讲稿2 质点动力学Word文件下载.docx
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总结伽利略和开普勒的理论和经验，用数学方法描述天体运动的规律。
●牛顿运动三大定律：
经典力学的基石
●热学：
确立了冷却定律
●光学：
光的色散、色差及牛顿环、光的微粒说、反射式望远镜
●微积分
我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。
1642年12月25日出生，1661年进入剑桥大学三一学院，1665年获文学学士，1668年获硕士学位，1669年晋升为数学教授，1670年担任了卢卡斯讲座教授，1672年被选为皇家学会会员，1689年被选为代表剑桥大学的国会议员。
1696年他被任命为造币厂督办，1699年担任了造币厂厂长。
1701年牛顿辞去剑桥大学教授职位，退出三一学院。
1703年被选为皇家学会会长。
1705年受封勋爵，成为贵族。
1727年3月20日逝世于肯辛顿村，终年85岁，终生未娶。
§
3－1牛顿定律
引言：
1687年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》（PrincipiaMethemeticaPhilosophianaturalis）一书中，发表了三条运动定律，这三条运动定律构成了质点运动学的基础，也开始了牛顿力学时代，在行星运动以及其它很多方面取得了巨大的成功，预言海王星的存在可以说是牛顿力学的辉煌顶点。
但是牛顿力学也存在本质的困难：
水星的近日点进动的周期的计算无法与观察值吻合。
数学上的微积分方法就是牛顿为了解决动力学问题而引进的一种数学方法。
一、牛顿第一定律（NewtonFirstLaw）——惯性定律
“凡运动着的物体必然都有推动者在推动它运动。
”古希腊哲学家Aristotle（公元前384—公元前322）的这个论断，在2000年的时间内被认为是不可怀疑的经典。
直到300多年前，G.Galileo（1564—1642）在实验与观察的基础上，作了大胆的假设与推理，向这个论断提出了挑战。
Galileo注意到，当一个球沿斜面向下滚动时速度增大，沿斜面向上滚动时速度减小。
他由此推论，当球沿水平面滚动时，其速度应该是即不增大又不减小。
在实验中球之所以会越来越慢直到最后停下来，他认为这并非是球的“自然本性”，而是由于摩擦力的缘故。
Galileo观察到，表面越光滑，球会滚得越远。
于是，他进一步推论，若没有摩擦力，球将永远滚下去。
Galileo的这一正确的理论，在隔了一代人之后，由牛顿总结成为力学的一条基本定律——惯性定律。
1．内容：
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的相互作用迫使它改变运动状态为止。
2．说明：
1）惯性：
第一定律表明，任何物体都具有保持其静止或匀速直线运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性（Inertia）。
所以牛顿第一定律也叫做惯性定律（LawofInertia）。
惯性是物质的固有属性，它正是物质与运动不可分离的反映，它反映了物体改变运动状态的难易程度。
质量小，运动状态（速度）容易改变，惯性小
质量大，运动状态（速度）不易改变，惯性大
质量是惯性的量度——惯性质量（InertialMass）。
2）第一定律说明了力（Force）的概念和力的作用。
第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体的运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用叫做力。
力的概念：
力是物体与物体之间的相互作用；
力的作用：
力是使物体运动状态发生变化即使物体产生加速度的原因；
但不是维持速度的原因。
3）牛顿第一定律也定义了一种特殊的参考系——惯性系（§
2－4）。
在这种参考系中观察，一个不受合外力作用的物体将保持静止和匀速直线运动状态不变。
4）力的平衡状态——静力学
没有受到外力作用——自由质点
质点所受的合外力为零；
5）牛顿第一定律的数学表达式
F=0，v=恒量
