春季新版北师大版八年级数学下学期第2章一元一次不等式与一元一次不等式组单元复习教案1Word文件下载.docx

春季新版北师大版八年级数学下学期第2章一元一次不等式与一元一次不等式组单元复习教案1Word文件下载.docx

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不等式的基本性质、不等式（组）的解法及不等式（组）解集的数轴表示是学生后续学习的重要基础和必备技能,一定量的练习是完全必要的,但不宜停留在简单的模仿训练与机械记忆的层次上,更不必强调解不等式（组）的步骤,要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变为另一种形式,它的解集为什么能在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解集,发展其代数变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式（组）的基本训练要自始至终加以关注,而不宜一步到位突击训练.如解决一些实际问题时,建立不等式模型之后要关注其求解过程、结果的准确性、解释结果的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会解不等式（组）与解方程（组）的异同.

4.恰当把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考.

对于一元一次不等式（组）的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背景的题目的难度要控制在教科书例题、习题的难度以下,不要人为加大难度.相应地,教师要鼓励学生自主探索与合作交流,引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等活动.同时,要鼓励解法的多样性,如对某些实际问题,学生可用方程、函数知识处理,只要学生的解法合理,就应当予以鼓励,不必强求统一.重要的是发展学生的思维策略,促进学生一般数学观的建立.

5.关注学生的个体差异,提高学生的学习积极性.

教学过程中,要尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.《标准》指出:

“学生的个体差异表现为认知方式与思维谋略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要.”本章教学要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出错,对学习有困难的学生,教师要耐心倾听他们的看法,适时引导,增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力的学生,要多提供一些材料,指导他们自学,发展他们的数学才能.例如,对于本章“读一读”中一元一次不等式组的应用的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实际问题,从中体会最优化思想.

1　不等关系

1课时

2　不等式的基本性质

3　不等式的解集

4　一元一次不等式

2课时

5　一元一次不等式与一次函数

6　一元一次不等式组

回顾与思考

1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义.

2.初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型.

1.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力.

2.在探索中发展学生归纳、猜想的能力及有条理地表达的能力.

培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,从交流中受益.

1.不等式概念的总结.

2.建立不等关系.

【难点】　从现实情境中建立不等关系.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习课本有关知识.

导入一:

师:

我们学过等式,等式的定义是什么?

生:

表示相等关系的式子叫等式.

我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;

体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些含有不等关系的例子.（同学们各抒己见）

生1:

每天我都比弟弟早起5分钟.

生2:

我的年龄不小于13岁.

生3:

我的体重不低于30公斤.

[设计意图]　通过这一活动,使学生体会到不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质.

导入二:

教师用课件出示商品图片,如:

手机、电视、冰箱、电脑、电话等,说明规则:

男、女生各派一名代表,看教师出示的商品,猜商品的价格,时间为一分钟,谁在一分钟之内猜出的商品多,谁就获胜.男先女后.

如:

教师出示一部彩屏手机的图片,请学生猜价格.“高了”指所猜价格大于手机真实价格,“低了”指所猜价格小于手机真实价格,只有1460元才和这部手机的真实价格相等.

通过游戏,大家也发现了相等是一种特殊情况,而不等是一般情况.现实生活中存在着大量的不等关系,研究这些不等关系有助于我们把握事物的变化规律.

[设计意图]　使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生的学习兴趣.

一、不等式的概念

思路一

　　[过渡语]　同学们,我们如何用式子来表示不等关系呢?

现在我们来看下面的问题.

【课件1】　

（1）如果某等腰三角形的底边长为acm,这边上的高为4cm,且这个三角形的面积不大于8cm2,那么a应该满足的关系式为　　　　（注意“不大于”的含义）;

（2）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:

每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式　　　　. 

【课件2】　某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为xm（x≤5）的装潢条镶嵌（不计接缝）,现有两种设计方案,如下图所示.

（1）填写下表:

通风口规格

x满足的关系式

正方形面积不大于1m2

圆的面积不大于1.5m2

（2）探究:

x/m

正方形的

面积/m2

圆的面

积/m2

S正与S圆

的关系

1

4

5

【课件3】　通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6cm,在一定生长期内每年增加约3cm,设经过x年后这棵树的树围超过30cm,请你列出x满足的关系式.

总结:

一般地,用符号“<

”（或“≤”）,“>

”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.（特别地,不等号还包含“≠”）

[设计意图]　通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系.

