届高三理科数学一轮复习学案 命题及其关系充分条件与必要条件Word文件下载.docx

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b－1

C．若a≤b，则a－1≤b－1

D．若a<

（2）给出命题：

若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

[解析]　

（1）根据否命题的定义可知，命题“若a>

b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．

（2）原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；

它的逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

[答案]　

（1）C　

（2）C

1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．

（2）若命题有大前提，需保留大前提．

2．判断四种命题真假的方法

（1）利用简单命题判断真假的方法逐一判断．

（2）利用四种命题间的等价关系：

当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一]下列命题中为真命题的是（　　）

A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等

D．空集是任何集合的真子集

解析：

选C　A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；

B中，当Δ＝4＋4a<

0，即a<

－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；

C是真命题；

D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．

2．[考点二]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（　　）

A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

选D　将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0”．

3．[考点二]命题“若△ABC有一个内角为

，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（　　）

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

选D　原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为

”，它是真命题．故选D.

4．[考点二]有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）．

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；

③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；

④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.

答案：

①②③

突破点

（二）　充分条件与必要条件

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．充分条件与必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q⇒/

p

p是q的必要不充分条件

p⇒/

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p⇒/q且q⇒/p

2.充分条件与必要条件和集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

A⊆B

p是q的必要条件

B⊆A

AB

BA

A＝B

充分条件与必要条件的判断

[例1]　

（1）（2016·

四川高考）设p：

实数x，y满足x＞1且y＞1，q：

实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）（2016·

天津高考）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　

（1）∵

∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．

（2）当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；

若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．

[答案]　

（1）A　

（2）C

　[方法技巧]

充分、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断．

（2）集合法：

根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

充分条件与必要条件的应用

[例2]　

（1）命题“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）

A．a≥1B．a>

1

C．a≥4D．a>

4

（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[解析]　

（1）命题可化为∀x∈[1,2），a≥x2恒成立．

∵x∈[1,2），∴x2∈[1,4）．

∴命题为真命题的充要条件为a≥4.

∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>

4，故选D.

（2）由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

解得0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

[答案]　

（1）D　

（2）[0,3]

根据充分、必要条件求参数的思路方法

根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式（组），然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围．　

1．[考点一]（2017·

长沙四校联考）“x>

1”是“log2（x－1）<

0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

选B　由log2（x－1）<

0得0<

x－1<

1，即1<

x<

2，故“x>

0”的必要不充分条件，选B.

2．[考点二]已知“x>

k”是“

<

1”的充分不必要条件，则k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．[1，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－1]

选A　由

1，得

－1＝

0，解得x<

－1或x>

2.因为“x>

1”的充分不必要条件，所以k≥2.

3．[考点一]（2017·

太原模拟）“已知命题p：

cosα≠

，命题q：

α≠

”，则命题p是命题q的（　　）

选A　若cosα≠

，则α≠2kπ±

（k∈Z），则α也必然不等于

，故p⇒q；

若α≠

，但α＝－

时，依然有cosα＝

，故q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．

4．[考点二]已知p：

x>

1或x<

－3，q：

a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3）

选A　设P＝{x|x>

－3}，Q＝{x|x>

a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.

5．[考点一]已知函数f（x）＝

＋a（x≠0），则“f

（1）＝1”是“函数f（x）为奇函数”的________条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写）

若f（x）＝

＋a是奇函数，

则f（－x）＝－f（x），

即f（－x）＋f（x）＝0，

∴

＋a＋

＋a

＝2a＋

＋

＝0，

即2a＋

＝0，∴2a－1＝0，

即a＝

，f

（1）＝

＝1.

若f

（1）＝1，即f

（1）＝

＋a＝1，

解得a＝

，

所以f（x）＝

，f（－x）

＝－

－

＝－f（x），

故f（x）是奇函数．

∴“f

（1）＝1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件．

充要

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1.（2014·

新课标全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0；

q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

选C　设f（x）＝x3，f′（0）＝0，但是f（x）是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.

2．（2012·

新课标全国卷）下面是关于复数z＝

的四个命题：

p1：

|z|＝2；

p2：

z2＝2i；

p3：

z的共轭复数为1＋i；

p4：

z的虚部为－1.

其中的真命题为（　　）

A．p2，p3B．p1，p2

C．p2，p4D．p3，p4

选C　∵复数z＝

＝－1－i，∴|z|＝

，z2＝（－1－i）2＝（1＋i）2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．

[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖

一、选择题

1．设m∈R，命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

选D　根据逆否命题的定义，命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

2．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

选B　若（2x－1）x＝0，则x＝

或x＝0，即不一定是x＝0；

若x＝0，则一定能推出（2x－1）x＝0.故“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．

3．“a<

0，b<

0”的一个必要条件为（　　）

A．a＋b<

0B．a－b>

C.

>

1D.

－1

选A　若a<

0，则一定有a＋b<

0，故选A.

4．已知命题p：

“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是（　　）

A．命题p的逆命题是“若x<

a2＋b2，则x<

2ab”

B．命题p的逆命题是“若x<

2ab，则x<

a2＋b2”

C．命题p的否命题是“若x<

D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<

选C　命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；

命题p的否命题是“若x<

2ab”，故C正确，D错误．

5．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（　　）

A．必要不充分条件

B．充要条件

C．充分不必要条件

选A　f（x）是定义在R上的奇函数可以推出f（0）＝0，但f（0）＝0不能推出函数f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2.故选A.

6．原命题p：

“设a，b，c∈R，若a>

b，则ac2>

bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．4

选C　当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；

由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；

逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>

bc2，则a>

b”，它是真命题；

由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．

7．“a＝2”是“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”的（　　）

选A　“a＝2”可以推出“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”，但反之不能推出．故“a＝2”是“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件．

8．（2017·

杭州模拟）已知条件p：

x＋y≠－2，条件q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

选A　因为p：

x＋y≠－2，q：

x≠－1，或y≠－1，所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p

綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

选A　当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；

当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

10．（2017·

烟台诊断）若条件p：

|x|≤2，条件q：

x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（－∞，2]

C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]

选A　p：

|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆（－∞，a]，即a≥2.

11．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）

A．①和②B．②和③

C．③和④D．②和④

选D　只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；

②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；

垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；

根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．

12．直线l：

y＝kx＋1与圆O：

x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为

”的（　　）

选A　当k＝1时，l：

y＝x＋1，由题意不妨令A（－1,0），B（0,1），则S△AOB＝

×

1×

1＝

，所以充分性成立；

当k＝－1时，l：

y＝－x＋1，也有S△AOB＝

，所以必要性不成立．

二、填空题

13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．

“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<

3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：

若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<

3.

3

14．有下列几个命题：

①“若a>

b，则

”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<

4，则－2<

2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

①原命题的否命题为“若a≤b，则

≤

”，假命题．②原命题的逆命题为：

“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．

②③

15．已知p（x）：

x2＋2x－m>

0，若p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．

因为p

（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；

又p

（2）是真命题，所以4＋4－m>

0，解得m<

8.故实数m的取值范围是[3,8）．

[3,8）

16．已知α：

x≥a，β：

|x－1|<

1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

α：

x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：

1，∴0<

2，∴β可看作集合B＝{x|0<

2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

（－∞，0]