第六章电磁感应与暂态过程.docx
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第六章电磁感应与暂态过程
第六章电磁感应与暂态过程
静电场和恒定磁场的基本规律，在表达公式中电场和磁场是各自独立、互不相
必然存在着相互联系、制约的关系。
1820年奥斯特发现了电流的磁效应，1831年法拉第经过系统研究，发现了电磁感应现象，并总结出电磁感应定律。
电磁感应现象的发现，不仅阐明了变化磁场能够激发电场这一关系，还进揭示了电与磁之间的内在联系，促进了电磁理论的发展，从而奠定了现在电工技术的基础。
从实用的角度看，这一发现使电工技术有可能长足发展，为后来的人类生活电气化打下了基础。
从理论上说，这一发现更全面地揭示了电和磁的关系，使在这一年初生的麦克斯韦后来有可能建立一套完整的电磁场理论，这一理论在近代科学重得到了广泛的应用。
因此，怎样评价法拉第的发现的重要性都是不为过的。
本章主要讨论电磁感应现象及其基本规律——法拉第电磁感应定律，介绍产生电动势的两种情况一一动生和感生电动势，分别对电磁感应的几种类型，包括自感和互感进行讨论，最后介绍RL、RC电路的暂态过程和磁场的能量等内容。
§法拉第电磁感应定律
、电磁感应现象
这里有三个具有代表性的实验。
1、把线圈L和电流计G连接成一闭合回路，用磁棒插入线圈L,发现在磁棒插入过程中电流计G的指针有偏转。
这表明在磁棒插入过程中回路中出现了电流。
若磁棒插入线圈后不动，电流计指针降回到零点。
这表明在磁棒相对线圈静止时,线圈回路中没有电流。
在磁棒从线圈L中抽出的过程中，电流计指针有发生偏转,但偏转的方向与插入过程的偏转方向相反。
这表明在磁棒抽出的过程中，回路中的
电流方向与磁棒插入过程中回路的电流方向相反。
如果加快磁棒插入或抽出的速度，则指针偏转加大，说明回路中电流加大。
固定磁棒不动使线圈相对磁棒运动,同样可观察到上述现象。
2、用一个通有恒定电流的线圈L1代替磁棒，反复上面的实验，可观察到同样的现象。
3、把线圈L1放在线圈L中不动，线圈L1通过开关K和一电池相连。
当将K
合下时，发现电流计指针偏转然后回到零点。
将K打开时，发现电流计指针朝相反
流。
这三个看来不同的实验存在共同点。
当磁棒或载流线圈L1相对线圈L运动时,线圈所在处的磁场随时间变化，因而通过线圈L的磁通量也随时间发生变化。
因此不论什么原因，当通过闭合导体回路的磁通量发生变化时，在导体回路中就会产生电流。
电磁感应定律是建立在广泛的实验基础上的。
法拉第的实验大体上可以归结为两类：
一类是磁铁与线圈有相对运动时，线圈中产生了电流；另一类是当一个线圈中电流发生变化时，在它附近的其他线圈中也产生了电流。
法拉第将这些现象与静电感应类比，把它们称作“电磁感应”现象。
对实验仔细分析可概括出一个能反映其本质的结论:
当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，不管这种变化
是由什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流。
这种现象称为电磁感应现象。
必须注意：
由于线圈中插入铁芯后线圈中的感应电流大大增加，说明感应电流的产生是因为磁感应强度B通量的变化，而不是由于磁场强度H通量的变化。
、楞次定律
1833年，楞次（Lenz）在进一步概括了大量实验结果的基础上，得出了确定感应电流方向的法则，称为楞次定律：
闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向,它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化。
