一次函数动点问题Word格式文档下载.docx
《一次函数动点问题Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一次函数动点问题Word格式文档下载.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
②若点(a,2)在该函数的图象上,试求a的值.
③若此一次函数的图象与x轴交点C,点P(m,n)是图象上一个动点(不与点C重合),设△POC的面积是S,试求S关于m的函数关系式.
3.已知函数y=kx+b的图象经过点A(4,3)且与一次函数y=x+1的图象平行,点B(2,m)在一次函数y=kx+b的图象上
(1)求此一次函数的表达式和m的值?
(2)若在x轴上有一动点P(x,0),到定点A(4,3)、B(2,m)的距离分别为PA和PB,当点P的横坐标为多少时,PA+PB的值最小.
4.已知:
一次函数图象如图:
(1)求一次函数的解析式;
(2)若点P为该一次函数图象上一动点,且点A为该函数图象与x轴的交点,若S△OAP=2,求点P的坐标.
5.阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义:
设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1与直线l2互相平行.
解答下面的问题:
(1)已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1,求过点P(1,3)且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式;
(2)设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B,求l1和l2两平行线之间的距离;
(3)若Q为OA上一动点,求QP+QB的最小值时Q点的坐标为 .
(4)在x轴上找一点M,使△BMP为等腰三角形,求M的坐标.(直接写出答案)
6.阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线互相垂直的定义,下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们相互垂直的定义:
设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的直线为l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2.若k1•k2=﹣1,我们就称直线l1与直线l2相互垂直,现请解答下面的问题:
已知直线l与直线y=﹣
x﹣1互相垂直,且直线l的图象过点P(﹣1,4),且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若点C是线段AB上一动点,求线段OC长度的最小值;
(3)若点Q是AO上的一动点,求△BPQ周长的最小值,并求出此时点Q的坐标;
(4)在(3)的条件下,若点P关于BQ的对称点为P′,请求出四边形ABOP′的面积.
参考答案与试题解析
一.解答题(共6小题)
1.模型介绍:
∴CB= CB'
,C′B= C'
B'
∴AC+CB=AC+CB′= AB'
.
解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F,则EF+FB的最小值就是线段 DE 的长度,EF+FB的最小值是
如图⑤,已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°
,点B是
的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值是 2
;
【解答】解:
∴CB=CB'
,C′B=C'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'
.
故答案为:
CB'
,C'
,AB'
;
①解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度,EF+FB的最小值是
在正方形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=90°
∵点E是AB中点,
∴AE=1,
根据勾股定理得,DE=
,
即:
EF+FB的最小值
DE,
②如图⑤,
由圆的对称性可知,A与A'
关于直径CD对称,连结A'
B交CD于F,则AE+EB的最小值就是线A'
BE的长度,
∴∠AOD=∠A'
OD=60°
∵点B是
的中点,
∴∠AOB=∠BOD=
∠AOD=30°
∴∠A'
OB=90°
∵⊙O的直径为4,
∴OA=OA'
=OB=2,
在Rt△A'
OB中,A'
B=2
∴BP+AP的最小值是2
故答案为2
③如图⑥,
由平面坐标系中的对称性可知,C与C'
关于直径y轴对称,连结C'
D交y轴于P,则PC+PD的最小值就是线C'
D的长度,
∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,
∴A(2,0),B(0,4),
∴C(1,0),D(1,2),
∵C与C'
关于直径y轴对称,
∴C'
(﹣1,0),
D=
=2
∴PC+PD的最小值为2
∵C'
(﹣1,0),D(1,2),
∴直线C'
D的解析式为y=x+1,
∴P(0,1).
①设一次函数解析式为y=kx+b,
依题意,得
解得
∴一次函数解析式为y=2x﹣1;
②将点(a,2)代入y=2x﹣1中,得2a﹣1=2,
解得a=
③由y=2x﹣1,令y=0得x=
∴C(
,0),
又∵点P(m,n)在直线y=2x﹣1上,
∴n=2m﹣1,
∴S=
×
|n|=
|(2m﹣1)|=|
m﹣
|.
(1)∵函数y=kx+b的图象经过点A(4,3)且与一次函数y=x+1的图象平行,
∴
,解得:
∴一次函数的表达式为y=x﹣1.
