答案：
[清易错]
1．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
1．（2018·武昌联考）已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n的值为（ ）
A．18B．19
C．20D．21
解析：
选C 由a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.
2．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*，有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为（ ）
A．2B．10
C.D.
解析：
选C 由2an＋1＝1＋2an，可得an＋1－an＝，
即数列{an}是以－2为首项，为公差的等差数列，
则an＝，所以数列{an}的前10项的和S10＝＝.
等比数列
[过双基]
1．等比数列的有关概念
（1）定义：
如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
（2）等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项．即：
G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
（1）通项公式：
an＝a1qn－1.
（2）前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：
an＝am·qn－m（n，m∈N*）．
（2）若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则am·an＝ap·aq＝a；
（3）若数列{an}，{bn}（项数相同）都是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，（λ≠0）仍然是等比数列；
（4）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
1．（2017·全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
解析：
选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
2．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝（ ）
A．2B.
C.D．1或2
解析：
选B 设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.
3．设数列{an}是等比数列，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 根据等比数列的公式，得＝＝＝＝.
4．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a3＋a5＝8，a2a6＝16，则数列{an}的前2018项的和为（ ）
A．8064B．4
C．－4D．0
解析：
选D ∵等比数列{an}的公比q≠1，且a3＋a5＝8，a2a6＝16，
∴a3a5＝a2a6＝16，
∴a3，a5是方程x2－8x＋16＝0的两个根，
解得a3＝a5＝4，
∴4q2＝4，
∵q≠1，∴q＝－1，∴a1＝＝4，
∴数列{an}的前2018项的和为
S2018＝＝0.
5．（2018·信阳调研）已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝（ ）
A.B.
C.D．2
解析：
选B 因为{an}是等比数列，
所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0，
所以q＝，a1＝＝.
[清易错]
1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列（例如：
当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列），但等式（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n）总成立．
2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
1．设数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（ ）
A.B．－
C.D.
解析：
选A 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8（S9－S6）＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.
2．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________.
解析：
当q≠1时，由题意，＝3a1q2，
即1－q3＝3q2－3q3，
整理得2q3－3q2＋1＝0，解得q＝－.
当q＝1时，S3＝3a3，显然成立．
故q＝－或1.
答案：
－或1
一、选择题
1．（2017·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4D．8
解析：
选C 设等差数列{an}的公差为d，
由得
即解得d＝4.
2．（2018·江西六校联考）在等比数列{an}中，若a3a5a7＝－3，则a2a8＝（ ）
A．3B.
C．9D．13
解析：
选A 由a3a5a7＝－3，得a＝－3，即a5＝－，故a2a8＝a＝3.
3．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1（n∈N*）的个位数，则a2018＝（ ）
A．8B．6
C．4D．2
解析：
选D 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2018＝a335×6＋8＝a8＝2.
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n（n≥2，n∈N*），则a7＝（ ）
A．53B．54
C．55D．109
解析：
选C a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2（2＋3＋4＋…＋7）＝55.
5．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn（n∈N*），则S6＝（ ）
A．44B．45
C.×（46－1）D.×（45－1）
解析：
选B 由an＋1＝3Sn，得a2＝3S1＝3.当n≥2时，an＝3Sn－1，则an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，则数列{an}从第二项起构成等比数列，所以S6＝＝＝45.
6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C ∵S9＝＝9a5，T9＝＝9b5，
∴＝＝.
7．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，若5S2＝S4，则log4a3的值为（ ）
A．1B．2
C．0或1D．0或2
解析：
选C 由题意得，等比数列{an}中，5S2＝S4，a1＝1，
所以5（a1＋a2）＝a1＋a2＋a3＋a4，
即5（1＋q）＝1＋q＋q2＋q3，
q3＋q2－4q－4＝0，即（q＋1）（q2－4）＝0，
解得q＝－1或±2，
当q＝－1时，a3＝1，log4a3＝0.
当q＝±2时，a3＝4，log4a3＝1.
综上所述，log4a3的值为0或1.
8．设数列{an}是公差为d（d>0）的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝（ ）
A．75B．90
C．105D．120
解析：
选C 由a1＋a2＋a3＝15得3a2＝15，解得a2＝5，由a1a2a3＝80，得（a2－d）a2（a2＋d）＝80，将a2＝5代入，得d＝3（d＝－3舍去），从而a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋30）＝105.
二、填空题
9．若数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．
解析：
当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，
得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，
两式相减得3n－1an＝－＝，
则an＝.
当n＝1时，a1＝满足an＝，
所以an＝.
答案：
an＝
10．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1，则an＝________.
解析：
∵Sn＝2an－1，①
∴Sn－1＝2an－1－1（n≥2），②
①－②得an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1.
∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1，
∴数列{an}为首项是1，公比是2的等比数列，
故an＝2n－1.
