）*n）;
subplot（2,1,1）;
plot（n,x）;subplot（2,1,2）;
y=fft（x）;y=abs（y）;
stem（n,y）;
N=16，f=1/16
N=16,f=1/64
N=128,f=1/16
N=128,f=1/64
结论：
当N=16，f=1/16，N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时，均反应了真实的频谱；只有当N=16,f=1/64时，频谱发生了严重的栅栏效应。
这是由于分辨率等于1/N，当f>=1/N时，能分辨，不会发生栅栏效应；当f=<1/N时，不能分辨，会发生栅栏效应。
4．用FFT分别计算xa（n）（p=8,q=2）和xb（n）（a=0.1,f=0.0625）的16点循环卷积和线形卷积。
程序：
n=0:
15;p=8;q=2;
xa=exp（-（n-p）.^2/q）;
a=0.1;f=0.0625;
xb=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
ya=fft（xa）;ya=abs（ya）;
yb=fft（xb）;yb=abs（yb）;
y1=ya.*yb;
subplot（2,1,1）;stem（n,y1）;
yaa=fft（xa，32）;yaa=abs（yaa）;
ybb=fft（xb，32）;ybb=abs（ybb）;
y2=yaa.*ybb;
subplot（2,1,2）;
n=0:
31;stem（n,y2）;
（上图是循环卷积，下图是线性卷积）
结论：
比较图中线性卷积与圆周卷积序列：
Xa（n）（序列长度为N1）与Xb（n）（序列长度为N2）的N点圆周卷积序列（当N5．产生一512点的随即序列xe（n）并用xc（n）和xe（n）做线形卷积，观察卷积前后xe（n）频谱的变化。
要求将xe（n）分成8段，分别采用重叠相加法和重叠保留法。
用重叠保留法和重叠相加法实现线形卷积的过程为：
Xc（n）序列长度为8，Xe（n）序列长度为512，分Xe（n）序列为8段，每段长度为64，则每段序列与Xc（n）序列卷积后的长度为72，总长度为520。
（凑成2的整数倍）
程序：
（重叠相加法）
e=rand（1,512）;
n1=0:
3;
xc1=n1;
n2=4:
7;
xc2=8-n2;
xc=[xc1,xc2];yc=fft（xc,72）;//将短序列补零后做72点的FFT
xe1=xe（1:
64）;
ye1=fft（xe1,72）;//对长序列第一段做72点的FFT
y1=ye1.*yc;//将上述两个FFT相乘
y1=[y1,zeros（1,448）];//补上448个零，以便相加，以下7段重复上述过程
xe2=xe（65:
128）;
ye2=fft（xe2,72）;
y2=ye2.*yc;
y2=[zeros（1,64）,y2,zeros（1,384）];
xe3=xe（129:
192）;
ye3=fft（xe3,72）;
y3=ye3.*yc;
y3=[zeros（1,128）,y3,zeros（1,320）];
xe4=xe（193:
256）;
ye4=fft（xe4,72）;
y4=ye4.*yc;
y4=[zeros（1,192）,y4,zeros（1,256）];
xe5=xe（257:
320）;
ye5=fft（xe5,72）;
y5=ye5.*yc;
y5=[zeros（1,256）,y5,zeros（1,192）];
xe6=xe（321:
384）;
ye6=fft（xe6,72）;
y6=ye6.*yc;
y6=[zeros（1,320）,y6,zeros（1,128）];
xe7=xe（385:
448）;
ye7=fft（xe7,72）;
y7=ye7.*yc;
y7=[zeros（1,384）,y7,zeros（1,64）];
xe8=xe（449:
512）;
ye8=fft（xe8,72）;
y8=ye8.*yc;
y8=[zeros（1,448）,y8];
y=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8;//将这8个序列相加，便可得到最终的结果。
y=abs（y）;
n=1:
520;
plot（n,y）
（重叠保留法）
xe=rand（1,512）;
xe=[zeros（1,8）,xe,zeros（1,56）]//长序列前添8个零，后添56个零，构成576点的序列
n1=0:
3;xc1=n1;
n2=4:
7;
xc2=8-n2;
xc=[xc1,xc2];
yc=fft（xc,72）;对短序列做72点的FFT
xe1=xe（1:
72）;//将所得序列分成8段，每段序列长度为72
ye1=fft（xe1,72）;对长序列的第一段做72点的FFT
y1=ye1.*yc;将上述两段序列相乘
y1=y1（9:
72）;取第一段所得结果的后64点，以下七段同上述布骤。
