最新版一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结超详细.docx
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最新版一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结超详细
二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）
知识点一、平面直角坐标系
向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，
”分开，横、纵坐标的位
a
b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征点P（x,y）在第一象限点P（x,y）在第二象限点P（x,y）在第三象限
点P（x,y）在第四象限
xxx
x
0,y
0,y
0,y
0,y
0
0
0
0
2、坐标轴上的点的特征点P（x,y）在x轴上
点P（x,y）在y轴上
y
x
0，x为任意实数
0，y为任意实数
点P（x,y）既在x轴上，又在
y轴上
x，y同时为零，即点
P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上
x与y相等
x与y互为相反数
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点点P与点
点P与点
p’关于x轴对称
p’关于y轴对称
p’关于原点对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数
纵坐标相等，横坐标互为相反数
横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：
（1）点P（x,y）到x轴的距离等于
y
x
（2）点P（x,y）到y轴的距离等于
（3）点P（x,y）
到原点的距离等于
x2
y2
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量
应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四，正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
y
kx
b（k，b是常数，
k
0），那么y叫做x的一次函数。
一般地，如果
特别地，当一次函数y
例函数。
kx
b中的b为
0时，y
kx（k
为常数，k
0）。
这时，y叫做x的正比
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y
的直线。
kx
b的图像是经过点（
y
kx的图像是经过原点（
0，b）的直线；正比例函数
0，0）
k的符号
b的符号
函数图像
y
图像特征
y
x
图像经过一、二、三象限，
的增大而增大。
随
b>0
0
x
k>0
y
y
x
图像经过一、三、四象限，
的增大而增大。
随
b<0
0
x
y
y
x
图像经过一、二、四象限，
的增大而减小
随
b>0
0
x
K<0
y
y
x
图像经过二、三、四象限，
的增大而减小。
随
b<0
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0
x
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y
kx有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，
y随x的增大而增大；
y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
y
kx
b有下列性质：
一般地，一次函数
（1）当k>0时，y随
（2）当k<0时，y随
x的增大而增大
x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
y
kx（k
0）中的常数
k。
确定一个一次函
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
y
kx
b（k
0）中的常数
k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
数，需要确定一次函数定义式
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k
（k是常数，k
1
y
kx
y
一般地，函数
0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成
x
的形式。
自变量x的取值范围是
x
0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，
x
0，函数y
0，所以，它的图像与
x轴、y轴都没有交
它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量
点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例
函数
k的符号
k（kx
y
0）
k>0
k<0
y
y
图像
O
x
O
x
①x的取值范围是
y的取值范围是
x
y
0，
0；
①x的取值范围是
y的取值范围是
x
y
0，
0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，
随x的增大而减小。
②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，
随x的增大而增大。
性质
y
y
4、反比例函数解析式的确定
k
x
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数
y
中，只有一个待定系数，因此只需要
k的值，从而确定其解析式。
一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k（kx
x
0）图像上任一点
如下图，过反比例函数
y
P作x轴、y轴的垂线
PM，PN，则所得的矩形
k
x
PN=y
xy。
y
xy
k,S
k。
PMON的面积S=PM
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
a不为零
yax2
0），特别注意
bxc（a,b,c是常数，a
一般地，如果特
那么y叫做x的二次函数。
yax2
bx
c（a,b,c是常数，a
0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
b
2a
二次函数的图像是一条关于
x
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点
M，并用虚线画出对称轴
yax2
bx
c与坐标轴的交点：
（2）求抛物线
