六、（本大题共12分）
23．综合与实践
【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：
将一根直尺折成一个直
角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我
国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5
的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：
三边长分别为9，12，15或32，42，52的三
角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
【实践操作】如图①，在矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，AB＝12cm.
第一步：
如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB
上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：
如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然
后展平，隐去AF.
第三步：
如图④，将图③中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕
为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
（1）请在图②中证明四边形
AEFD是正方形；
（2）请在图④中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图④中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．
【探索发现】（4）在不添加字母的情况下，图④中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？
请找出并直接写出它们的名称．
参考答案与解析
1．B2.C3.D4.C5.D6.D
7．－48.60°9.210.（225＋252）π11.2
12．（2，2）或（2，4）或（2，22）或（2，－22）解析：
连接EC.∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
AB＝AC，
BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，
∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝
AD＝AE，
EC，∠ABD＝∠ACE＝45°.∵∠ACB＝45°，∴∠ECD＝90°，∴点E在过点C且垂直x轴的
直线上，且EC＝DB.①当DB＝DA时，点D与O重合，则BD＝OB＝2，此时E点的坐标
为（2，2）．②当AB＝AD时，BD＝CE＝4，此时E点的坐标为（2，4）．③当BD＝AB＝22时，
E点的坐标为（2，22）或（2，－22）．故答案为（2，2）或（2，4）或（2，22）或（2，－22）．
13．
（1）解：
解不等式3x－1≥x＋1，得x≥1.解不等式x＋4<4x－2，得x>2，∴不等式
组的解集为x>2.（3分）
1．）证明：
∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，∴AF＝BE.（4分）在△ADF与△BCE中，
AD＝BC，
∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE（SAS）．（6分）
AF＝BE，
14．解：
原式
m2mm＋2mm＋2
－
＝m－2（m－2）（m＋2）·m＝m－2·m－
2mm＋2m＋22m
（m－2）（m＋2）·m＝m－2－m－2＝m－2.（4分）∵m≠±2，0，∴m只能选取3.当m＝3
时，原式＝3.（6分）
15．解：
（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾
恰好是A类的概率为1.（2分）
3
（2）如图所示：
（4分）
18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同
类的结果有12种，所以P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝12＝2.（6分）
183
16．解：
（1）如图①所示．（3分）
（2）如图②所示，AF即为BC边上的高．（6分）
17．解：
（1）连接EC.∵∠ABC＝135°，∠BCD＝150°，∴∠EBC＝45°，∠ECB＝30°.过
点E作EP⊥BC，则EP＝BE×sin45°≈0.25m，CE＝2EP≈0.5m.（2分）
（2）过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，∴四边形EDFM是矩形，∴MG＝ED，∠DEM
＝90°，∴∠AEM＝180°－∠ECB－∠EBC－90°＝15°.在Rt△AEM中，AM＝
AE×sin15≈°0.39m，（4分）∴AF＝AM＋CE＋DC≈0.39＋0.5＋2.1≈3.0（m），∴点A到地面
的距离约是3.0m.（6分）
18．解：
（1）126（2分）
（2）根据题意得抽取学生的总人数为40÷40%＝100（人），∴3小时以上的人数为100－（2
＋16＋18＋32）＝32（人），补全条形统计图如图所示．（5分）
（3）根据题意得
1200×
768（人），则每周使用手机时间在
32＋32
100
2小时以上（不含2小时）
768人．（8分）
19．解：
（1）131.23.3（2分）
0.12x（0≤x≤20），
（2）y1＝0.1x（x≥0）；y2＝
（5分）
0.09x＋0.6（x>20）.
（3）顾客在乙复印店复印花费少．（6分）理由如下：
当x>70时，y1＝0.1x，y2＝0.09x＋0.6，
∴y1－y2＝0.1x－（0.09x＋0.6）＝0.01x－0.6.（6分）∵x>70，∴0.01x－0.6>0.1，∴y1>y2，∴
当x>70时，顾客在乙复印店复印花费少．（8分）
20．解：
（1）∵一次函数y＝－2x＋1的图象经过点A（－1，m），∴m＝2＋1＝3，∴A（－1，
k
3）．（2分）∵反比例函数y＝的图象经过A（－1，3），∴k＝－1×3＝－3.（4分）
x
（2）延长AE，BD交于点C，则∠ACB＝90°.∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为
33
（0，－2），∴令y＝－2，则－2＝－2x＋1，∴x＝2，即B2，－2，∴C（－1，－2），∴AC
3511
＝3－（－2）＝5，BC＝2－（－1）＝2，（6分）∴S四边形AEDB＝S△ABC－S△CDE＝2AC·BC－2CE·CD＝
12×5×25－21×2×1＝241.（8分）
21．
（1）证明：
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝
∠OCA.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，∴AC平分∠DAO.（3分）
（2）解：
①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∵∠E＝30°，∴∠OCE＝180°－105°
－30°＝45°.（5分）
②过点O作OG⊥CE于点G，则CG＝FG.∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，
OG
∴FG＝2.（7分）在Rt△OGE中，∵∠E＝30°，∴GE＝taOnG30＝°6，∴EF＝GE－FG＝6－
2.（9分）
22．解：
（1）由函数y1的图象经过点（1，－2），得（a＋1）（－a）＝－2，解得a1＝－2，a2
＝1.当a＝－2或1时，函数y1化简后的结果均为y1＝x2－x－2，∴函数y1的表达式为y＝x2
－x－2.（3分）
（2）当y＝0时，（x＋a）（x－a－1）＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，∴y1的图象与x轴的交点
是（－a，0），（a＋1，0）．（4分）当y2＝ax＋b经过（－a，0）时，－a2＋b＝0，即b＝a2；（5分）
当y2＝ax＋b经过（a＋1，0）时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.（6分）
－a＋a＋11
（3）由题意知函数y1的图象的对称轴为直线x＝2＝2.（7分）∴点Q（1，n）与点（0，
n）关于直线x＝21对称．∵函数y1的图象开口向上，所以当m23．
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAE＝90°.由折叠知AE＝AD，∠AEF
＝∠D＝90°，∴∠D＝∠DAE＝∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形．∵AE＝AD，∴矩形
AEFD是正方形．（3分）
（2）解：
NF＝ND′.（4分）证明如下：
如图，连接HN.由折叠知∠AD′H＝∠D＝90°，HF＝
HD＝HD′.∴∠HD′N＝90°.∵四边形AEFD是正方形，∴∠EFD＝90°.在Rt△HNF和
HN＝HN，
Rt△HND′中，∴Rt△HNF≌Rt△HND′，∴NF＝ND′.（6分）
HF＝HD′，
（3）证明：
∵四边形AEFD是正方形，∴AE＝EF＝AD＝8cm.设NF＝ND′＝xcm，由折叠
知AD′＝AD＝8cm，EN＝EF－NF＝（8－x）cm.在Rt△AEN中，由勾股定理得AN2＝AE2＋EN2，
即（8＋x）2＝82＋（8－x）2，解得x＝2，∴AN＝10cm，EN＝6cm，∴EN∶AE∶AN＝6∶8∶10
＝3∶4∶5，∴△AEN是（3，4，5）型三角形．（9分）
（4）解：
∵△AEN是（3，4，5）型三角形，∴与△AEN相似的三角形都是（3，4，5）型三角形，
故△MFN，△MD′H，△MDA也是（3，4，5）型三角形．（12分）
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