楞次定律实质上是能量守恒定律的一种体现，具体分析演示实验，感应电流的方向遵从楞次定律的事实表明楞次定律本质上就是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。
用楞次定律确定感应电动势的方向时，可按照以下步骤进行:
1、判明原理磁场的方向以及穿过线圈的磁通的变换趋势（增或减）
2、根据楞次定律确定感应电流产生的附加磁通的方向
3、根据右手定则由附加磁通方向定出感应电流的方向。
三、法拉第电磁感应定律
回路中的感应电流也是一种带电粒子的定向运动。
要注意，这里的定向运动并不是静电场力作用于带电粒子而形成的，因为在电磁感应的实验中并没有静止的电荷作为静电场的场源。
感应电流应该是电路中的一种非静电力对带电粒子作用的结果。
我们知道电源产生电流是源于一种非静电力作用的结果，可以用电动势的概念加以说明。
类似地，在电磁感应实验中的非静电力也可以用电动势的概念加以说明,叫做感应电动势。
这就是说，其实感应电流只是回路中存在感应电动势的对外表现,由闭合回路中磁通量的变化直接产生的结果应是感应电动势。
法拉第对电磁感应现象做了定量的研究，总结得出了用感应电动势来描述电磁感应的基本定律:
通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势i与磁通
量对时间的变化率成正比。
如果采用国际单位制，以表示通过闭合导体回路的磁通量，以i表示磁通量发生变化时在导体回路中产生的感应电动势，则定律可表示
d
i
dt
这一公式就是法拉第电磁感应定律的一般表达式。
在约定的正负符号规则下，式中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量变化的关系，它是楞次定律的数学表现。
确定感应电动势i的符号规则如下：
在回路上先任意选定一个转向作为回路的
en，然后确定通
绕行方向，再用右手螺旋法则确定此回路所包围面积的正法线方向
过回路面积的磁通量的正负，凡穿过回路面积的B方向与en相同者为正，相反者为
负；最后再考虑的变化，感应电动势i的正负只由d^决定。
参见P481图亿1和图17.2所示。
如果回路是由N匝导线串联而成，那么在磁通量变化时，每匝中都将产生感应
动势的总和，即
iN」
idtdt
习惯上把N称为线圈的磁通量匝数或磁链数。
如果每匝中的磁通量不同，就应该
如果闭合回路的电阻为R,贝恠回路中的感应电流为
li-
RRdt
利用Idq，可算出在ti到t2这段时间内通过导线的任一截面的感生电荷量为
dt
t2
t1
t21t21
qJidt-t1dR（12）
式中1
2分别是t1、t2时刻通过导线回路所包围面积的磁通量。
上式表明，在一段时间内通过导线截面的电荷量与这段时间内导线回路所包围的磁通量的变化值成正比，而与磁通量变化的快慢无关。
如果测出感生电荷量，而回路的电阻又为
已知，就可以计算磁通量的变化量。
常用的磁通计就是根据这个原理而设计的。
根据电动势的概念可知，当通过闭合回路的磁通量变化时，在回路中出现某种
非静电力，感应电动势就等于移动单位正电荷沿闭合回路一周这种非静电力所作的
功。
如果用Ek表示等效的非静电性场强，则感应电动势i可表示为
可表为积分形式
"Ekdl—BdSdts
式中积分面S是以闭合回路为边界的任意曲面。
§动生电动势
法拉第电磁感应定律表明，只要通过回路所围面积中的磁通量发生变化，回路
样的，但从本质上可归纳为两类：
一类是磁场保持不变，导体回路或导体在磁场中
运动；另一类是导体回路不动，磁场发生变化。
产生的电动势分别称为动生电动势和感生电动势。
、在磁场中运动的导线内的感应电动势
首先讨论磁场不变、导体在磁场中运动或回路的形状和位置变动而产生的电磁感应现象，由于导体运动而产生的感应电动势习惯上称为动生电动势。
如图17.3所示。
