河南省郑州市学年下学期期中高二年级八校联考理科数学试题.docx
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河南省郑州市学年下学期期中高二年级八校联考理科数学试题
【市级联考】河南省郑州市2020-2021学年下学期期中髙二
年级八校联考理科数学试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选题
1.复数Z=X的虚部是（）
1+/
A.1E.1C.-iD.一1
2.要证明√3+√7<2√5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）
A.综合法
B.分析法
C.归纳法
D.类比法
3.设函数/（X）在x=l处存在导数为2,则IlmZ（I+^υ~zω=（）.
δλt°3Δλ
2
A.—E.6
3
4.若函数y=x3+log2x+e^v,则y'=
141-V
A.-X++e
4Xlll2
C.3√+-—-严
XIn2
1
1
C.
D.-
3
2
）.
B.
141
—X+
B.—x+e
4XIn2
D.3十+丄一+厂
XllI2
5.由曲线y=e∖y=w"以及x=1所围成的图形的面积等于
A.2E・2e-2C.2--
）・
D.e+--2
6.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr.二维测度（面枳）S=πr
观察发现
4
Sxr）=I:
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2,三维测度（体积）V=-πP,
3
观察发现y∖r）=S.则由四维空间中“超球”的三维测度V=SπP，猜想其四维测度
W=（）・
8.15」
A.24兀厂B.-πrC.-πrD.2πr4
34
7.已知函数/（λ）=OX-Iiir,若/（x）>l在区间（1,+s）内恒成立，则实数d的取值
范围是（）.
A.（-c<>,l）B.（-∞,1]C.（1,+s）D.[l,+∞）
8.有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、
丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号,
3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个•若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（）・
A.甲E•乙C•丙D.丁
9.己知α-lnb=O,c-d=l,则（a-c）2+（b-d）2的最小值是（）.
A.1E.C.2D.2√2
10.设/W是定义在R上的奇函数，KZ（I）=Ot当X>O时，有f（X）>xf∖x）恒成
立，则不等式h（χ）>o的解集为（）.
A.Y,0）U（0,1）B.（F-I）U（OJ）
C.（-l,0）u（L+oo）D.（-l,0）U（0,l）
11・函数y=4cosx-ew的图象可能是（）
12.己知函数f（x）=xex-e∖函数g（x）=tnx-m（加＞0）,若对任意的
x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2]使得f（xl）≈g（x2）9则实数加的取值范围是（）
二、填空题
13.F22sin2-dx=
JO2
x2+3x1
Z\
14.定义运算
4aι
Wb2
=cιib2一a2bl则函数/（X）=
1
X-X
3
的图象在点
∖a）
处的
切线方程是.
15.观察下列各式：
90401=36043q4O5=122060505=3025
80803=6424根据规律，计算（5O7O4）-（7O4O5）=.
16.已知函数f（X）=e3v^1,g（x）=→lιιx,若/W）=g（"）,则〃一加的最小值为
_•
三、解答題
17.己知复数Z=^bi（beR）f且（l+3i）∙z为纯虚数.
（1）求复数Z:
（2）若血=右，求复数血以及模I外
18.已知函数f（x）=x5+bx2+cx+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1J（-1））处的切线方程为6x-y+7=0.
（I）求/（-1）和广（―1）的值.
（II）求函数/V）的解析式.
19.在数列匕｝中，al=-t%+1=,求①、①、①的值，由此猜想数列匕｝
2Qn+
的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为X米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+JF）X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建"个桥墩，记余下工程的费用为）'万元.
（I）试写出y关于X的函数关系式：
（注意：
（"+l）x=640）
（II）需新建多少个桥墩才能使y最小？
21.己知/（x）=Iax-—-（2+a）IiiX（CI≥0）
X
（I）当0=0时，求/'（X）的极值；
（II）当d>O时，讨论/（Q的单调性
22・已知函数f（x）=x（a+hιx）有极小值_严.
（I）求实数α的值；
（II）若keZ,且Rc丄巴对任意x〉l恒成立，求R的最大值.
x-1
参考答案
1.D
【解析】
分析：
化简复数z,写出它的虚部即可.
