完整版数学归纳法典型例题Word格式文档下载.docx
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2、运用数学归纳法时易犯的错误
（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：
归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
【典型例题】
例1.用数学归纳法证明：
时，
。
解析：
①当
时，左边
，右边
，左边=右边，所以等式成立。
②假设
时等式成立，即有
，则当
，
所以当
时，等式也成立。
由①，②可知，对一切
等式都成立。
点评：
（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由
到
时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由
的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明
时若利用数列求和中的拆项相消法，即
，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确
时证明的目标，充分考虑由
时，命题形式之间的区别和联系。
例2.
（1）当
，命题成立。
（2）假设当
时命题成立，即
那么当
左边
上式表明当
由
（1）
（2）知，命题对一切正整数均成立。
例3.用数学归纳法证明：
对一切大于1的自然数n，不等式
成立。
时，左=
，右
，左>
右，∴不等式成立。
时，不等式成立，即
∴
时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
（1）本题证明
命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式
（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步
成立是推理的基础，第②步
是推理的依据（即
成立，则
成立，
成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。
另一方面，第①步中，验证
中的
未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；
第②步中，证明
时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。
例4.若不等式
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。
取
令
，得
，而
所以取
，下面用数学归纳法证明，
（1）
时，已证结论正确
（2）假设
则当
时，有
因为
所以
即
时，结论也成立，
由
（1）
（2）可知，对一切
都有
故a的最大值为25。
例5.用数学归纳法证明：
能被9整除。
方法一：
能被9整除，则
由
（1）
（2）知，对一切
，命题均成立。
方法二：
，原式
能被9整除，
（2）若
时
时也能被9整除。
由
（1），
（2）可知，对任何
证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出
时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。
例6.求证：
能被
整除，
，命题显然成立。
（2）设
由归纳假设，上式中的两项均能被
故
时命题成立。
由
（1）
（2）可知，对
例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：
这n个圆将平面分成
个部分。
①
时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。
个圆将平面分成
个部分，
当
第k+1个圆
交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆
分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成
个部分，即
时，命题成立。
由①，②可知，对
命题成立。
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例8.设
，是否存在关于自然数n的函数
，使等式
对于
的一切自然数都成立？
并证明你的结论。
时，由
得
猜想
下面用数学归纳法证明：
时，等式
恒成立。
时，由上面计算知，等式成立。
∴当
由①②知，对一切
的自然数n，等式都成立。
故存在函数
，使等式成立。
（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的
与n的关系式，猜想的关系未必对任意的
都满足条件，故需用数学归纳法证明。
（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：
可直接解出
，即
【模拟试题】
1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，
整除”时，第二步归纳假设应写成
A.假设
时，命题成立
B.假设
C.假设
D.假设
2.证明
，假设
时成立，当
1时，左端增加的项数是
A.1项
B.
项
C.k项
D.
项
3.记凸k边形的内角和为
，则凸
边形的内角和
（
）
A.
C.
4.某个命题与自然数n有关，若
时命题成立，那么可推得当
时该命题也成立，现已知当
时，该命题不成立，那么可推得
A.当
时，该命题不成立
B.当
时，该命题成立
C.当n=4时，该命题不成立
D.当n=4时，该命题成立
5.用数学归纳法证明
时，不等式左边应添加的项是
D.
6.（5分）在数列
中，
，且
，2
成等差数列（
表示数列
的前n项和），则
分别为__________；
由此猜想
___________。
7.（5分）已知
对一切
都成立，那么a=_____________，b=_____________，c=_____________。
8.（14分）由下列各式：
，……你能得出怎样的结论？
并进行证明。
9.（16分）设数列
满足
（1）证明：
对一切正整数n均成立；
（2）令
，判断
与
的大小，并说明理由。
10.（14分）已知函数
，设数列
，数列
（1）用数学归纳法证明
（2）证明：
11.（16分）（2006年，江西）已知数列
满足：
（1）求数列
的通项公式；
对一切正整数n，不等式
【试题答案】
1.B
2.D
3.B
4.C
5.C
6.
7.
8.解：
对所给各式进行观察比较，注意各不等式左边最后一项的分母特点：
，…，猜想为
，对应各式右端为
归纳得一般结论
时，结论显然成立。
②假设当
时，结论成立，
，即当
时结论也成立。
由①②可知对任意
，结论都成立。
9.解：
（1）证明略。
（2）方法一：
（由
（1）的结论）
=
方法三：
，因此
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