小学奥数速算与巧算教案课程.docx

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小学奥数速算与巧算教案课程

1、教材分析

课程名称：

乘法的速算与巧算

教学内容和地位：

这一部分内容是在学习了整数乘法及乘法的运算定律的基础上进行学习的。

乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。

本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。

教学重点：

教学难点：

2、课时规划

课时：

3课时

3、教学目标分析

掌握巧算中经常要用到的一些运算定律,如乘法交换律、结合律、分配律以及除法分配律等变式定律与性质。

4、教学思路

一、课前复习

二、知识点串讲

三、难点知识剖析

四、能力提升

五、易错点总结

5、教学过程设计

必讲知识点

一、课前复习

乘法的意义，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律的意义。

二、知识点串讲

　1，整数乘法的意义：

整数乘法的意思，是几个相同的整数的和的一种表达形式

如ab中，a和b都是整数

他们的乘积相当于a个b的和或b个a的和2，整数的运算定律：

a,b,c为整数

加法交换律:

a+b=b+a

加法结合律:

a+b+c

=（a+b）+c

=a+（b+c）

=（a+c）+b

乘法交换律:

a×b=b×a

乘法结合律:

a×b×c

=（a×b）×c

=a×（b×c）

=（a×c）×b

乘法分配律:

a×（b+c）

=a×b+a×c

三、难点知识剖析

1、乘11，101，1001的速算法

　　一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

　　a×11=a×（10＋1）=10a＋a，

　　a×101=a×（101＋1）=100a＋a，

　　a×1001=a×（1000＋1）=1000a＋a。

　　例如，38×101=38×100＋38=3838。

2.乘9，99，999的速算法

　　一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

　　a×9=a×（10-1）=10a-a，

　　a×99=a×（100-1）=100a-a，

　　a×999=a×（1000-1）=1000a-a。

　　例如，18×99=18×100-18=1782。

　　上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。

凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。

例1，计算：

（1）356×1001

　　＝356×（1000＋1）

　　＝356×1000＋356

　　＝356000＋356

　　＝356356；

（2）38×102

　　＝38×（100＋2）

　　＝38×100＋38×2

　　＝3800＋76

　　＝3876；

（3）526×99

　　＝526×（100-1）

　　＝526×100-526

　　＝52600-526

　　＝52074；

（4）1234×9998

　　＝1234×（10000-2）

　　＝1234×10000-1234×2

　　＝12340000-2468

　　＝12337532。

　　3.乘5，25，125的速算法

　　一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

　　例如，76×25＝7600÷4＝1900。

　　上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。

当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。

例2计算：

（1）186×5

　　=186×（5×2）÷2

　　=1860÷2

　　=930；

（2）96×125

　　=96×（125×8）÷8

　　=96000÷8=12000。

　　有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

例3计算：

（1）84×75

　　=（21×4）×（25×3）

　　=（21×3）×（4×25）

　　=63×100=6300；

（2）56×625

　　=（7×8）×（125×5）

　　=（7×5）×（8×125）

　　=35×1000=35000；

（3）33×125

　　=32×125+1×125

　　=4000+125=4125；

（4）39×75

　　=（32+1）×125=（40-1）×75

　　=40×75-1×75

　　=3000-75=2925。

　　4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

　　个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。

例如：

四、能力提升

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例1，?

求292和822的值。

解：

292=29×29

　　＝（29＋1）×（29-1）＋12

　　＝30×28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　822＝82×82

　　＝（82－2）×（82＋2）＋22

　　＝80×84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×35＝40×30＋52=1225。

这与个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例2，?

求9932和20042的值。

解：

9932=993×993

　　＝（993＋7）×（993-7）+72

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×2004

　　＝（2004-4）×（2004+4）＋42

　　＝2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例3，?

88×64＝？

小精灵儿童网站

　分析与解：

由乘法分配律和结合律，得到

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。

　例4，77×91＝？

　　解：

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

五、易错点总结

小结：

计算整数乘法时，应该注意以下几点：

　　1、掌握好乘法运算定律，是解题的关键。

　　2、乘法分配律为：

a×（b＋c）=a×b＋a×c，反过来为a×b＋a×c=a×（b＋c）。

计算时，注意根据题目特点，灵活选用。

练习题：

　　用速算法计算下列各题：

　　1.

（1）68×101；

（2）74×201；

　　（3）762×999；（4）34×98。

　　2.

（1）536×5；　

（2）437×5；

　　　（3）130×25；　（4）68×75；

　　（5）555×375；（6）888×875。

3，372；

（2）532；（3）912；

　　（4）682：

（5）1082；（6）3972。

　　4，

（1）77×28；

（2）66×55；

　　（3）33×19；（4）82×44；

　　（5）37×33；（6）46×99。