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点
A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称
点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与
y轴的交点C及对称点
D。
由C、M、D
A、B，然后顺
三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点
次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式
一般
两根
三顶点
-----
二次函数的解析式有三种形式：
口诀
（1）一般
yax2
c（a,b,c是常数，a
0）
bx
一般式：
（2）两根
yax2
2
ax
bx
c与x轴有交点时，即对应二次好方程
0有
当抛物线
bx
c
存在时，根据二次三项式的分解因式ax2
bx
c
a（x
x）（x
x
），二次函数
实根
x和x
1
2
1
2
yax2
ya（x
）（x
）。
如果没有交点，则不能这样表示。
bx
c可转化为两根式
x
x
1
2
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点
h）2
a（x
k（a,h,k是常数，a
0）
y
顶点式：
知识点八、二次函数的最值
b
2a
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）
，即当
x
时，
b2
4ac
4a
y最值
。
b
2a
x
x
x，那么，首先要看
是否在自变量取值范围x
x
x内，
如果自变量的取值范围是
1
2
1
2
b2
b
2a
4ac
4a
若在此范围内，则当x=
x1
x
x2范
y最值
；若不在此范围内，
则需要考虑函数在
时，
2
围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
x
x
时，y
ax
bx
c，当
x
x
2
1
最大
2
2
ax2
2
时，y
bx
c；如果在此范围内，
y随
x的增大而减小，
x
x时，y
ax
bx
c，
则当
1
最小
1
1
最大
1
1
2
2
x
x时，y
ax
bx
c。
当
2
2
最小
知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数
函数
ax2
y
bx
c（a,b,c是常数，a
0）
a>0
a<0
图像
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y
y
0
x
0
x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
b
2a
b
2a
b
2a
b
2a
（2）对称轴是
x=
（2）对称轴是
x=
，顶点坐标是（
，
，顶点坐标是（
，
b2
b2
4ac
4a
4ac
4a
）；
）；
b
2a
b
2a
（3）在对称轴的左侧，即当
x<
（3）在对称轴的左侧，即当
x<
时，y随x
时，y随
性质
的增大而减小；在对称轴
的右侧，即当
x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
b
2a
b
2a
x>
时，y随x的增大而增大，
x>
时，y随x的增大而减小，简记左
简记左减
右增；
增右减；
b
2a时，y有最小
b
2a时，y有最
（4）抛物线有最低点，当x=
（4）抛物线有最高点，当
x=
b2
b2
4ac
4a
4ac
4a
值，
y最小值
大值，
y最大值
2、二次函数yax2
bx
c（a,b,c是常数，a
0）中，
a、b、c的含义：
a表示开口方向：
a>0时，抛物线开口向上
a<0时，抛物线开口向下
b
2a
b与对称轴有关：
对称轴为
x=
c表示抛物线与
y轴的交点坐标：
（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
x轴的交点坐标。
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与
b2
4ac，在二次函数中表示图像与
因此一元二次方程中的
x轴是否有交点。
>0
=0
x轴有两个交点；
x轴有一个交点；
当
当
时，图像与
时，图像与
当<0时，图像与x轴没有交点。
知识点十
中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：
点A
坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
2
2
则AB间的距离，即线段AB的长度为
x
x
y
y
A
1
2
1
2
0
x
B
2，二次函数图象的平移
2
①将抛物线解析式转化成顶点式
h，k
y
a
x
h
k
，确定其顶点坐标
；
ax2的形状不变，将其顶点平移到
②保持抛物线
y
h，k处，具体平移方法如下：
向上（k>0）【或向下
（k<0）】平移|k|个单位
y=ax2
y=ax2+k
向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
y=a（x-h）2
y=a（x-h）2+k
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
3、直线斜率：
b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
y2
x2
y1
x1
k
tan
4、①两点
:
由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式
y2
x
y1
x
y
y
kx
b
（tan）x
b
x（x
x）
此公式有多种变形
牢记
1
1
2
1
②点斜
y
y1
kx（x
x1）
③斜截
:
y＝kx＋b（k≠0）
直线的斜截式方程，简称斜截式
x
a
y
b
④截距
x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
1
由直线在
两点斜截距
口诀---
--
牢记
两点点斜
斜截
截距
l1：
yk1x
b1
l2：
y
l1
//
l
l1//l2
k1
k2
k2x
b2
5、设两条直线分别为，
若
，则有
2
b1
b2
且
。
若l1
l2
k1
k2
1
kx0
y0
（
b
2
kx0
y0
2
b
d
6、点P（x0，y0）到直线
y=kx+b（
即：
kx-y+b=0）
的距离:
2
k
1）
k
1
7、抛物线
c中，abc,
的作用
yax2
bx
yax2中的a完全一样
（1）a决定开口方向及开口大小，这与
.
ax2
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置
.由于抛物线
y
bx
c的对称轴是直线
b
2a
b
a
a、b同号）时，对称轴在
y轴左侧；
x
，故：
①b
0时，对称轴为
y轴；②
0（即
b
a
口诀---
同左
异右
0（即a、b异号）时，对称轴在
y轴右侧.