一个由导线做成的回路abcda中，长度为I的导线段ab以速度V在垂直于磁感应强度为B的匀强磁场中作匀速直线运动而产生的动生电动势为
——（BIx）BI-dXBlv
dtdtdt
这里通过回路面积磁通量的增量也就是导线在运动过程中所切割的磁感应线
数，所以动生电动势在量值上等于在单位时间内导线所切割的磁感应线数。
由符号法则或楞次定律，可以确定动生电动势的方向是从b指向a的。
也可以用右手定则简便地判断这种一段导体在磁场中运动时所产生的动生电动势的方向:
伸平右手掌并使拇指与其他四指垂直，让磁感线从掌心穿入，当拇指指向导体运动
方向时，四指所指就是导体中产生的动生电动势的方向。
注意，电动势是运动导线运动产生的，电动势只存在于导线ab段内，即运动着的导线ab相当于一个电源。
导体在磁场中运动切割磁感应线而产生的电动势，可用金属电子理论来解释。
当导线ab以速度V向右运动时，导线内每个自由电子也获得向右的定向速度V,自由电子受到的洛伦兹力F为
FevB
F的方向沿导线从a指向b,电子在力F的作用下将沿导线从a端向b端运动，结果在回路中出现逆时针方向的感应电流。
非静电性力就是洛伦兹力F，可以看作等效于一个非静电性场强Ek对电子的作用，即
eEkevB
EkVB
由于回路的be、cd、和da段相对磁场静止，其中非静电性场强Ek0,只有ab段中的Ek0,由矢量积分关系可知，ab段中的平行于I，所以在回路abeda中的感应电动势i为
bb
i^EkdlaEkdla（VB）dlBIv
结果与前面完全相同，表明形成动生电动势的实质是运动电荷受洛伦兹力的结果。
在一般情况下，磁场可以不均匀，导线在磁场中运动时各部分的速度也可以
不同，V、B和I也可以不互相垂直。
这时可以先考虑一段以速度V运动的导体元dl，在其中产生的动生电动势为，整个导体中产生的动生电动势应该是各段导体之中产生的动生电动势之和。
动生电动势仍可用下式计算:
iL（vB）dl
线元矢量dl的方向是任意选定的，当dl与vB间呈锐角时，i为正，表示i顺着dl方向；呈钝角时，i为负，表示i逆着dl方向。
特别地，如果是整个导体回路
L都在磁场中运动，则在回路中产生的总动生电动势应为
i\（vB）dl
回路中建立起感应电流后，载流导线ab段在外磁场中又要受到安培力F的作用，其大小为
FBlil
方向在纸面内垂直于导线向左。
所以如要维持ab向右作匀速运动，使在ab导线中
产生恒定的电动势，从而在回路中建立恒定的感应电流li，就必须在ab段上施加一同样大小方向向右的外力F。
因此，在维持ab段导线作匀速运动过程中，外力F必须克服安培力F而做功，它所消耗的恒定功率为
PFvBlilv
因为运动导线相当于一个电源，其动生电动势iBlv，它向回路中供应的电功率
PeiliBlilV
可以看到，Pe正好等于P。
这一关系从能量的转换来说就是：
电源向回路中供应的电能来源于外界供给的机械能。
实质上，我们这里所讨论的就是发电机的工作原理，也就是动生电动势的一个实际应用。
发电机是把机械能转化为电能的装置，从力学方面来说，外力F做功表
示外界向发电机供给了机械能，磁场力做负功表示发电机接受了此能量。
在回路方
面来说，电源的电动势为i，电源向电路中供应出电能，其电功率为ili。
由此可
见，“磁场力做负功，接受了机械能”和“电源向电路中供应电能”就是“机械能向电能转化”同一事实的两个侧面。
所以，要使发电机不断地工作，就得用水轮机、汽轮机或其他动力机械带动导线运动，把机械能不断地转化为电能。
、磁场中转动的线圈内的感应电动势
设在均匀磁场中作匀速转动的矩形线圈ABCD的匝数为N,面积为S,使这些
线圈在匀强磁场中绕固定的轴线00转动，磁感应强度B与00轴垂直。
当t0时,
线圈平面的法线单位矢量en与磁感应强度B之间的夹角为零，经过时间t，线圈平
面的法线单位矢量en与B之夹角为，这时通过每匝线圈平面的磁通量为
BScos
