中国古代数学思想的特色及意义的探究Word版.docx

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中国古代数学思想的特色与意义的探究

摘要：

中国古代数学思想是源于中国古人的社会生产实践，其内容蕴含着深厚而丰富的中国传统社会文化思想，是中国古人的思想结晶。

在当代社会，中国古代数学思想再次受到国人的广泛关注，许多学者已开始对其做了许多深层的研究，同时这种思想在我们现代的社会生活发挥了许多的作用，特别是与现代科技的结合方面。

本文就旨在对中国古代数学思想的发展、应用和中西方数学的比较进行介绍和分析，分析中国古代数学思想有什么特色和意义，以此加深自己对中国古代数学思想的认识。

关键词：

中国古代数学；思想；发展；特色；意义

AncientChinesemathematicscharacteristicandinterestingresearch

Abstract:

China'sancientmathematicalthinkingisrootedintheancientChinesepracticeofsocialproduction,whosecontentcontainsadeepandrichculturalandtraditionalChinesesociety,istheancientChinesethoughtof.Incontemporarysociety,China'sancientmathematicalthinkingonceagainunderthepeople'sattention,manyscholarshavestartedtodoalotofdeep,whiletheideainourmodernsocietyhasplayedalargerole,especiallyincombinationwithmoderntechnology.ThisarticleseekstomathematicalthoughtinancientChina'sdevelopment,applicationandcomparisonofWesternmathematicsforpresentationsandanalysis,analysisofancientChinesemathematicsthoughtwhatfeaturesandsignificance,todeepentheirownmathematicalthoughtinancientChina.

Keywords:

ancientChinesemathematics;ideas;development;features;significance

1引言……………………………………………………………………………

（1）

2中国古代数学发展的综述……………………………………………………

（1）

2.1中国古代数学思想体系的形成……………………………………………

（1）

2.2中国古代数学发展的顶峰…………………………………………………

（2）

2.3中国古代数学的衰落………………………………………………………（3）

3中国古代数学思想………………………………………………………………（4）

3.1先秦古书中的思想……………………………………………………………（4）

3.2中国古代数学思想中的一些推理证明………………………………………（4）

3.2.1出入相补原理……………………………………………………………（5）

3.2.2无穷小分割思想和极限思想……………………………………………（6）

3.2.3中国剩余定理……………………………………………………………（8）

3.2.4中国古代数学思想的其他思想成就………………………………………（9）

4中西方古代数学的比较………………………………………………………（9）

5结论……………………………………………………………………………（10）

致谢………………………………………………………………………………（11）

参考文献…………………………………………………………………………（11）

中国古代数学思想的特色与意义的探究

07级信息与计算科学本科班张自强

指导教师：

庄思发讲师

1引言

随着中国经济、科技的快速发展，特别是计算机的广泛应用和其强大的计算功能，还有中国古代数学与生俱来特点，中国古代数学将迎来其发展的又一个黄金时期。

在这充满着学术自由风气和社会和谐的氛围下，许多学者亦开始致力于中国古代数学的复兴，而学者们广泛的参与和社会的不断革新，使中国古代数学有注入了新的生命力量，复兴离此不远了。

在这种大背景下，中国古代数学的复兴又如何说起呢？

我们作为这个民族的一份子，我们更有责任，更应该能全面的了解中国古代数学究竟是一门什么样的数学，它包含什么数学思想，有什么特点，其思想是从何而来，它又向何处发展；了解它的过去和现在，关注其未来；这些我们应该做的，能做的，想做的，只有我们了