二、牛顿第二定律（NewtonSecondLaw）——加速度定律
1．引入：
第一定律只说明了物体不受外力作用时的情形，那么当物体受到外力作用时，物体的运动状态将怎样发生变化呢？
牛顿通过许多实验，总结出他的第二定律。
2．内容：
物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力的大小成正比，与物体的质量成反比；
加速度的方向与合外力的方向相同。
其数学表达式为
F=ma——m惯性质量inertialmass
第二定律是在第一定律的基础上，进一步阐明了在力的作用下物体运动状态变化的具体规律，确立了力、质量和加速度三者之间的关系，是牛顿运动定律的核心。
其方程也成为质点动力学的基本方程。
标量形式为
直角坐标系中自然坐标系
引入动量概念P=mv以后，牛顿第二定律可以写成
F=dP/dt
即动量对时间的变化率。
3．质量的物理意义
由牛顿第二定律可知，质量大的物体抵抗运动变化的性质强，也就是它的惯性大。
所以说，质量是物体惯性大小的量度。
因此牛顿第二定律中的质量为惯性质量。
4．说明：
1）对应性：
每一个力都将产生自己的加速度；
2）矢量性：
某个方向的力，只能改变该方向上物体的运动状态，只能在该方向上使物体获得加速度；
3）瞬时性：
牛顿第二定律说明合外力是与加速度相伴随的，有合外力作用时，就必定有加速度。
力和加速度同时产生，同时变化，同时消失，无先后之分。
至于速度的大小和方向，与合外力并没有直接的联系；
4）牛顿第二定律只适用于质点的运动，并且只在惯性系中成立。
三、牛顿第三定律（NewtonThirdLaw）——作用力与反作用力定律
第一定律说明物体只有在外力的作用下才改变其运动状态，第二定律给出了物体的加速度与作用在物体上合外力之间的关系，牛顿第三定律则说明了力具有物体间相互作用的性质。
两个物体之间的作用力与反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
3．说明：
——作用力和反作用力具有的特点
1）作用力与反作用力是矛盾的两个方面，它们互以对方的存在为自己存在的条件，同时产生，同时消灭，任何一方都不能孤立地存在。
2）作用力与反作用力是同一种性质的力。
3）作用力与反作用力分别作用在两个不同的物体上，它们不能互相抵消。
4）牛顿第三定律对任何参考系都成立。
注意：
1．牛顿运动定律中，第二定律是核心，是质点动力学的基本方程。
通常处理动力学问题时，要把这三个定律结合起来考虑。
2．牛顿三大定律只适用于宏观、低速领域，当物体的运动速度接近光速或研究微观客体的运动时，需要分别应用相对论力学和量子力学规律。
3－2物理量的单位和量纲
一、国际单位制（SI——SystemofInternationalUnits）
1．基本量与基本单位PhysicalQuantity&
Unit
物理学中的物理量较多，可以把物理量分成许多类，从每一类中选出某一特定的量作为一个称之为“单位”的参考量，其测量值可以表示为
Q={数值}[单位]
由于各个物理量之间存在着规律性的联系，所以不必为每个物理量的单位都独立地予以规定。
可以选定一些物理量作为基本量，并规定一个基本单位。
规定的一组数目最少的物理量作为基本量，其单位规定为基本单位。
国际单位制（法文LeSystemeInternationald'
Unites）7个
1954年国际计量大会决定1978年1月1日实行。
1984年2月27日，我国国务院颁布实行以SI制为基础的法定单位制。
长度
质量
时间
热力学温度
电流
物质的量
发光强度
米
千克
秒
开
安培
摩尔
坎德尔
M
Kg
s
K
A
mol
cd
2．SI辅助单位
平面角
弧度
rad
立体角
球面度
Sr
3．导出量与导出单位
其他由通过物理定义或物理定律导出的物理量叫做导出量，其单位称为导出单位。
如
物理量
定义或定律
单位
速度
v=dr/dt
m.s-1
加速度
a=dv/dt
m.s-2
力
F=ma
N,1N=1kg.m.s-2
功
W=F.S
J,1J=1N.m
基本单位和导出单位就构成了一套单位制（SystemofUnits）
4．SI词头
吉
兆
千
毫
微
纳
皮
飞
G
m
μ
n
P
f
Giga
Mega
Kilo
Mili
micro
Nano
Pico
Femto
二、力学量的量纲
