初升高数学提高练习第二十讲 类比与联想Word文档下载推荐.docx

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，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积（图2-113）．

　　解引CF⊥BA于F，由于BC=AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以

　　因为∠C=∠BDE=90°

，所以

∠ADE=∠CBH．

　　又由∠A=∠BCH=45°

，可知△ADE∽△CBH．所以

　　类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？

由此想到例2．

　　例2如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．

　　解类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A，

　　则

∠A=∠B=30°

，∠C=120°

．

　　由于CF平分∠C，所以

∠ACF＝60°

　　又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以

△ADE∽△ABC，

　　所以

　　由于△AFC中∠AFC=90°

，∠A=30°

，所以若设CF=x，则

　　类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．

　　例3已知△ABC中∠C=90°

，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H（图2-115）．求S△CBH．

　　解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．

　　由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°

∠CBH=∠ADE=45°

　　因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以

△CBH≌△ADE，

　　所以S△CBH=S△ADE.

　　因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则

（2）例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．

　　我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有

│b-c│＜a＜b＋c，①

　　即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．

　　我们对①类比：

是否有

　　存在呢？

如果②存在，那么就发现了如下命题（例4）．

　　2．联想与解题

　　例5a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有

a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，

　　分析与解由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有

　　例6如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：

x+z=2y．

　　分析与解

（1）展开原式有

z2-2xz+x2-4（xy-y2-xz+yz）=0，

　　合并、配方得

（x+z）2-4y（x+z）＋4y2=0，

　　即（x+z-2y）2=0，

　　所以x+z＝2y．

（2）如果看已知条件：

（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，

　　很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程（x-y）t2＋（z-x）t＋（y-z）＝0（x-y≠0）有二相等实根．由

（x-y）+（z-x）+（y-z）=0

　　可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知

　　所以x+z=2y．

　　当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以

　　例7化简

　　分析与解这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．

　　例8图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形（如正方形ABCD），然后在“弦图”内部作四个直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有

　　即c2=2ab+b2-2ab+a2,　　即c2=a2+b2.

　　这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．

　　设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．

（1）在图2-117中，有

a2+b2＝（S3+S5）+（S1+S2+S4）

　　＝（S4+S5）+（S1+S2+S3）

＝2S2+S1+S3=c2．

（2）在图2-118中，有

a2+b2＝（S3+S4）＋（S1+S2）

　　　　　=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2

　　（3）在图2-119中，有

a2＋b2＝（S2＋S5）+（S1＋S3＋S4）

　　　　=S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．

　　（4）在图2-120中，有

　a2＋b2=（S＇2＋S5）＋（S1＋S3＋S4）

　　=（S＇2+S4）+（S1+S3+S5）

＝S1+S2+S3+S5=c2．

练习二十

1．在直角△ABC中，∠C=90°

（1）如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形（如图2-121），那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？

（2）如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系（如图2-122）？

　　（提示：

联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．）

如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．）

4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．

5．已知：

△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E点在AB上，且∠ADE=∠DBC，S△ABC=1，求S△ADE．