当线圈以00为轴转动时，夹角随时间改变，所以也随时间改变。
根据法拉第
电磁感应定律，N匝线圈中所产生的动生电动势为
iN—NBSsin—dtdt
式中—是线圈转动时的角速度，若是常量，在t时刻,
dt
t，代入上式得
iNBSsint
令0NBS，表示当线圈平面平行于磁场方向的瞬时动生电动势，也就是线圈中
最大动生电动势的量值。
这样
i0sint
上式也可用洛伦兹力的观点导出。
当线圈平面法线单位矢量en与B之间的夹角
t时，AB段上各点都以速度V运动，其等效非静电性场强为
EkVB
方向由A指向B,其大小为EkvBsin;同样，在CD段中，Ek的方向由C指向
D，大小和
AB段中的相等；在BC和DA段中，Ek的方向都垂直于线段。
如设
ABCD
l1,BCDAl2，则Ek沿ABCD的线积分，即在线圈中的动生电动势
iN©Ekdl2NliEk2NliVBsin
1
线圈绕00轴转动时，AB和CD段的速度V与角速度的关系为V-l2，代入
2
上式有
iNI1I2BsintNSBsint
式中SIil2是矩形线圈的面积，结果与前相同。
上述关系表明在匀强磁场内转动的线圈中所产生的电动势是随时间作周期性变化的，周期为2/。
在两个相邻的半周期中，电动势的方向相反，这种电动势
叫交变电动势。
在交变电动势的作用下，线圈中的电流也是交变的，叫做交变电流或交流。
由于线圈内自感应的存在，交变电流的变化要比交变电动势的变化滞后一些，所以线圈中的电流一般可以写成
IIosin（t）
这就是发电机的基本原理。
三、交流发电机（介绍或自己看）
§3感生电动势和感生电场
、感生电动势和感生电场
导线或线圈在磁场中运动时所产生的感应电动势，其非静电性力起源于洛伦兹
力。
电磁感应现象又表明：
当导线回路固定不动，而磁通量的变化完全由磁场变化所引起时，导线回路内也将产生感应电动势。
这种由于磁场变化引起的感应电动势,称为感生电动势。
产生感生电动势的非静电性力，不能用洛伦兹力来解释。
由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受到非静电力作用形成的，而静止电荷受到的力只能是电场
力，所以这时的非静电力也只能是一种电场力。
麦克斯韦分析后提出：
变化的磁场在其周围激发了一种电场，这种电场称为感生电场。
它就是产生感生电动势的“非静电场”。
当闭合导线处在变化的磁场中时，就是由这种电场作用于导体中的自由电荷，从而在导线中引起感生电动势和感应电流的出现。
如果用Ei表示感生电场的场强，则当回路固定不动，回路中磁通量的变化全是由磁场的变化所引起时，在一个导体回路L中产生感生电动势应为
根据法拉第电磁感应定律应该有
法拉第当时只着眼于导体回路中感应电动势的产生，麦克斯韦更着重于电场和磁场的关系的研究。
他指出，在磁场变化时，不但会在导体回路中，而且在空间任一点
都会产生感生电场，而且感生电场沿任何闭合路径的环路积分都满足上式。
用B表示磁感应强度，则上式表示的法拉第电磁感应定律可表为
dB
江Eid|-sBdSs^dS
上式明确反映出变化的磁场能激发电场。
式中dl表示空间内任一静止回路L上的位移元，S为该回路所限定的面积。
由于感生电场的环路积分不等于零，所以它又叫做涡旋电场。
再从场的观点来看，场的存在并不取决于空间有无导体回路存在，变化的磁场总是在空间激发电场。
因此上式不管闭合回路是否由导体构成，也不管闭合回路是处在真空或介质中都是适用的。
也就是说：
如果有导体回路存在时，感生电场的作用便驱使导体中的自由电荷作定向运动，从而显示出感应电流；如果不存在导体回路，就没有感应电流，但是变化的磁场所激发的电场还是客观存在的。
这个假说现在已经被近代的科学实验所证实，例如电子感应加速器的基本原理就是用变化的磁场所激发的电场来加速电子的，它的出现无疑是为感生电场的客观存提供了一个令人信服的证据。