详解:
∙∙∙z的虎部是-1.
故选D.
点睛：
复数的运算，难点是乘除法法则，设%=a+bi,0=C+di（a,b,c,dR）,则砒2=（a+勿）（c+JZ）=ac-bd+^ad+bc）i,
Zla+bi（d+bi）（c-di）（CIC+bd）+（bc-ad）i
Z2c+di（c+di）（c-di）c2+d2
2.B
【解析】
【分析】
由题意结合所给的不等式逐一考查所给的方法是否合适即可，需要注意综合法与分析法的区别.
【详解】
因为要证明√3+√7<2√5,题中并没有相应的证明方法进行类比，故D不合理.
而所给条件只有一个不等式，所以无法应用归纳法，故C不合理.
因为不等式左右两端均人于0,所以将不等式两端同时平方后不等式仍然成立，
得10+2√2T<20≈>√2TV厉成立，属于从结论出发证明结论成立，为分析法.
利用综合法证明题中的不等式显然需要用到分析法的逆过程，直接用综合法不合理•故选B.
【点睛】
本题主要考查分析法与综合法的区别，属于基础题•
3.A
【分析】
根据导数定义，化为导数表达式即可.
反数,所以在用定积分求曲边形面枳时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
6.D
【解析】
因为IV=2πr4VV,=Sπr5=V,所以肘=2;FK，应选答案D・
点睛：
观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
VV=∫Sπridr=-×Sπr4=2πr4,应选答案D.
4
7.D
【详解】
V∕（x）=αx-hιv,/（λ）>1在（L÷oo）内恒成立，/.a>1+111A在（1,+S）内恒成立，设g（χ）=∏∑,Λχ∈（l,+oo）时，^（X）=-⅛<0,即g（x）在（l,+∞）上是单调递
X.v
减的，∙∙∙g（x）vg（l）=l,∙∙∙αni,即d的取值范围是［1,+8）,故选D∙
点睛：
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由/'（x）>0,得函数单调递增，f∖χ）Vo得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为cι>h{x）或αv∕z（x）恒成立，即d>Λmax（X）或d<√7mm（x）即可，利用导数知识结合单调性求出∕gx（x）或∕7mm（x）即得解•
8.C
【解析】
若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对,则乙也猜对，故也不满足条件•而如果丙猜对，其他老师都不会对.
故答案为C.
9.C
【分析】
设点（b,α）是曲线Ciy=Inx上的点，点（d,C）是直线Γ.y=x+1上的点；
（°—c）'+（b—d）'可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.然后将问题转化为
求曲线C上一点到直线1距离的最小值的平方，直接对函数y=inx求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线/距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式町求出最小距离，从而得出答案・
【详解】设（Og）是曲线C.y=hιx±的点，（乩C）是直线∕zy=x+l±的点；（f∕-c）2+（Z?
-^）2
可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方・对函数y=InX求导得F=丄，令X
y=b得x=l,所以，曲线C上一点到直线/上距离最小的点为（LO）,该点到直线/的
距离为J；；；］=Q因此’（α-c）2+（^-J）2的最小值为（√2）2=2.故选C.
【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题・
10.D
【分析】
由已知当X>0时，有/（x）>V,（x）恒成立，可判断函数g（χ）=∙∆W为减函数，由
/（X）是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-P0）U（0,+∞）上的偶函数，根据函
数g（x）在（0,+8）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可
【详解】设g（x）=lSΔ则£（x）的导数为g.（x）=O⅛±L∑1•・•当x>o时总有£（X）<
XJr
f（χ∖
f（X）成立，即当x>0时，gz（x）<0,Λ当x>0时，函数g（χ）=u丄为减函数，又
—力=上U=（W=g3,・•・函数名（X）为定义域上的偶函数又•・•—X
g（l）=半=0
•••函数g（X）的图彖如图：
数形结合可得
Λx2∙g（x）>0Λg（x）>0.*.0【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题.
11.A
【分析】
求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.