思路二

　　[过渡语]　既然不等关系在现实生活中并不少见,那么大家肯定接触过不少,如何用式子表示不等关系呢?

请看下面的问题.

【课件1】　如图所示,用两根长度均为lcm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.

（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?

（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?

（3）当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?

l=12呢?

改变l的取值再试一试,由此你能得到什么猜想?

【课件2】　通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6cm,在一定生长期内每年增加约3cm,设经过x年后这棵树的树围超过30cm,请你列出x满足的关系式.

[设计意图]　通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重要模型,并初步感知最优化思想.

二、例题讲解

　　[过渡语]　刚刚我们学习了什么是不等式,现在我们通过下面的例题来看看同学们理解得怎么样.

（补充例题）用不等式表示下列关系.

（1）a是正数;

（2）a是负数;

（3）a与6的和小于5;

（4）x与2的差不小于-1;

（5）x的4倍不大于7;

（6）y的一半小于3.

解:

（1）a>

0.

（2）a<

（3）a+6<

5.

（4）x-2≥-1.

（5）4x≤7.

（6）y<

3.

[设计意图]　对本节知识进行巩固练习,及时反馈,使学生会运用适当的不等号表示不等关系.

本课我们主要学习了根据题意列出不等式,并由此总结出不等式的概念.在列不等式时,要特别注意“不大于”“不小于”等词语的含义,通过表示不等关系的式子归纳出不等式的概念.

1.下面给出了5个式子:

①3>

0;

②4x+3y>

③x=3;

④x-1;

⑤x+2≤3.其中不等式有（　　）

A.2个B.3个C.4个　D.5个

解析:

根据不等式的定义可知不等式为①②⑤.故选B.

2.a,b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是（　　）

A.a>

0,b<

0B.a<

0,b>

C.ab>

0D.以上均不对

根据数轴上的位置可知a>

0,所以ab<

0.故选A.

3.a是非负数的表达式是（　　）

0B.a≥0

C.a≤0D.|a|≥0

非负数就是大于或等于零的数.故选B.

4.用不等号连接下列各组数:

（1）-　　　　-;

（2）x2+1　　　　0. 

两个负数,绝对值大的反而小.因为<

所以->

-;

因为x2≥0,所以x2+1>

答案:

（1）>

（2）>

5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为　　　　. 

3y+4x<

6.一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒,假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒,如果这名运动员破纪录,那么　　　　;

如果这名运动员没破纪录,那么　　　　. 

x<

11.7　x≥11.7

7.用适当的符号表示下列关系:

（1）a的2倍比a与3的和小;

（2）y的一半与5的差是非负数;

（3）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差.

（1）2a<

a+3.

（2）y-5≥0.

（3）3x+1<

2x-5.

8.用不等式表示下列关系:

（1）一个数的平方是非负数;

（2）某天的气温不高于25℃.

（1）设这个数为x,则x2≥0.

（2）设这天的气温为t℃,则t≤25.

一、教材作业

【必做题】　

教材第38页随堂练习的1,2题.

【选做题】　

教材第38页习题2.1的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列不等关系一定正确的是（　　）

A.|a|>

0B.-x2<

C.（x+1）2≥0D.a2>

2.小林在水果摊上称了2斤苹果,摊主称了几个苹果说:

“你看秤,高高的.”如果设苹果的实际质量为x斤,用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是（　　）

A.x≥2B.x≤2C.x>

2D.x<

2

【能力提升】

3.若0<

a<

1,则用“<

”连接a,1,的结果为　　　　. 

4.从2,3,4,5,6中任取两个数组成一组数,其中两数之和小于10的数组共有　　　　组. 

5.有如下图所示的两种广告牌,其中图

（1）是由两个等腰直角三角形构成的,图

（2）是一个长方形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,这种大小关系可以用含字母a,b的不等式表示为　　　　. 

【拓展探究】

6.用不等式表示下列关系:

a与b的和大于a的2倍且小于b的3倍.

7.某班同学去春游花了250元包租了一辆客车,如果参加春游的同学每人交8元钱租车费,还不够,如果每人交9元,还用不了.用不等式表示出上述问题中存在的不等关系.

8.工人小王4月份计划生产零件270个,前10天平均每天生产5个,后来改进技术,提前3天超额完成任务.设小王10天之后平均每天生产零件x个,请你试着写出x所满足的关系式.

9.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:

答对一题得6分,不答或答错一题扣2分.某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?