答案：
2n－1
11．已知数列{an}中，a2n＝a2n－1＋（－1）n，a2n＋1＝a2n＋n，a1＝1，则a20＝________.
解析：
由a2n＝a2n－1＋（－1）n，得a2n－a2n－1＝（－1）n，
由a2n＋1＝a2n＋n，得a2n＋1－a2n＝n，
故a2－a1＝－1，a4－a3＝1，a6－a5＝－1，…，a20－a19＝1.
a3－a2＝1，a5－a4＝2，a7－a6＝3，…，a19－a18＝9.
又a1＝1，累加得：
a20＝46.
答案：
46
12．数列{an}为正项等比数列，若a3＝3，且an＋1＝2an＋3an－1（n≥2，n∈N*），则此数列的前5项和S5＝________.
解析：
设公比为q（q>0），由an＋1＝2an＋3an－1，可得q2＝2q＋3，所以q＝3，又a3＝3，则a1＝，所以此数列的前5项和S5＝＝.
答案：
三、解答题
13．已知在等差数列{an}中，a3＝5，a1＋a19＝－18.
（1）求公差d及通项an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn及使得Sn取得最大值时n的值．
解：
（1）∵a3＝5，a1＋a19＝－18，
∴∴∴an＝11－2n.
（2）由
（1）知，Sn＝＝＝－n2＋10n＝－（n－5）2＋25，
∴n＝5时，Sn取得最大值．
14．已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：
（1）∵＋＋＋…＋＝n2＋n，
∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝（n－1）2＋n－1，
两式相减得＝2n（n≥2），∴an＝n·2n＋1（n≥2）．
又∵当n＝1时，＝1＋1，∴a1＝4，满足an＝n·2n＋1.
∴an＝n·2n＋1.
（2）∵bn＝＝n（－2）n，
∴Sn＝1×（－2）1＋2×（－2）2＋3×（－2）3＋…＋n×（－2）n.
－2Sn＝1×（－2）2＋2×（－2）3＋3×（－2）4＋…＋（n－1）×（－2）n＋n（－2）n＋1，
∴两式相减得3Sn＝（－2）＋（－2）2＋（－2）3＋（－2）4＋…＋（－2）n－n（－2）n＋1＝－n（－2）n＋1＝－n（－2）n＋1＝－，
∴Sn＝－.
高考研究课
（一）等差数列的3考点——求项、求和及判定
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
等差数列通项
5年6考
求通项或某一项
等差数列前n项和
5年5考
求项数、求和
等差数列的判定
5年2考
判断数列成等差数列或求使数列成等差数列的参数值
等差数列基本量的运算
[典例]
（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝（ ）
A．5 B．5
C．7D．8
（2）（2016·全国卷Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.
①求b1，b11，b101；
②求数列{bn}的前1000项和．
[解析]
（1）法一：
由等差数列前n项和公式可得
Sn＋2－Sn＝（n＋2）a1＋d－＝2a1＋（2n＋1）d＝2＋4n＋2＝36，
解得n＝8.
法二：
由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋（2n＋1）d＝35，解得n＝8.
答案：
D
（2）①设数列{an}的公差为d，
由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.
所以数列{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.
②因为bn＝
所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.
[方法技巧]
等差数列运算的解题思路
由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．
[即时演练]
1．已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S6＝4S3，则a10＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B ∵S6＝4S3，公差d＝1.
∴6a1＋×1＝4×，
解得a1＝.
∴a10＝＋9×1＝.
2．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（ ）
A．－2B．－3
C．2D．3
解析：
选D 设{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，
所以（a1＋2d）2＝a1（a1＋3d），可得a1＝－4d，
所以＝＝＝3.
3．（2018·大连联考）已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
（1）求d及Sn;
（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：
（1）由题意知（2a1＋d）（3a1＋3d）＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2（n∈N*）．
（2）由
（1）得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝（2m＋k－1）（k＋1），所以（2m＋k－1）（k＋1）＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.
等差数列的判定与证明
[典例] 已知{an}是各项均为正数的等比数列，a11＝8，设bn＝log2an，且b4＝17.
（1）求证：
数列{bn}是以－2为公差的等差数列；
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[思路点拨]
（1）利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{bn}是以－2为公差的等差数列；
（2）求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可．
[解]
（1）证明：
设等比数列{an}的公比为q，
则bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q，
因此数列{bn}是等差数列．
又b11＝log2a11＝3，b4＝17，
所以等差数列{bn}的公差d＝＝－2，
故数列{bn}是以－2为公差的等差数列．
（2）由
（1）知，bn＝25－2n，
则Sn＝＝＝n（24－n）＝－（n－12）2＋144，
于是当n＝12时，Sn取得最大值，最大值为144.
[方法技巧]
等差数列判定与证明的方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于n≥2的任意自然数，an－an－1为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn（A，B是常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[即时演练]
1．（2016·浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合）．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（ ）
A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列
解析：
选A 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}
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