xe2=xe（73:
144）;
ye2=fft（xe2,72）;
y2=ye2.*yc;y2=y2（9:
72）;
xe3=xe（145:
216）;
ye3=fft（xe3,72）;
y3=ye3.*yc;
y3=y3（9:
72）;
xe4=xe（216:
288）;
ye4=fft（xe4,72）;y4=ye4.*yc;
y4=y4（9:
72）;
xe5=xe（289:
360）;
ye5=fft（xe5,72）;
y5=ye5.*yc;
y5=y5（9:
72）;
xe6=xe（361:
432）;
ye6=fft（xe6,72）;
y6=ye6.*yc;
y6=y6（9:
72）;
xe7=xe（433:
504）;
ye7=fft（xe7,72）;
y7=ye7.*yc;
y7=y7（9:
72）;
xe8=xe（505:
576）;
ye8=fft（xe8,72）;
y8=ye8.*yc;
y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]//将上述8段合并，变可得到最终结果
y=abs（y）;
n=1:
520;
plot（n,y）
结论：
比较图中序列的线形卷积频谱：
原序列的频谱曲线较线性卷积序列的频谱曲线陡峭，即一个长序列与一个短序列作线性卷积，短序列就相当于一个低通滤波器，滤除长序列的一部分高频分量；
6．用FFT分别计算xa（n）（p=8,q=2）和xb（n）（a=0.1,f=0.0625）的16点循环相关和线形相关，问一共有多少种结果，他们之间有何异同点。
程序：
functiony=t27
N=16;
n=0:
N-1;
m=（-N+1）:
（N-1）;
xa=exp（-（n-8）.^2/2）;
xb=exp（-0.1*n）.*sin（2*pi*0.0625*n）;
Xa1=abs（fft（xa,N））;
Xb1=abs（fft（xb,N））;
Xa2=fft（xa,2*N）;
Xb2=fft（xb,2*N）;
rm1=real（ifft（conj（Xa1）.*Xb1））;
rm2=real（ifft（conj（Xa2）.*Xb2））;
rm2=[rm2（N+2:
2*N）rm2（1:
N）];
subplot（2,1,1）
stem（n,rm1）
subplot（2,1,2）
stem（m,rm2）
（上面是循环相关，下面是线性相关）
由上图可以看到，16点的循环相关由于高斯噪声的干扰，衰减发生了微小的变化，时间位置不对了。
并且线形相关32点，循环相关只有16点。
7．用FFT分别计算xa（n）（p=8,q=2）和xb（n）（a=0.1,f=0.0625）的自相关函数。
程序：
n=0:
15;p=8;q=2;
xa=exp（-（n-p）.^2/q）;
a=0.1;
f=0.0625;
xb=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
k1=length（xa）;
k2=length（xb）;
xak=fft（xa,2*k1）;
xbk=fft（xb,2*k2）;
rma=real（ifft（conj（xak）.*xak））;
rma=[rma（k1+2:
2*k1）rma（1:
k1）];
rmb=real（ifft（conj（xbk）.*xbk））;
rmb=[rmb（k2+2:
2*k2）rmb（1:
k2）];
m1=（-k1+1）:
（k1-1）;
m2=（-k2+1）:
（k2-1）;
subplot（2,1,1）;
stem（m1,rma）;
subplot（2,1,2）;
stem（m2,rmb）;
（上面是Xa下面是Xb）
由图可以看出最大值出现在0点，这是因为自相关的两个序列是完全一样的，之间不存在延迟。
而且，两个序列的互相关与自相关不相同。
五．思考题：
（1）实验中的信号序列Xc（n）和Xd（n），在单位圆上的变化频谱|Xc（exp（jw）|和|Xd（exp（jw））|会相同吗？
如果不同，说出哪一个低频分量更多一些，为什么？
答：
他们的单位圆上的Z变换频谱不同，Xc（n）的时域波形比较平缓，顾其低频分量会多一些。
（2）对于一个有限长度序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFT展开，因为DFS也知识取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。
如果实正弦信号sin（2pi*fn）f=0.1用16点FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
为什么？
答：
不是信号本身的真实谱。
因为原信号的周期是10，因而进行16点FFT时，其16点的周期延拓后的波形已经不再是原来的波形了。
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