第79讲 奇偶性Word文档下载推荐.docx

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奇数肯定不能被偶数整除。

　　（6）偶数的平方能被4整除；

奇数的平方除以4的余数是1。

　　因为（2n）2=4n2=4×

n2，所以（2n）2能被4整除；

　　因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×

（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。

　　（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

　　（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；

如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

　　整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。

有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

　　例1下式的和是奇数还是偶数？

　　1+2+3+4+…+1997+1998。

　　分析与解：

本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。

但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。

根据奇偶数的性质

（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。

1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。

所以，本题要求的和是奇数。

　　例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。

5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。

　　例3任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。

那么，这两个五位数的和能不能等于99999？

假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：

　　其中组成两个加数的5个数码完全相同。

因为两个个位数相加，和不会大于9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。

同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。

所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45，是奇数。

　　另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。

　　奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。

　　例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。

请问：

握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？

请说明理由。

通常握手是两人的事。

甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。

所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。

　　把聚会的人分成两类：

A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。

　　A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。

又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。

　　握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？

如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。

　　例5五

（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。

评分标准是：

答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。

试问：

这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？

本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。

因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。

因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。

练习7

　　1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？

　　2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。

这位同学的计算有没有错？

　　3.甲、乙两人做游戏。

任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。

游戏规则是：

若积是偶数，则甲胜；

若积是奇数，则乙胜。

请说明谁将获胜。

　　4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。

问：

写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？

　　5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：

底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。

如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？

　　6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？

试讲出理由。

　　7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。

有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？

第8讲奇偶性

（二）

　　例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？

有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。

　　这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。

暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。

　　要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。

根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。

　　要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。

现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。

所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。

调整的方法是交换十位与个位上的数字。

要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。

满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×

10+（0+1+2+3+5）=351。

　　例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。

能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？

盲目的试验，可能总也找不到要领。

如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。

一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；

第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；

再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。

类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。

也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

　　例3有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。

经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

当m是奇数时，（m-1）是偶数。

由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。

一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。

无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。

　　当m是偶数时，（m-1）是奇数。

为了直观，我们先从m=4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。

翻转情况如下：

　　由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。

一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。

对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。

要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。

　　综上所述：

m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。

当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；

当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

　　例4一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。

如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？

可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。

一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。

一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。

　　以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。

　　题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。

首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。

然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。

在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。

因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。

　　例5有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。

阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；

若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。

从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？

它们都是什么颜色？

大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

　　因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。

　　从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：

（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。

此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。

当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；

当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。

这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。

　　综合

（1）

（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。

原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。

因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。

　　例6一串数排成一行：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

　　到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？

首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。

　　1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，…

　　这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。

根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：

　　奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……

　　容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。

1000÷

3=333……1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。

练习8

　　1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。

这样说对吗？

　　2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。

这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。

如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？

　　3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。

如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

　　4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：

0，1，3，8，21，…问：

最右边的一个数是奇数还是偶数？

　　5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：

“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？

”小明说：

“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。

”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？

　　6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。

原来写的三个整数能否是1，3，5？

　　7.将888件礼品分给若干个小朋友。

分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？

第9讲奇偶性（三）

　　利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。

本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。

　　例1在7×

7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？

题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。

如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴，所以对于MN左下方的任意一格A，总有MN右上方的一格A＇，A与A＇关于MN对称，所以A与A＇要么都放有棋子，要么都没放棋子。

由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。

而题设每行放3枚棋子，7行共放棋子3×

7=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。

所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。

例2对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？

为什么？

因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。

原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。

所以不可能变成右上表。

　　例3左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。

有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？

如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。

无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。

而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。

　　例4左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。

试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

　　例5在右图的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。

能否办到？

假定图中5与1之间的○中的数是奇数，按顺时针加上或减去标出的数字，依次得到各个○中的数的奇偶性如下：

　　因为上图两端是同一个○中的数，不可能既是奇数又是偶数，所以5与1之间的○中的数不是奇数。

　　同理，假定5与1之间的○中的数是偶数，也将推出矛盾。

　　所以，题目的要求办不到。

　　例6下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。

众所周知，马是走“日”字的。

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？

　　为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。

因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；

跳到不同色的点，要跳奇数步。

现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

　　讨论：

如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？

按照上面的分析，显然也是不可能的。

但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。

从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。

因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。

也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。

练习9

　　1.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生。

一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。

能不能换成？

　　2.房间里有5盏灯，全部关着。

每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？

　　3.左下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

　　4.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。

守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。

可以做到吗？

　　5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17人报名参加。

为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：

每人只打5场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。

然后根据每人得分决定出前5名。

这种比赛方式是否可行？

　　6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。

如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。

例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；

a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。

a是多少时，可以走到7的位置？