从理论上来说，麦克斯韦的这个“感生电场”的假说和另一个关于位移电流（即变化的电场激发感生磁场）的假说，都是奠定电磁场理论、预言电磁波存在的理论基础。
在一般的情况下，空间的电场可能既有静电场Es，又有感生电场E。
这样,在自然界中存在着两种以不同方式激发的电场，所激发电场的性质也截然不同。
由静止电荷所激发的电场是保守力场（无旋场），在该场中电场强度沿任一闭合回路
的线积分恒等于零，即
电场线永远不会形成闭合线。
但变化磁场所激发的电场的感生是非保守力场，在该
场中电场强度沿任一闭合回路的线积分并不一定等于零。
根据叠加原理，总电场E沿某一封闭路径的环路积分应是静电场的环路积分和感生电场的回路积分之和。
由于前者为零，所以E的环路积分就等于Ei的环流。
因此，有
—BdS—dSdtsst
这一公式是关于磁场和电场关系的有一个普遍的基本规律。
、感生电动势和感生电场的计算
§自感
在实际电路中，磁场的变化常常是由于电流的变化引起的，因此把感生电动势
直接和电流的变化联系起来有重要的实际意义。
互感和自感现象的研究就是要找出这方面的规律。
、自感现象
当一个电流回路的电流I随时间变化时，通过回路自身的全磁通也发生变化,因而回路自身也产生感生电动势。
这就是自感现象。
这时产生的感生电动势叫自感电动势。
自感现象可通过实验来演示。
图中A1，A2时两个相同的小灯泡，L是带铁心的多匝线圈（铁心的作用能使同样的电流激发强的多的磁场，从而使自感现象变的明显。
）R是电阻，其阻值与线圈L的阻值相同。
接通开关K，灯泡A1立即就亮,而A2则逐渐变亮，最后与A1同样亮。
这就说明由于L中存在自感电动势，由楞次定律可知，电流增大缓慢。
用图2来观察切断电源时的自感现象。
当切断开关时,
我们看到灯泡A先是猛然一亮，然后逐渐熄灭。
这个现象同样可以用自感现象来解
释。
当开关切断时，线圈L与电池组断开，它的电流从有到无，是一个减小的过程。
按照楞次定律自感电动势应阻碍电流的减小，因此线圈的电流不会立即减小为零。
然而这时开关已经切断，线圈的电流只能通过灯泡A而闭合，因此灯泡A不会立
即熄灭。
如果线圈的电阻远小于灯泡的电阻，在开关接通时线圈的电流就远大于灯
泡的电流，在切断开关的瞬间，线圈的这一电流通过灯泡使灯泡比刚才还亮。
但由
于线圈以及灯泡回路已经与电源断开，电流必将逐渐减小为零，因此灯泡逐渐熄灭。
、自感
不同线圈产生自感现象的能力不同。
考虑一个N匝线圈，如果线圈使密绕的,
则每匝可近似看成一条闭合曲线，因此可谈及它的磁通。
设线圈电流激发的穿过每
圈的自感电动势为
自=Nd/dt
引入符号N称为线圈的自感磁链（磁通匝链数），于是得到L
dt
根据毕奥-萨伐尔定律I在空间各点激发的B都与I成正比，而与B成正比，所
以N与I成正比，即
LI
式中比例系数L叫做回路的自感系数（简称自感），它取决于回路的大小、形状、
线圈的匝数以及它周围的磁介质的分布，而与电流无关。
自感系数与互感系数的量
可见线圈的自感电动势与线圈的电流变化率成正比，比例系数正是自感。
当电
流增大，即一0时，上式给出L0,说明L的方向与电流的方向相反；当一0
dtdt
时，上式给出L0，说明L的方向与电流的方向相同。
由此可知自感电动势的方向总是要阻碍回路自身电流的变化。
§7-4互感
、互感现象与互感
当一闭合导体回路中的电流随时间变化时，它周围的磁场也随时间变化，在它
附近的另一导体回路中就会产生感生电动势，这就是互感现象。
这种电动势叫互感电动势。
如图所示，有两个固定的闭合回路Li和L2。
闭合回路L2中的互感电动势时由于回路L1中的电流i1随时间变化引起的，以21表示此电动势。
下面说明21与h的关系。
由毕奥一萨伐尔定律可知，电流ii产生的磁场正比于ii，因而通过所围面积的、由ii所产生的全磁通也应该和ii成正比，即