解明白了，才会发觉中国古代数学的魅力所在和其复兴的前景。

论述到这里，那么中国古代数学是怎样形成和发展的呢？

它有着怎样的数学思想呢？

中西方古代数学又有着什么不同呢？

2中国古代数学发展的综述

中国古代数学有着悠久的历史，春秋以前是中国古代数学的萌芽时期，那时我们的先民就开始萌发了十进位值制的数学思想；从战国至唐初，出现了许多数学著作和一大批数学家，特别是《九章算术》的出现，标志着在这一时期中国古代数学思想体系的形成[1]；而唐中叶至宋元是中国古代数学发展的顶峰，这一时期出现了许多数学成就，这些成就在当时是领先于世界的；但元中叶后，中国古代数学就衰落下去了。

2.1中国古代数学思想体系的形成

秦汉到唐初是中国古代数学体思想系形成的时期，算术已成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现是它形成的主要标志。

那一时期的其他数学著作有《算数书》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缀术》等，有像刘徽，祖冲之父子等著名的数学家。

中国古代数学思想体系在这一时期形成绝非偶然，这是这一时期的历史产物。

原因：

（1）首先中国经历了春秋战国时期，积累诸子百家的文化成果，受到思辨之风的熏陶，这是思想的启蒙，特别是墨家学派的思想，该派著作《墨经》之中有很多的数学思想。

（2）秦汉的大一统，统一度量衡等数学的计量工具，当时的社会经济和文化也得到迅速发展，以强大的国家机器实行浩大的国家工程使中国古代数学有了用武之地，促进中国古代数学的发展，特别是计算数学。

（3）由于魏晋南北朝的玄学之风的影响，使得这一时期出现了许多具有最先进的数学思想的数学大家，如刘徽、祖冲之等，他们取得了许多领先于世界几百，甚至上千年的数学成就。

《九章算术》之所以成为标志性的数学著作，因为它是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，同时

有个伟大的数学家刘徽为其作注和整理其中的错误。

全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章[2]。

主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。

就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。

它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

这一时期是中国古代数学思想体系形成时期，在这期间取得的数学成就有许多。

除了相关的数学著作之外，取得的成就有如三角形的相似原理，刘徽使用割圆术求圆周率和他推出的求立体体积的一些公式，刘祖定理，祖冲之推出球体体积公式。

2.2中国古代数学发展的顶峰

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。

从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。

这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：

贾宪的《黄帝九章算法细草》﹝11世纪中叶﹞，刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞，秦九韶的《数书九章》﹝1247﹞，李冶的《测圆海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275﹞，朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元玉鉴》﹝1303﹞等等。

宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。

这时中国古代数学发展达到顶峰的原因，总结如下：

（1）有赖唐宋的一统，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进，特别是活字印刷术的发明，对数学知识的传播有推动的作用。

（2）数学教育制度的建立，在隋唐开始确立了科举制度与国子监制度，国子监设立算学馆，设有算学博士和助教

，把数学纳入考试的范畴，并审定了十部数学教材，分别是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》，后人称为“算经十书”。

这一时期取得的主要成就有：

北宋贾宪创造的开任意高次幂的“增乘开方”和“贾宪三角”；北宋沈括的“隙积术”和“会圆术”；南宋秦九韶推广了“增乘开方法”；南宋李冶创造了“天元术”（一元高次方程）；南宋杨辉的“垛积术”；元代朱世杰的“四元术”（四元高次联立方程）等多方面的数学成就。

2.3中国古代数学的衰落

令人遗憾的是，从14世纪开始，中国数学开始走下坡路，而西方数学却开始不断的发展。

而这其中的原因是：

（1）数学教育制度被破坏，由于明代大兴八股考试制度，数学不再列入考试制度上，这是缺乏国家机制激励的结果。

（2）同时由于中国古代数学自身特点的原因，因为中国古代数学长于计算，注重程序，与此相应的负面是逻辑性较差，理论水平偏低。

还有重应用，轻理论。

同时书写方式落后，得不到革新。

（3）中国古代传统思想文化对数学们思想的束缚。

（4）闭关锁国，盲目排外。

3中国古代数学思想

中国古代数学思想扎根于中国古人的社会实践之中，体现着中国古代生产方式、生活方式和思维方式的特点。

反过来数学思想也推动着生产和其他社会实践的发展，促进着中国古代文化的发展[3]。

可以通过中国数学思想产生的文化背景，历史文物以及古代典籍探讨中国古代数学思想的产生。

3.1先秦古书中的数学思想

《周易》是中国一部很古老的书，它里面蕴含着许多数学思想，其中书中记载的“河图”和“洛书”蕴含着组合数学的思想，如“洛书”是一个方正，其数字按对角线、横线或竖线相加，结果都是15。