当x=2时,m=x﹣1=2﹣1=1,
∴m的值为1.
(2)作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′交x轴于点P,此时PA+PB取最小值,如图所示.
∵点B的坐标为(2,1),
∴点B′的坐标为(2,﹣1).
设直线AB′的表达式为y=ax+c,
将(2,﹣1)、(4,3)代入y=ax+c,
∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5.
当y=0时,2x﹣5=0,
解得:
x=
∴当点P的横坐标为
时,PA+PB的值最小.
(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
把(﹣2,3)、(2,﹣1)分别代入得
,解得
所以一次函数解析式为y=﹣x+1;
(2)当y=0时,﹣x+1=0,解得x=1,则A(1,0),
设P(t,﹣t+1),
因为S△OAP=2,
所以
1×
|﹣t+1|=2,解得t=﹣3或t=5,
所以P点坐标为(﹣3,4)或(5,﹣4).
(3)若Q为OA上一动点,求QP+QB的最小值时Q点的坐标为 Q(0,
) .
(1)根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1,设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b,
把P(1,3)代入得:
3=﹣1+b,即b=4,
则过点P(1,3)且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4;
(2)过O作ON⊥AB,如图1所示,ON为l1和l2两平行线之间的距离,
对于直线y=﹣x+4,令x=0,得到y=4;
令y=0,得到x=4,
∴A(0,4),B(4,0),即OA=OB=4,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=
=4
,且ON为斜边上的中线,
∴ON=
AB=2
则l1和l2两平行线之间的距离为2
(3)找出B关于y轴的对称点B′(﹣4,0),连接PB′,与y轴交于点Q,连接PQ,此时QP+QB最小,
设直线B′P的解析式为y=mx+n,
把B′和P坐标代入得:
m=
,n=
∴直线B′P的解析式为y=
x+
令x=0,得到y=
,即Q(0,
);
Q(0,
(4)如图2所示,分三种情况考虑:
当PM1=PB时,由对称性得到M1(﹣2,0);
当PM2=BM2时,M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点,
∵直线PB的解析式为y=﹣x+4,且线段PB中点坐标为(2.5,1.5),
∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5,即y=x﹣1,
令y=0,得到x=1,即M2(1,0);
当PB=M3B=
=3
时,OM3=OB+BM3=4+3
,此时M3(4﹣3
,0),M3(4+3
,0).
综上,M的坐标为(﹣2,0)或(1,0)或(4﹣3
,0)或(4+3
(1)设直线l的解析式为y=kx+b,
∵直线l与直线y=﹣
x﹣1互相垂直,
∴﹣
k=﹣1,解得k=2,
∵直线l的图象过点P(﹣1,4),
∴﹣k+b=4,即﹣2+b=4,解得b=6,
∴直线l的解析式为y=2x+6;
(2)如图1,过O作OC⊥AB于点C,
此时线段OC的长度最小,
在y=2x+6中,令x=0可得y=6,令y=0可求得x=﹣3,
∴A(0,6),B(﹣3,0),
∴OA=6,OB=3
∵
AB•OC=
OA•OB,
∴3
OC=3×
6,
∴OC=
即线段OC长度的最小值为
(3)如图2,作点P关于y轴的对称点P″,连接BP″交y轴于点Q,过P″作P″G⊥x轴于点G,
则PQ=P″Q,
∴PQ+BQ=BQ+QP″,
∵点B、Q、P″三点在一条线上,
∴BQ+PQ最小,
∵P(﹣1,4),
∴P″(1,4),
∴P″G=4,OG=1,
∴BG=BO+OG=4=P″G,
∴∠OBQ=45°
,BP″=4
∴OQ=BO=3,
∴Q点坐标为(0,3),
又BP=
此时△BPQ的周长=BP+BP″=4
+2
(4)由(3)可知∠OBQ=∠OQB=45°
∴∠PQA=∠P″QA=45°
∴PQ⊥BQ,
如图3,延长PQ到点P′,使PQ=P′Q,则P′即为点P关于BQ的对称点,过P′作P′H⊥y轴于点H,
由(3)可知PQ=QP′=
∴QH=HP′=1,
∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2,
∴S四边形ABOP′=S△AOB+S△AOP′=
6×
3+
1=12,
即四边形ABOP′的面积为12.