（只列关系式）

10.比较下面每小题中两个算式结果的大小（在横线上填“>

”“<

”或“=”）,并回答问题.

（1）32+42　　　　2×

3×

4;

（2）22+22　　　　2×

2×

2;

（3）12+　　　　2×

1×

;

（4）（-2）2+52　　　　2×

（-2）×

5;

（5）+　　　　2×

×

. 

观察上面的算式,请你用含字母a,b的式子来表示上面算式反映的一般规律.

【答案与解析】

1.C

2.C（解析:

“高高的”的意思是苹果的实际质量大于2斤.故选C.）

3.a<

1<

（解析:

用特殊值法解决.设a=,则=2,所以a<

.故填a<

.）

4.8（解析:

将所有情况列举出来,然后判断即可.）

5.a2+b2>

ab（a>

b）（解析:

由图可看出图

（1）的面积是a2+b2,图

（2）的面积是ab.再根据图形面积的大小关系,可得a2+b2>

b）.故填a2+b2>

b）.）

6.解:

2a<

a+b<

3b.

7.解:

设参加春游的同学共有x人,根据每人交8元钱租车费,还不够,可得8x<

250;

根据每人交9元,还用不了,可得9x>

250.

8.解:

5×

10+（30-10-3）x>

270.

9.解:

设该同学应答对x道题,依题意有6x-（16-x）×

2>

60.

10.解:

（2）=　（3）>

　（4）>

　（5）>

　a2+b2≥2ab（当a=b时取等号）.

本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展了学生的符号感与数学化的能力.

本节课还是有很多的不足,学生平时缺少锻炼,使得课堂气氛没有达到最好的效果.学生在进行自主合作探究时,特别是在进行讨论时,有时讨论会偏离中心,提出一些与本节课内容无关的问题.

在教学中,充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习.

随堂练习（教材第38页）

2.解:

（1）a≥0.　

（2）c>

a,c>

b.　（3）x+17<

5x.　（4）a2+b2≥2ab（设这两个数分别为a和b）.

习题2.1（教材第38页）

1.解:

（1）3x+8>

5x.　

（2）x2≥0.　（3）S1>

S2（S1表示地球上的海洋面积,S2表示地球上的陆地面积）.　（4）x>

2y（x表示老师的年龄,y表示你的年龄）.　（5）m1>

m2（m1表示铅球的质量,m2表示篮球的质量）.

3.解:

（1）600x+100（10-x）≥4200.　

（2）8x+4（10-x）≤72.

4.解:

（1）0<

x≤5.　

（2）0<

y≤10.

深化对不等式的认识

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章教科书首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数之间的内在联系,遵循由浅入深的原则,体现数学中的数形结合思想.

本章教科书在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系.通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,但面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在小学,学生已经学过一些关于不等关系的相关知识,知道生活中大量存在着不等关系,了解“>

”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学语言表达.在相关知识的学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础.

　班级50名学生上体育课,老师出了一道题目:

现在拿来一些篮球,如果每5人一组玩一个篮球,那么有些同学没有球玩;

如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.你们知道有几个篮球吗?

甲同学说:

如果有x个篮球,那么有5x<

50.

乙同学说:

而且有6x>

丙同学说:

还有6（x-1）<

你明白他们的意思吗?

甲同学说的意思是:

如果每5人一组玩一个篮球,那么玩球的人数少于50人,即有些同学就没有球玩.

乙同学说的意思是:

如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.

丙同学说的意思是:

如果每6人一组玩一个篮球,除了一个球以外,剩下的球每6人玩一个,还有几人（不足6人）玩另外一个篮球.

　一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后,提出了一道有趣的问题.他说:

比萨斜塔共有8层,其中顶层有12根石柱,中间6层,每层的石柱一样多,底层石柱只有中间每层石柱的一半,而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数.告诉你比萨斜塔由200多根石柱构成,但不会超过250根.则比萨斜塔由多少根石柱构成?

设比萨斜塔的底层有x根石柱,那么中间6层每层各有2x根,则比萨斜塔共有（13x+12）根石柱.

由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数,即x是5的倍数,因此x可取5,10,15,20,….

当x取5,10时,总石柱数13x+12<

200,不符合题意;

当x取20时,13x+12>

250,也不符合题意;

当x=15时,13x+12=207,符合要求.

因此比萨斜塔由207根石柱构成.

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.

2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>

a”或“x<

a”的形式.

1.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.