21M21i1
其中比例系数M21叫做回路Li对回路L2的互感系数，对两个固定的回路Li和L2来说互感系数是一个常数。
在一定的条件下电磁感应定律给出
d21dh
21弔-y
12°
如果回路L2中的电流i2随时间变化，则在回路Li中也会产生感应电动势根据同样的道理，可以得出通过L1所围面积的、由i2所产生的全磁通12应该与i2成
正比，即
12M12i2
而且
d12..di2
12
M12——
dtdt
上两式中的M12叫L2对L1的互感系数。
可以证明对给定的一对导体回路，有
M12M21M
M就叫做这两个导体回路的互感系数，简称它们的互感。
实验表明当线圈周围没有铁磁介质时，它取决于两个回路的几何形状、相对位置、它们各自的匝数以及它们周围磁介质的分布，与线圈中的电流无关；当线圈周围存在铁磁介质时，互感不仅与上述因素有关，还依赖于线圈中的电流。
在国际单位制中，互感系数的单位名称是亨利，符号为H，可知
1H1V-S1Qs
A
当两个线圈Li和L2的电流可互相提供磁通时，就说它们之间存在互感耦合。
为了加强互感耦合，通常采用两个多匝线圈而且绕在同一筒子上，筒子可是空心的也可是插入铁心。
若以1表示线圈1中每匝的磁通（包括有1,2电流提供的），则
11121
令11N111，21N121
1N111121
的总磁链（包括自感和互感）。
类似地线圈2的感生电动势为
互感，表征两个线圈间互感耦合的强弱。
如果两个线圈之间的耦合是如此紧密，以
至于每个线圈传产生的穿过自己的B线全部穿过另一线圈，即1112,2122，
就说它们存在完全耦合，不难证明对完全耦合有MJLl?
。
于是两个线圈中的电动势可表示为
两个有互感耦合的线圈的串联等效于一个自感线圈，但其洗干不等于两个线圈的自
感之和。
下面分两种情况进行讨论。
1、顺接情况
如图所示的连接方式叫做顺接，顺接时，两个线圈的磁通互相加强，每个线圈的磁
考虑到串联时电流相等,
串联后总电动势等与每个线圈电动势之和,
12=（LiL22M）罟
dt
上式说明两个线圈的串联等效于一个自感线圈，其自感为
L=L1L22M
可见顺接的等效线圈的自感大于两个线圈自感之和。
2、逆接情况
如图所示的连接方式叫做逆接，逆接时两个线圈电流的磁通互相削弱，则
（L1L22M）巴其等效自感为
dt
L=L1L22M可见逆接而成的等效自感小于两个线圈自感之和。
如果两个线圈间没有互感耦合，即M0,贝假有必要区分顺接和逆接，得
到的自感系数为L=LiL2，即两个无互感耦合的象棋串联而成的等效自感等于每
个线圈的自感之和。
反之，若两个线圈间有完全耦合，贝UL=LiL2^/LiL2。
§涡电流（用演示实验）
§7RL电路的暂态过程
我们知道自感有阻碍电流电荷的作用，因此对于有自感的电路，当接通或断开电源时，电流不会立即达到稳定值。
同理在RC中接通或断开电源时，电容器上的电量
也不会立即充满或消失，而要经过一个变化的之间过程，这个过程称为暂态过程。
电流达到稳定值的电路状态称为稳态。
讨论暂态过程时要设计许多随时间变化的量，为了区别起见，用大小写字母来区分。
大写表示稳定值，小写表示暂态量。
另外需要注意的一点在暂态过程中的讨论中需要借助于欧姆定律和基尔霍夫定律列出电路方程，这就出现一个问题：
这些对于稳恒电流电路成立的定律对于时变电流是否还成立。
后面将有证明当电流满足集中参量条件时，欧姆定律和基尔霍夫定律近似成立。
在通常遇到的暂态过程以及通常遇到的交流电路中，这一条件都能近似满足。
、RL电路与直流电源的接通
在如图所示的电路中，把开关接通的时刻选择t0,我们来找出这一时刻以后电流随时间的变化规律，即求出从t0开始的函数i（t），为此先要列出t0以后电流i（t）所服从的微分方
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