【详解】
若屮号
解:
当x>0时,y=4cosx-ex,则y=-4sinx-ex,
SinX>0,ex>0,y=-4SinX-ev<0,
FI71兰3
右XWy^+o°H-4<4smx≤4,£>（2∙7）3>√I^>4,
则y=-4SilIX-ex<0恒成立,
即当x>0时，y=-^nx-ex<0恒成立，
则y=4cosX-ex在（0,+a）上单调递减，
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题・
12.B
【分析】
由题意，可得门刃在［-2,2］的值域包含于函数g（x）的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.
【详解】
由题意，函数f（x）=e∖x-l）的导数为f∖x）=xe∖
当x>0时，Γ（x）>O,则函数/（x）为单调递增；
当XVo时，f（x）即当JV=O时，函数/（x）取得极小值，且为最小值—1，
又由/（一2）=-3e~2J
（2）=e2t可得函数/（x）在［—2,2］的值域［—10］,
由函数g（x）=IIIX一m（ιn>0）在［-2,2］递增，可得g（x）的值域［-3∕n,m］,
由对于任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f（xi）=g（X2）,“-3/77≤-l
可得[-Le2]⊂[-3∕n√∕7],即为彳,,解得∕w≥e2,故选B
Ul≥L
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为
/（x）在［-2,2］的值域包含于函数g（x）的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的
关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题・
【分析】被积函数利用二倍角的余弦降幕，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即门J得到结论•
【详解】
Jrπ
IXξ兰兀・ππI
∫2siιf—dX=COSX）dx=（x-SinX）IJ=y-SIny=y^∙
O2O
故答案为:
p.
【点睛】
本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幕，此题为基础题.
14.6x-3y-5=0
【分析】
由题意先写出函数/（χ）的解析式，然后对/（x）求导，求出切线的斜率，进而可求出切线
方程.
【详解】
所以切线方程为y-∣=2（x-l）,整理得6x-3y-5=O,
故答案为6x-3y-5=O
【点睛】
本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.
15.708
【分析】
分析各式找到规律即可求解
【详解】
根据规律可得，50704的最前两位是5×7=35,紧接着的两位是7x4=2&则
5o704=3528,同理得7q4q5=2820,故（50704）—（70405）=708
故答案为708
【点睛】
本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题
2+hι3
16.
【分析】
设f=/（〃»=g（"）（r>0）得到加,n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数,求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.
【详解】
设f=/（〃?
）=g（"）（r>0）,则m=1+^1IZ,H=e~3.
令∕?
（f）=“一m=e3一1（f>0）,则h,（t）=e3»
（1\
•••//（f）在（0,+S）上单调递增，且N-=0,
∖J
・・・当0∣时，F（f）>0∕（/）单调递增.
=h[~}=
13丿
故n-ιn的最小值为土Q.
3口小…2+ln3故答杀为—^—.
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究
函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度・
17.
【分析】
（1）将（l+3z）∙z表示为a+bi的形式，结合纯虎数的定义即可求解；
（2）将
（1）的结果代入Q=二一化简为cι+bi的形式，结合复数的模长公式即可求解.
2+i
【详解】
⑴将Z=3+bi代入（l+3∕）∙z得（1+引）∙z=（l+3f∙）（3+仞）=3-3b+（b+9）d,因为
3
Z
⑵由⑴知z=3+ι,所以^=—=
【点睛】
+f_（3+Q（2-0_7-z_7/
2+l~（2+i）（2-i）~~Γ~5~5
本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.
18.
（1）/（-1）=1,/（-1）=6;
（2）f（x）=x3-3x2-3x+2
【解析】
分析：
（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可.
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可.
详解：
（1）Vf（X）在点M（-1,f（・1））处的切线方程为6χ-y+7二0.
故点（・1,f（-1））在切线6χ-y+7二0上，且切线斜率为6.
得f（-1）二1且f'（-1）=6.
（2）Vf（x）过点P（0,2）
・•・d=2
Vf（X）=χ3+bx"+cx+d
∙a.f,（x）=3x2+2bx+c
由f'（-1）=6得3-2b+c=6
又由f（-1）二1,得-l÷b-c+d=l
4=2
联立方程!