在其基础上推演出许多有趣的数学知识，相信其中暗藏着许多未发现的数学思想。

《墨经》是墨家学派的集体著作，其中含有丰富的逻辑知识、较多的几何知识和抽象数学思想，如圆的定义：

“圆，一中同长也”；点的定义：

“端，体之无厚而最前者也”。

《庄子》在数学方面的无穷极限思想，如最脍炙人口的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就体现出极限思想，还有如“至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一”就体现出无穷大和无穷小的思想。

除这些数学思想外，其他的古书中还有许多的数学思想，这些都是古人智慧的结晶，书中的数学思想有待我们来发掘，先人们的数学思想需要我们来传承，中国古代数学在当代的复兴更需要我们的努力。

3.2中国古代数学思想中的一些推理证明

中国古代数学在过去取得了许多的领先于世界几百到上千年的数学成就，这其中包含着许多原因，这与中国古代数学的特点是有关系的，同时由于东西方数学的不同，这决定了两者所取得数学成就先后时间差距很大。

原因之一是中国古代数学长于计算和面向实用，对于计算有一个很好的配套计算工具—算筹[4]，例如中国在古代很早就致力于求圆周率的精确值的工作了，并取得了很大的成果，而西方达到同中国的圆周率的精确水平却晚了差不多上千年，因为中国长于计算，求其数值结果，而西方则重于推理证明定理，轻于计算和求数值结果。

知道中国古代数学在过去取得那么多领先于当时世界水平的数学成就，那让我们看古人是如何运用他们的智慧来去推理证明那些优秀的文明成果的呢？

3.2.1出入相补原理

上图是《九章算术》中勾股定理的证明图，勾股定理在《九章算术》的表述是：

“勾股术曰：

勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。

”而书中对勾股定理的证明，刘徽只作了提示：

“勾自乘为朱方，股自乘为青方。

令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂。

开方除之，即弦也。

”

《九章算术》证明勾股定理的方法在古代称为“出入相补原理”，也叫“以盈补虚原理”[5]，它是中国古代数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理。

通过这一原理，我国古代数学家刘徽求出一些多边形的面积和多面体的体积的公式，并求得球与牟合方盖的体积比为π:

4。

祖暅提出了祖暅原理即“缘幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，并运用该原理求得球体的体积公式[6]。

如下图：

利用祖暅

知图2中

高处截得的正方形截面面积与图3中

高处正方体的正方形截面面积减去锥体上的小正方形截面面积后的面积相等，图1是

球体，用

表示球体积。

图2是

“牟合方盖”，用

表示“牟合方盖”体积．“牟合方盖”是一个特殊立体，是以

为直径的两个圆柱轴线垂直且相交而形成的．图3是以

为棱的正方体挖去一个倒立的阳马，用

表示其体积。

　　若用平行于底且相距为

的平面去截上述三个立体，所得截面面积分别为：

，

，

。

　　因为 

，

。

　　所以 

，

。

　　但从

可推得

。

　　上述推算过程实际上图1起了桥梁作用，亦可从图3和图2直接推出：

　　因为

，得

。

所以由

就可推得

。

刘徽利用“出入相补原理”解决几何图形的面积和体积是以实用为目的的，因为在《九章算术》中的方田、少广和商功篇中是分别计算几何图形的面积、边长和体积的应用题型，都是一些跟现实有关的问题，如土地的面积、边长，一些水渠工程、城墙根基方面的体积。