③
yax2bx
（3）c的大小决定抛物线
c与
y轴交点的位置.
ax2
0，c）：
x
0时，
y
c，∴抛物线
y
bx
c与y轴有且只有一个交点（
当
①c
0，抛物线经过原点
;
②c
0,与y轴交于正半轴；
③c
0,与y轴交于负半轴.
b
a
0.
y轴右侧，则
.如抛物线的对称轴在
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
十一，中考点击
考点分析：
内容
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系
3、一次函数的概念和图像
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用
6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
要求
ⅠⅠⅠⅡ
Ⅱ
Ⅱ
因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理
解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．
（函数部分
）
十二，初中数学助记口诀
特殊点坐标特征:
坐标平面点（x,y）,
X轴上y为0,x为0在Y轴。
（+,+）,（-,+）,（-,-）
和（+,-）,四个象限分前后；
横在前来纵在后；
对称点坐标:
对称点坐标要记牢
对称最好记,横纵坐标变符号。
相反数位置莫混淆，
X轴对称y相反,Y
轴对称,x前面添负号；原点
自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成
y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成
y=a（x+h）
同左上加
异右下减
2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号
上下平移在末稍
一次函数图像与性质口诀:
一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单
经过原点一直线；
x增减y增减；k为
两个系数k与b,作用之大莫小看，
k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜
负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点
它们确定图象现；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考
线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要
一般式配方它就现，横标即为对称轴
纵标函数
最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点
双曲线相背离的远
;k
为正,图在一、三（象）限,k
为
负,图在二、四（象）限;图在一、三函数减
越近轴,永远与轴不沾边。
两个分支分别减。
图在二、四正相反
两个分支分别添
;线越长
k的正负是关键，决定直线的象限，负
k经过二四限，x增大
正比例函数是直线，图象一定过圆点，
y在减，上下平移
系数是关键。
k不变，由引得到一次线，向上加
b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定
k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正
都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
a的正负开口判，
c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数
二次函数抛物线，选定需要三个点，
交点，a、b同号轴左边抛物线平移
a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
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1
对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，
X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；
原点对称最好记,横纵坐标变符号。
关于x轴对称
2
ax
2
ax
y
bx
c关于
x轴对称后，得到的解析式是
y
bxc；
2
2
y
ax
h
k关于x轴对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
k；
关于
y轴对称
2
ax
2
ax
y
bx
c关于y轴对称后，得到的解析式是
y
bx
c；
2
2
y
ax
h
k关于y轴对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
k；
关于原点对称
2
ax
2
ax
y
bx
c关于原点对称后，得到的解析式是
y
bx
c；
2
2
y
ax
h
k关于原点对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
k
关于顶点对称
2
b
2
yax
2
ax
bx
c关于顶点对称后，得到的解析式是
y
bx
c
；
2a
2
2
y
ax
h
k
y
a
x
h
k．
关于顶点对称后，得到的解析式是
关于点
对称
m，n
2
2
关于点m，n对称后，得到的解析式是
y
ax
h
k
y
a
x
h
2m
2n
k
a永远不变．求抛
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原
抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
然后再写出其对称抛物线的表达式．
口诀Y
反对X，X反对Y，都反对原点
2
自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，
函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，
二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀：
“左右平移在括号,上下平移在末稍
左正右负须牢记,上正下负错不了”。
一次函数图像与性质口诀:
一次函数是直线，图像经过仨象限；
正比例函数更简单,经过原点一直线；
两个系数k与b,作用之大莫小看，
k是斜率定夹角
k为正来右上斜
k的绝对值越大
b
x
与Y轴来相见,
增减y增减；k为负来左下展
变化规律正相反；
线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是关键；
它们确定图象限；
开口、顶点和交点
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反比例函数图像与性质口诀:
k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正
变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换；
求定义域：
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
解一元一次不等式：
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。
先去分母再括号，移项别忘要变号。
同类各项去合并，系数化“1”注意了。
同乘除正无防碍，同乘除负也变号。
解一元二次不等式：
首先化成一般式，构造函数第二站。
判别式值若非负，曲线横轴有交点。
正开口它向上，大
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