由于物理量之间存在着规律性的联系，因此在选定了一个单位制的基本量之后，其它物理量都可以通过一定的物理关系与基本量联系起来。
为了定性地描述物理量，特别是定性地给出导出量与基本量之间的关系，可以引入量纲的概念。
在不考虑数字因素时，表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子，称为该物理量的量纲式。
长度L质量M时间T温度Θ
电流I物质的量N发光强度J
其他力学量[Q]=LpMqTs
p、q、s称为量纲指数。
例如：
速度[v]=[r]/[t]=LT-1
加速度[a]=[v]/[t]=LT-2
说明：
1．量纲的引入给不同的单位制换算带来了方便；
2．只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接；
3．量纲可以用来帮助记忆与推导公式；
4．ex,lnx的x都应是无量纲的量。
利用量纲可以检验方程的准确性，并且通过量纲分析，也可以得到一些有用的结论，即有时可以不必知道定律与物理机制的细节，仅从量纲分析就可以得到一些有用的信息，因此可以作出一些定性的判断。
3－3几种常见的力
一、力的基本概念
1．力的定义：
力是物体与物体之间的相互作用。
自然界存在四种相互作用（Interaction）
力的种类
强相互作用
电磁相互作用
弱相互作用
引力相互作用
相对强度
1
10-2
10-12
10-40
作用范围（m）
10-15
长
<
10-17
Strong
Electromagnetic
Weak
Gravitational
相互作用举例
质子和中子结合形成原子核
电子和原子核结合形成原子
核β衰变的力
恒星形成银河系
★物理学家的目标：
•四种力可否从一种更基本、更简单的力导出?
•各种力是否能统一在一种一般的理论中?
★已做和待做的工作:
•20世纪20年代，爱因斯坦最早着手这一工作。
最初是想统一电磁力和引力,但未成功。
•弱、电统一：
1967年温伯格等提出理论
1983年实验证实理论预言
•大统一：
弱、电、强统一已提出一些理论，因目前加速器能量不够而无法实验证实（1015Gev,现103Gev）。
•超大统一：
四种力的统一
2．力的作用
Aristotle力是维持物体运动状态的原因，力与速度有关，错误观点；
Galileo力是改变物体运动状态的原因，力与加速度有关，正确观点。
3．力的三要素：
大小、方向、作用点
当物体可当作质点时，力的作用点就是质点。
4．力的单位：
牛顿（N）1N=1kg.m.s-2
二、力学中常见的力
1．万有引力
（LawofGravitation）在两个相距为r，质量分别为m1，m2的
质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，即
——引力质量GravitationalMass
其中G=6.67×
10-11N.m.kg-2为引力常量。
2．重力（Gravity）
忽略地球的自转效应时，重力是地球表明附近物体所受的地球的引力，即物体与地球之间的万有引力。
其方向指向地心。
质量为m的物体所受的重力为
G=mg
方向竖直向下，g=9.8m.s-2为重力加速度。
请思考：
赤道的重力加速度大还是两极的重力加速度大？
为什么？
重量与重力的区别：
当物体相对地球静止时，物体的重量和物体所受重力的量值相等。
3．弹性力（ElasticForce）
弹性力是一种与物体的形变有关的接触力。
发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。
常见的弹性力有：
1）弹簧：
弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力。
虎克定律（HookeLaw）：
在弹性限度内，弹性力的大小与弹簧的伸长量成正比，方向指向平衡位置，即
f=-kx
其中k为弹簧的劲度系数（Stiffness），其值决定于弹簧本身的性质。
而弹簧弹性力的方向总是指向要恢复它原长的方向。
2）绳子被拉紧时所产生的张力
绳的张力—绳内部各段之间的弹性作用力
A点和B点的张力：
、
由牛顿第二定律：
（1）当a=0或者m→0时，
，绳子上各点张力相同而且拉力相等。