3.2.2无穷小分割思想和极限思想

说到无穷小分割思想，就不得不讲刘徽和祖冲之了。

这种思想在我国古代很早就有了，而刘徽是在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明的，他用割圆术求得的更精确圆周率就是运用这两个思想而取得的成果，其在《九章算术》对这两个思想的具体阐述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”[7],同时还提出了圆田术“半周半径相乘得积步”，即圆的面积公式：

（1）

首先,刘徽从圆内接正六边形开始割圆,依次得到圆内接正

，

，……边形。

设圆内接正

边形的面积为

，

则

（2）

而随着分割次数越来越多,

越来越小，到不可再割时，

与

重合，亦即

其次，圆内接正

边形的每边和圆周之间有一段距离

，称为余径。

将

边形的每边长

乘余径

，其总和是

。

将它加到

上，则有

（3）

然而当

无限大，

边形与圆周合体时,则

即得

因此

这就证明了圆的上界序列与下界序列的极限都是圆面积[8]。

最后,刘徽把与圆周合体的正多边形分割成无穷多个以圆心为顶点,以每边长为底的小等腰三角形,以圆半径乘这个多边形的边长是每个小等腰三角形面积的2倍,所谓“觚而裁之,每辄自倍”[9]。

显然,所有这些小等腰三角形的底边之和就是圆周长,并且所有这些小等腰三角形面积的总和,就是圆的面积。

那么,圆半径乘圆周长,就是圆面积的2倍:

这就完成了

（1）式的证明。

在证明了

（1）式后，刘徽随即创造了求“周径至然之数”即求圆周率的科

学程序。

他仍从直径

尺的圆内接正六边形开始割圆，依次割成，

，

……边形，反复运用勾股术和开方术，以及开方不尽“求微数”（即以十进分数逼近无理根）的方法，依次求出圆内接正

，

，

的边心距，余径和边长，进而计算出正

即正96边形的边长6分5厘4毫3秒8忽，面积

；正

即正192边形的面积

，由

（2）式，

而

由（3）式，有：

因此刘徽取正192边形面积的整数部分314寸²作为圆面积的近似值:

刘徽说：

“以半径一尺除圆幂，倍所得,六尺二寸八分，即周数。

”就是说，将圆面积（即圆幂）代回公式

（1），反求出圆周长L的近似值6尺2寸8分。

刘徽接着说：

“又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五十,则其相与之率也。

周率犹为微少也。

”

这就得出

刘徽还算出圆内接正3072边形的面积作为圆面积的近似值,仍利用

（1）式,求出圆周长的近似值：

“以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分之八，即周数也。

全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十周得三千九百二十七，即其相与之率。

”

这就是

这就求得了π的更精确值了

上述就是刘徽的割圆术，他这种通过不断割圆，用圆内接正

边形的面积来逼近圆的面积，并求出了π的更精确值，计算过程体现了数学的极限思想和无穷小分割思想，这两者的结合显示了他的聪明才智，也体现了中国古代数学的先进[10]。

3.2.3中国剩余定理

中国剩余定理又叫大衍求一术，它是中国古代求解一次同余式组的方法[12]。

公元前后的《孙子算经》中的“物不知数”问题：

“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？

”这是古代描述关于余数的问题，而《孙子算经》中的解题方法是：

“三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

”

对于上述类似的问题还有很多，而这些问题多少来源于现实生活中，如“韩信点兵”、“余米推算”、“鬼谷算”之类的例子都和实际联系很紧密，这些都说明中国古代数学源于生活实践。