3-2b+c=6
kl≡-l+b"c+dd≡2
故f（x）=x3-3x--3x+2
点睛：
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力・
3
19・Cln=,证明见解析•
/7+5
【解析】
3
试题分析：
利用递推式直接求。
八冬、勺，猜想数列｛如｝的通项公式为①=——
77+5
（n≡N4）用数学归纳法证明即可.
试题解析：
血==，。
2=，。
3='Cg='
猜想&=,下面用数学归纳法证明：
1当兀=1时，ai==t猜想成立.
2假设当n=k（k>l,Zr∈N*）时猜想成立，即心=.
则当n=k^r1时,
3丄
'A÷53
〒-=小15'
不+3
所以当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对∕i∈N*,血=都成立.
点睛：
本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题：
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值并验证真假；②“假设H=k时命题正确”并写出命题形式;③分析“n=k+l时”命题是什么，并找出与“H=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：
乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.
20.
（1）y=2"%64°+640石+]024（0vxV640）：
（2）9
【分析】
（1）利用两墩相距In米，写出n关于X的函数关系式；
（2）根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；
（3）把In二640米代入到y的解析式中并求出y'令其等于0,然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时In的值代入H=I--I中求出桥墩个数即可.
X
【详解】
（1）∙∙∙（/1+1）X=640即H=-1
所以y=/（x）=256π+（∕z+l）（2+√x）x=2-6x64θ+640√x+1024（OVXV640）
令广（X）=0,得J=512,所以164
当0当640./（x）在区间（64,640）内为增函数,
所以/（X）在兀二64处取得最小值，此时，H==2-1=9.
故需新建9个桥墩才能使A最小
【点睛】
本题考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力.
21.（I）极大值为21n2-2,无极小值（II）见解析
【分析】
Zl-2x
（I）当G=O时广（X）=-F―,解不等式则单调性及极值可求；（II）
X
广⑴=（2A—l）yA-I）,讨论0VaV2,a=2,a>2时f（x）的正负则单调性可求X
【详解】
（I）当Q=O时，/（x）=---2ħιv=>广（牙）=丄_?
=1孑A（X〉0）
XX~Xx~
[2!
厂]、
由广（X）=二?
丄解得x<τ^,可知/（x）在7上是增函数，
1
在~.+∞上是减函数
\乙√
.-./W的极人值为Hm=21112-2,无极小值
（II）f（%）=2αx---（2+λ）Ulv=>广（x）=2d+A-（2+d）丄
XXA
2αx'-（2+α）x+l（2x-l）（αr-l）
Jr2
1当OvdV2时，广（x）>0=>0vx（U丄,广（X）Vo=VXv丄.∙J（x）在
\2a2a
2当a=2时,∕r（x）≥0√（x）在（0,+oo）上是增函数;
3当α>2,/,（x）>0=>0∖a/2a2Ia丿
（1fl1}
（亍+8上是增函数，在上是减函数
12丿∖a2）
【点睛】
本题考查导数与函数的单调性及极值，分类讨论思想，考查计算能力，是基础题
22.
（1）«=1；
（2）AnuX=3.
【解析】
试题分析
（1）由极值定义可得极小值点导数为零，函数值为-，故先求函数导数确定极值点厂T，再利用/（QT）=Y7求实数G的值；本题注意验证极值点附近导函数符号变
化规律是否符合为极小值的条件;
（2）不等式恒成立问题,往往转化为求对应函数最值问题，即先求g（χ）=（W最小值，利用二次求导及零点存在定理，不难得出存在a0∈（3,4）,使得g（x）取最小值，再根据兀-2-Iaq=O,化简g（x）最小值为兀，最后根据k试题解析：
（1）∕,（x）=λ+1+1iiv,令/'（x）>0=>X>e~a~l,令∕,（x）<0^>01V-_1
令Z∕（x）=x-2—InX,.∙∙∕r（x）=l——=——>0,故y=h（x）在（1,+s）上是增函数.
由于∕ιt（3）=l-lπ3<0,Λ,（4）=2-ln4>0,存在x0∈（3,4）,使得Λ,（xo）=O.
则x∈（l9x0）,Λ,（x）0,知g（x）为增函••・g（xLn=g（Xo）=“+"：
°=兀，:
・k，又⅞∈（3,4）,所以RmaX=3.
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