（2）当a≠0而且m≠0（绳子质量不能忽略时），绳子上各点的张力不同。
（3）张力的大小取决于绳被拉紧的程度，它的方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。
3.物放在支承面上产生的正压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）
两个物体相互接触且相互挤压时产生的，大小取决与相互挤压的程度，方向垂直与接触面指向对方。
●支持力：
与支持面垂直
●张力（Tension）
4．摩擦力（FrictionForce）
1）基本概念：
两个物体相互接触，由于有相对运动或者相对运动的趋势，在接触面处产生的一种阻碍物体运动的力，叫做摩擦力。
2）静摩擦力（StaticFrictionForce）：
物体没有相对运动，但有相对运动的趋势
物体在外力
的作用下，没有移动，存在一个静摩擦力
，且外力
增大时，静摩擦力
也增大，存在最大静摩擦力
。
实验表明，最大静摩擦力
与正压力成正比，即
fmax=μN
其中
为静摩擦因数（CoefficientOfStaticFriction）。
它与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与接触面的大小无关。
3）滑动摩擦力（SlidingFrictionForce）：
物体有相对运动，滑动摩擦力与正压力成正比，即
f=μN
其中μ为滑动摩擦系数（CoefficientofKineticForce）。
它与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有关，还与两接触物体的相对速度有关。
一般来说，滑动摩擦系数μ比静摩擦系数μ0小，通常认为二者相等。
利用摩擦力——走路、开车、制动
减小摩擦力——损耗能量（20~30%）
方法：
1）用滚动代替滑动；
2）润滑剂——气垫、磁悬浮
三、受力分析——隔离体法
正确地分析物体的受力情况是解决力学问题的关键。
受力分析的依据是“力是物体与物体之间的相互作用”，考虑力产生的条件，并且只考虑别的物体对研究对象的作用。
受力分析的步骤如下：
1．确定研究对象；
2．确定主动力；
3．分析重力；
4．分析弹性力；
5．分析摩擦力；
受力情况常用力的图示表示出来。
例：
物体在水平方向上受到水平向右的推力的作用后，向上运动。
解：
以物体为研究对象
1．推力F，方向水平向右；
2．重力mg，方向竖直向下；
3．弹性力N，方向与斜面垂直且指向物体；
4．摩擦力f，方向沿斜面向下。
3－4惯性参考系力学相对性原理
一、惯性参考系（InertialSystem）
在运动学中，可以任意选择参考系，但是在动力学中，应用牛顿运动定律时，就不能随便选择参考系。
2．例子：
火车车厢内的一个光滑桌面上，有一小球
●火车匀速运动时，以地面为参考系，小球不受外力的作用，匀速运动
以火车为参考系，小球不受外力的作用，静止
●火车加速运动时，以地面为参考系，匀速运动
以火车为参考系，反分向加速运动
结论：
牛顿运动定律不是在任何参考系中均成立。
3．定义：
牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系
牛顿运动定律不成立的参考系称为非惯性系。
即：
惯性系：
物体相对于参考系的运动遵从牛顿定律；
而非惯性系：
物体物体相对于参考系的运动不遵从牛顿定律。
目前最好的惯性系是以选定的1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系——FK4系。
在惯性系中，一个不受力的物体将保持静止或匀速直线运动状态。
由运动的相对性可知，相对于已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系都是惯性系。
要确定一个参考系是否惯性系，只能依靠观察和实验。
1）太阳系可以认为是参考系；
2）相对于惯性系作匀速运动的参考系是惯性系；
3）地球可近似认为是一个惯性系。
附：
地球公转向心加速度为：
5.9×
10-3m·
s-2
地球公转赤道向心加速度为：
3.4×
10-2m·
太阳旋转的向心加速度为：
3×
10-10m·
二、力学相对性原理
1．加速度的变换关系
设有两个参考系，S系（Oxy坐标系），静始不动；