3.2.4中国古代数学的其他思想成就

中国古代数学思想除了上面谈及的外，还有很多，线性方程组解法中的一些思想方法有：

损益术、互乘相消法；高次方程解法的：

杨辉三角、增乘开方法，正负开方术；应用于天文历法的内插法；还有解决级数问题的隙积术、垛积术与招差术等等许多的思想。

而所有的这些思想都是古代数学家从生活实践中得来的，都是以解决实际问题为目的，所以中国古代社会经济，科技如何是决定中国古代数学思想发展的一个重要因素之一。

4中西方古代数学的比较

稍微了解数学史的人都知道中西方古代数学是不同的，西方古代数学是建立在古希腊的逻辑、公理体系上的，是一种理性思维成果，以《几何原本》为代表的数学。

[13]而中国古代数学是建立在算的基础之上的，一切结论都是通过演算过程来说明，是一种典型的以算法为体系的数学；同时中国古代数学是典型的应用型和经验型的数学，它的思想是总结于生活经验，以应用于生活实践为目的，这些都可以从著名的古代数学著作《九章算术》中可以体会得到，这也是中国古代数学的特色之一。

中国古代数学长于计算，以算法为中心，是中国古代数学的显著特点，中国古代数学的研究几乎离不开数量关系的图形，通过切实可行的方法吧实际问题化为一类数学模型，然后用一套程序化即机械化的算法求解[14]；把几何方法和算法结合以达到求解具体数值的效果，体现出中国古代数学数形结合思想的特点。

而古希腊数学重于考虑数与形性质的推演证明上，轻于考虑具体数值的计算求解问题，使得在圆周率问题上两者的成果差距。

中国古代数学基本受控于古代封建政府和中国古代传统思想文化（儒家思想），在大一统时期，中国古代数学研究很少，而在乱世时则名家辈出，成果亦多，同时大多数学成果多是个体独立的创造，各种成果之间联系不紧密，这也说明中国古代数学家们之间的联系几乎是断绝的，没有形成学术学派和学术上无自由风气可谈。

而西方数学就不同了，很早就形成了自由数学学术学派，一个学派一个学派的继承发展，学术思想活跃。

中西方数学各有优点和缺点，从者的比较可看出，中西方数学两者具有互补性，两者的互补将对当代数学的发展是有相当重要的历史意义的，这也是对中国古代数学的一个完善。

5结论

从中国古代数学的发展综述、思想论述和中西方数学的比较可知：

中国古代数学思想有其特色，但这些特色在不同的时期有时是长处，有时却变成了缺点，中国古代数学取得辉煌的成就和衰落是历史发展的结果。

中国古代数学思想是中国社会文化思想的一部分，是受中国古代社会的政治、经济、文化等诸多因素的影响下，形成了不同于其他数学思想的数学思想。

从上面论述中可知中国古代数学思想的特色是：

（1）以计算为中心，

（2）具有很强的实用性，（3）数与形相结合，（4）深深渗透了儒家的思想，（5）计算过程呈现出程序化即机械化。

中国古代数学思想不管对古代社会还是现代社会都有很大意义，对我们的生活有很多的意义。

在古代，中国古代数学取得的先进成果是其重大意义的体现，中国古代数学思想传播到西方，对西方数学家们突破数学瓶颈取出数学上的辉煌有一定的帮助，如莱布尼兹创造二进制数与中国的周易有关；在五六十年代，中国成功爆炸第一颗原子弹，几乎所有的计算结果都是运用中国古代数学计算思想得出的，而计算工具是算盘，其计算速度可与当时的计算机媲美；而在当代，中国古代数学仍有其生长的肥沃土地，其程序化的思想在电子计算机中是可直接运用的；还有很多方面的意义所在。

由这些所有的意义推测中国古代数学将在21世纪有重大的发展，其思想也必将日益显著，中国古代数学的思想体系也将在这个世纪完善，这是中国数学的重大历史时刻。

致谢

本文是在导师庄思发讲师的悉心指导下完成的。

庄老师以认真、严谨的太度审视我们的论文，并及时指出其中的错误，对我们论文的完善给予了很大建议和帮助，对此向庄老师致以由衷的敬意、真诚的感谢。

参考文献

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（注：

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）