《数学分析》14无穷小量与无穷大量Word格式.doc

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我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？

进一步，这些“量”有哪些性质呢？

以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量

1．定义１：

设在某内有定义。

若，则称为当时的无穷小量。

记作：

.

（类似地可以定义当时的无穷小量）。

例：

都是当时的无穷小量；

是当时的无穷小量；

是时的无穷小量。

2．无穷小量的性质

（１）先引进以下概念

定义２（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：

是当时的有界量，即;

是当时的有界量，即.

注：

任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.

区别：

“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ>

０，在定义域内每一点，都有。

这里“有界”与点无关：

而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。

（２）性质

性质１　两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。

性质２　无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

性质３　是当时的无穷小量.

例如；

，.

问题：

两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？

考虑：

引申：

同为无穷小量，，而不存在？

这说明“无穷小量”是有“级别”的。

这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。

就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当时，的指数越大，它接近于０的速度越快。

这样看来，当时，的收敛速度快于的收敛速度。

所以其变化结果以为主。

此时称是（当时）的高阶无穷小量，或称时，是的低阶无穷小量。

一般地，有下面定义：

１．无穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似）

设当时，均为无穷小量。

（１）若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作.即.

例，.

问题，此时是可说？

引申与上述记法：

相对应有如下记法：

，这是什么意思？

含义如下：

若无穷小量与满足关系式，则记作.

例如，（１），.

（２）若.

注等式，等与通常等式的含义不同的。

这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“”。

，其中，而上述等式表示函数。

为方便起见，记作

（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量。

但需要注意：

不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量。

如，不存在。

但，所以与为当时的同阶无穷小量。

由上述记号可知：

若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：

。

（３）若，则称与是当时的等价无穷小量，记作.

１）;

２）.

对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。

定理设函数、、在内有定义，且有.

（1）若，则；

（2）若，则

例１．求.

例２．求极限.

在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：

只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。

３．小结

以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。

无穷小量比较。

两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。

但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。

例如.

二、无穷大量

１．问题“无穷小量是以０为极限的函数”。

能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。

答：

按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数当时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。

所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。

但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近。

１），当时，与越来越接近，而且只要与０充分接近，就会无限增大；

２），当时，也具有上述特性。

在分析中把这类函数称为当时有非正常极限。

其精确定义如下：

２．非正常极限

定义２（非正常极限）　设函数在某内有定义，若对任给的Ｍ>

0，存在，当时有，则称函数当时有非正常极限，记作。

１）若“”换成“”，则称当时有非正常极限；

若换成则称当时有非正常极限，分别记作.

2）关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列　当时的非正常极限的定义，都可类似地给出。

，当时，;

　，，当时，.

３．无穷大量的定义

定义３．对于自变量的某种趋向（或），所有以为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。

当时是无穷大量；

当时是无穷大量。

１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;

２）若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。

在上无界，但;

３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。

４．利用非正常极限定义验证极限等式

例３　证明.

例４　证明；

当时，。

三、无穷小量与无穷大量的关系

定理　（１）设在内有定义且不等于０，若为当时的无穷小量，则为时的无穷大量；

（２）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量。

四、曲线的渐近线

１．引言

作为函数极限的一个应用。

我们讨论曲线的渐近线问题。

由平面解析几何知：

双曲线有两条渐近线。

那么，什么是渐近线呢？

它有何特征呢？

２．曲线的渐近线定义

定义４　若曲线Ｃ上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某实直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。

形如的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；

形如的渐近线称为曲线Ｃ的垂直渐近线。

３．曲线的渐近线何时存在？

存在时如何求出其方程？

（１）斜渐近线

假设曲线有斜渐近线，曲线上动点到渐近线的距离为依渐近线定义，当时（或类似），，即有，——③

又由

.——④

由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与可相继由④和③式求出；

反之，若由④和③求得与，则可知（），从而为曲线的渐近线。

（２）垂直渐近线

若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴的渐近线，称为垂直渐近线。

例５　求曲线的渐近线。