S'
系（O'
x'
y'
坐标系），以速度
相对于S系匀速运动。
由速度相对性原理，知道
上式对时间求导数，得
即
当参考系S'
系以恒定的加速度相对于参考系S系作匀速直线运动时，同一质点相对于这两个参考系的加速度是相同的。
2．力学相对性原理（GalileanPrincipleofRelativity）
同一质点相对于不同参考系的加速度是相同的。
因而对于任意惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的表现形式，即力学规律对于一切惯性系都是等价的，不存在特殊的绝对的惯性系。
这就是力学相对性原理或叫作Galileo相对性原理。
3－5牛顿运动定律的应用举例
动力学问题一般可以归纳成互为反问题（InverseProblem）的两类问题：
1．已知作用在物体上的力，由力学规律来决定物体的运动情况或平衡状态；
2．已知物体的运动情况或平衡状态，由力学规律来推论作用在物体上的力。
第一类动力学问题代表了一种纯粹演绎的过程，他是对物理学和工程问题作出成功分析和设计的基础；
第二类问题则包括了力学的归纳性和探索性的应用，这是发现新定律的一条重要途径。
历史上的例子：
1）牛顿的万有引力；
2）卢瑟福α粒子散射实验
解题步骤：
1．根据问题的具体要求和计算方便，确定研究对象；
2．分析受力情况，并作受力图；
3．选择参考系，分析研究对象的运动，判断研究对象的加速度；
4．建立坐标系或规定正方向，根据牛顿运动定律列运动方程；
5．解方程，必要进行讨论。
⒈认真分析题意，确定研究对象。
先要弄清楚题目要求什么，确定研究对象，分析已知条件。
⒉明确物理关系，进行运动分析。
弄清物理过程，即分析对象的运动状态，包括它的轨迹、速度和加速度。
涉及到几个物体时，还要找出它们的速度或加速度之间的关系。
⒊隔离研究对象，进行受力分析。
找出研究对象所受的所有外力，采用“隔离体法”对其进行正确的受力分析，画出受力分析图。
所谓“隔离体法”就是把研究对象从与之相联系的其他物体中“隔离”出来，再把作用在此物体上的力一个不漏地画出来，并正确地标明力的方向。
4.选取合适坐标，正确列出方程。
依据题目具体条件选好坐标系，然后把上面分析出的质量、加速度和力用牛顿运动定律联系起来列出每一隔离体的运动方程的矢量式和分量式以及其他必要的辅助性方程，所列方程总数应与未知量的数目相匹配。
⒌求解所列方程，讨论所得结果。
解方程时，一般先进行文字符号运算，然后代入具体数据得出结果，最后进行必要的讨论，判断结果是否合理。
无论是动力学问题，还是运动学问题，都要涉及到物体的加速度，因此在解决上述两类问题时，应注意抓住加速度这条联系动力学和运动学问题的纽带。
例1．
质量为m的人站在升降机内，当升降机以加速度a运动时，求人对升降机地板的压力。
解：
（1）确定依据对象：
以人为研究对象；
（2）受力分析：
人受到重力和地板对人的弹性力的作用；
（3）选择坐标系：
选向上为正方向；
（4）列方程：
根据牛顿第二定律得
N-mg=ma
（5）解方程：
解得N=m（g+a）
由牛顿第三定律可知人对地板的压力为N’=m（g+a），方向向下。
（6）讨论：
a>
0N>
mg向上加速或向下减速，超重（Overweight）
a<
0N<
mg向上减速或向下加速，失重（Weightlessness）
当升降机自由降落时，人对地板的压力减为0，此时人处于完全失重状态。
例2．如图所示，长为
的轻绳，一端系一质量为m的小球，另一端系于定点O。
开始时小球处于最低位置。
若使小球获得如图所示的初速v0，小球将在竖直平面内作圆周运动。
求小球在任意位置的速率及绳的张力。
以小球为研究对象，在任意θ位置，小球受重力和绳的张力的作用。
根据牛顿第二定律可以写出小球的在法向和切向的运动方程
（1）
（2）
由
（2）式可得
（3）
又因为
于是（3）式可写成
由初始条件，积分
得
代入
（1）式，得
讨论：
上升过程中，小球速率减小，绳的拉力逐渐减小；
上升下降中，小球速率增大，绳的拉力逐渐增大。
例3．如图所示，质量分别为m1=4kg与m2=1kg的物体用一轻绳相连，放在光滑的水平面上，用一水平
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